吳學(xué)蘋 江寧強(qiáng)

（南京理工大學(xué)自動化學(xué)院電氣工程系，南京 210094）

同步發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)對電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性有重要影響。多擺失穩(wěn)與阻尼轉(zhuǎn)矩的聯(lián)系在穩(wěn)定研究中已引起關(guān)注。利用BCU 法（Boundary of stability region based on Controlling Unstable Equilibrium Point method）分析系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性時，需滿足單參數(shù)橫截性條件，而該條件是否成立與阻尼大小有關(guān)[2]。阻尼系數(shù)存在一個臨界值，當(dāng)大于臨界值時，系統(tǒng)完全穩(wěn)定。因此暫態(tài)過程中阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的研究具有重要意義。

由于計算速度的要求，大規(guī)模電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析中部分發(fā)電機(jī)需采用簡化模型。模型中阻尼系數(shù)設(shè)置為常數(shù)，來模擬阻尼繞組、網(wǎng)絡(luò)耗散特性、負(fù)荷、穩(wěn)定控制裝置等多種阻尼因素的影響。而阻尼系數(shù)的取值往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取[1]，其準(zhǔn)確值尚難以確定。這是因?yàn)榧词拱l(fā)電機(jī)選用詳細(xì)模型，阻尼轉(zhuǎn)矩蘊(yùn)含在電磁轉(zhuǎn)矩中，仍難以準(zhǔn)確獲得阻尼轉(zhuǎn)矩。

電力系統(tǒng)所經(jīng)受的擾動可分為小擾動和大擾動。小擾動情況下，系統(tǒng)分析時可將系統(tǒng)方程線性化。其穩(wěn)定平衡點(diǎn)不會發(fā)生變化。而大擾動下系統(tǒng)方程是非線性的，擾動前后穩(wěn)定平衡點(diǎn)可能不同。 早期阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的研究主要針對小擾動模型。文獻(xiàn)[3]設(shè)同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)和阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)為常數(shù)，提出了一種轉(zhuǎn)矩分解方法—breaking algorithm。文獻(xiàn)[4-5]將電磁轉(zhuǎn)矩增量分解為阻尼轉(zhuǎn)矩增量和同步轉(zhuǎn)矩增量，通過仿真或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)求取同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)及阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)。文獻(xiàn)[6]利用Prony 分析法計算了多機(jī)系統(tǒng)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

由于大擾動情況下電力系統(tǒng)是高階非線性的，故小擾動分析法已不適用。暫態(tài)過程中關(guān)于阻尼系數(shù)計算的研究較少。文獻(xiàn)[7]利用派克方程推導(dǎo)了單機(jī)無窮大系統(tǒng)暫態(tài)過程中阻尼系數(shù)的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[8-9]假設(shè)功角作穩(wěn)態(tài)正弦大振蕩，分解得到同步發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)，指出阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)不是常數(shù)。文獻(xiàn)[10]利用多項(xiàng)式逼近定理得到暫態(tài)過程中發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

上述研究都是以交流系統(tǒng)為研究對象，由于電力系統(tǒng)已經(jīng)由純交流系統(tǒng)發(fā)展為交直流混合電力系統(tǒng)。本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上利用多項(xiàng)式逼近法求取交直流電力系統(tǒng)暫態(tài)過程中同步發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)。并利用文獻(xiàn)[4-5]中的方法來檢驗(yàn)本文方法的正確性。

1 大擾動下同步發(fā)電機(jī)阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算

1.1 阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的數(shù)值分析方法

多項(xiàng)式逼近定理可實(shí)現(xiàn)對有界閉區(qū)間上連續(xù)多變量函數(shù)的有效逼近。文獻(xiàn)[10]給出了利用多項(xiàng)式逼近法（Weierstrass 逼近定理）計算阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的詳盡過程。在此不再詳述，直接給出暫態(tài)過程中電磁轉(zhuǎn)矩Te的逼近表達(dá)式。

式中，Pm為機(jī)械功率，δs為穩(wěn)定平衡點(diǎn)角度，ωN為額定角速度。n、m分別為角度差和角速度偏差的最高指數(shù)，pij為相應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)，且p00=0。

當(dāng)n、m和pij確定后，可得到電磁轉(zhuǎn)矩的近似表達(dá)式，并使逼近誤差滿足：

如果式（2）中的ε足夠小，則令Ps=P(δ,ωN)，可近似得到同步轉(zhuǎn)矩Ts，進(jìn)而可以獲得阻尼轉(zhuǎn)矩的近似值，并計算出阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)：

由以上分析可知，計算阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)需要設(shè)定夠小的逼近誤差ε，然后確定式（1）所示多項(xiàng)式函數(shù)的指數(shù)n和m，以及多項(xiàng)式系數(shù)pij。

下面介紹大擾動后，沿故障后軌線計算阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的步驟。設(shè)故障清除時間為tcl：

（1）在故障中軌線上取2k1+1 個點(diǎn)作為故障后軌線的起始點(diǎn)，即xh01=x(tcl+h1Δt1)，h1=-k1,…,-1,0,1,…,k1，Δt1=tcl/100。

（2）通過仿真獲得2k1+1 條故障后軌線，在每 條故障后軌線上采樣k2個點(diǎn)，記錄每個采樣點(diǎn)的轉(zhuǎn)子角、轉(zhuǎn)子角 速度和電磁轉(zhuǎn)矩，即

（3）確定多項(xiàng)式系數(shù)pij。對于給定的一組指數(shù)n、m，可由采樣值得到(2k1+1)×k2個方程

通過解式（5）所示的最小值問題，可確定(n+1)×(m+1)-1 個多項(xiàng)式系數(shù)pij。

設(shè)x=[p01,…,p0m,p10,…,p1m,…,pn0,…,pnm]，上述最小值問題利用最小二乘法求解可得

式中，矩陣A、b示于本頁底部。

（4）系數(shù)pij確定后代入式（1）得到電磁轉(zhuǎn)矩的逼近值P（δ，ω），判斷逼近誤差是否滿足式（2）。若滿足，則第（3）步中給定的指數(shù)n、m可作為電磁轉(zhuǎn)矩逼近多項(xiàng)式（1）中的最大指數(shù)。如果不滿足則返回第（3）步，重新設(shè)定新的n、m值。

（5）n、m確定后，對于給定的故障切除時間，采用故障后仿真數(shù)據(jù)，通過式（1）計算P（δ，ω）。

（6）令多項(xiàng)式（1）中的角速度為額定角速度，得到Ps，作為同步轉(zhuǎn)矩Ts的近似值。

（7）從Te中減去Ps，得到阻尼轉(zhuǎn)矩近似值Pd。

（8）用阻尼轉(zhuǎn)矩近似值除以角速度差，得到暫態(tài)過程中的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)D。

1.2 算例分析

本文研究的交直流系統(tǒng)如圖1所示。發(fā)電機(jī)通過兩條并聯(lián)線路，經(jīng)理想變壓器與無窮大母線相連，一條直流線路與交流輸電線路并聯(lián)。系統(tǒng)中交流部分參數(shù)見文獻(xiàn)[1]。發(fā)電機(jī)初始電壓V=1.05，輸入機(jī)械功率Pm=0.8。負(fù)荷p=0.6，q=0.4，為恒功率負(fù)荷。發(fā)電機(jī)模型采用七階模型，考慮一階勵磁系統(tǒng)作用。直流輸電系統(tǒng)參數(shù)見文獻(xiàn)[11]。直流輸電系統(tǒng)采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型。整流側(cè)采用定電流控制Ids=0.1，逆變側(cè)采用定熄弧角控制，γ=22°。定電流控制調(diào)節(jié)器的比例和積分參數(shù)為：K1=0.5，T1=2。定熄弧角控制調(diào)節(jié)器的比例和積分參數(shù)為：K2=0.5，T2=2。

圖1 單機(jī)無窮大交直流電力系統(tǒng)

上述系統(tǒng)經(jīng)受快關(guān)氣門擾動，擾動持續(xù)時間為0.05s，故障后仿真15s。仿真計算得到系統(tǒng)的電磁轉(zhuǎn)矩Te、功角δ、角速度ω曲線如圖2所示。

圖2 交直流系統(tǒng)電磁轉(zhuǎn)矩、功角、角速度差的仿真曲線

由圖2可知系統(tǒng)在上述擾動下是暫態(tài)穩(wěn)定的。系統(tǒng)各物理量均恢復(fù)到原平衡點(diǎn)。

利用多項(xiàng)式逼近法對電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行分解，最終得到發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)如圖3所示。

圖3 交直流系統(tǒng)暫態(tài)過程中發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)

由圖3可知在暫態(tài)過程中發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)D是變化的，在暫態(tài)初期波動范圍較大，最大值為5.6，最小值為3.8。t＞5s 后波動范圍較小，隨著系統(tǒng)的穩(wěn)定阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)最終值穩(wěn)定在4.9 附近。由分析可得暫態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)在暫態(tài)過程結(jié)束后其值趨向于常數(shù)。

本文所采用的多項(xiàng)式逼近法沒有采用線性化假設(shè)，故其可用于大擾動和小擾動的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算。因尚無其他算法檢驗(yàn)暫態(tài)過程中發(fā)電機(jī)阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算的正確性。由圖2可知t＞5s 后發(fā)電機(jī)各物理量波動較小，可視5s后的動態(tài)過程為小擾動。利用小擾動的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)方法計算該算例t＞5s后發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)，與本文方法得到的結(jié)果比較。間接驗(yàn)證本文方法的正確性。

2 阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算結(jié)果的討論

文獻(xiàn)[4-5]提出了系統(tǒng)受到小擾動時電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)的算法。在系統(tǒng)動態(tài)過程中將電磁轉(zhuǎn)矩增量分解為阻尼轉(zhuǎn)矩增量和同步轉(zhuǎn)矩增量。阻尼轉(zhuǎn)矩增量與角速度變化成比例，同步轉(zhuǎn)矩增量同功角變化成比例。并假設(shè)阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)和同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)均為常數(shù)。因此，轉(zhuǎn)矩增量可表示為

式中，ΔTe為電磁轉(zhuǎn)矩變化量；Ks、Kd分別為同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)和阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Δδ、Δω分別為功角變化量和角速度變化量。

利用最小二乘法通過動態(tài)仿真或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)求取電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。Ks、Kd由式（8）、式（9）求得

通過對時域仿真得到的ΔTe、Δδ、Δω進(jìn)行數(shù)值積分得到式（8）、式（9）中的各積分項(xiàng)。進(jìn)而得到同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)Ks和阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)Kd。

上述算法能夠計算出小擾動下發(fā)電機(jī)的同步和阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)。采用本文提出的方法對大擾動和小擾動情況均適用，故對小擾動的計算結(jié)果應(yīng)當(dāng)與上述方法一致；否則，難以保證大擾動下阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算結(jié)果的正確性。

下面首先采用上述算法計算大擾動振蕩基本平息后的電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。利用故障清除后5～15s 的仿真數(shù)據(jù)，計算本文2.2 節(jié)算例中同步發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)。其結(jié)果示于圖4。由圖4可得5～15s 之間Kd的值基本一致，其值大小在4.9 左右。說明該算法對本文算例是有效的。

圖4 小擾動算法得到的t＞5s 后的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)

將圖4與圖3中t＞5s 后的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)進(jìn)行比較。由圖3可見，t＞5s 后的波動范圍較小，并逐漸趨于4.9。兩種算法得到的結(jié)果相差小于0.01，可以認(rèn)為結(jié)果是一致的。間接驗(yàn)證了該文方法在暫態(tài)過程中發(fā)電機(jī)阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算的有效性。

3 結(jié)論

本文利用多項(xiàng)式逼近法求取交直流電力系統(tǒng)暫態(tài)過程中同步發(fā)電機(jī)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)，結(jié)果顯示，暫態(tài)過程中阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)不是常數(shù)。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，隨著振蕩逐漸平息，阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)也趨于一個穩(wěn)態(tài)值。采用多項(xiàng)式逼近法計算得到的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的最終值，與利用小擾動模型阻尼系數(shù)計算方法計算暫態(tài)基本平息后的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)基本一致，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

[1] Kundur P.Power system stability and control[M].New York: Mc Graw-hill,1994.

[2] Alberto L C,Bretas N G.Required damping to assure multiswing transient stability:The SMIB case[J].International Journal of Electrical Power＆Energy System,2000,22(3): 179-185.

[3] De Mello F P.Concordia C.concepts of synchronous machine stability as affected by excitation control[J].IEEE Transaction on Power Apparatus and System,1969,88(4): 316-329.

[4] Alden R H,Shaltout A A.Analysis of damping and synchroning torques part I-A general calculation method[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,1979(5): 1696-1700.

[5] Alden R H,Shaltout A A.Analysis of damping and synchroning torques part II-A general calculation method[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,1979,PAS-98(5): 1701-1708.

[6] 李鵬,余貽鑫,孫強(qiáng),等.基于Prony 分析的多機(jī)系統(tǒng)電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算[J].電網(wǎng)技術(shù),2006,30(10): 39-44.

[7] 張鈺,王英.杜阿美爾積分法求阻尼轉(zhuǎn)矩和阻尼功率[J].太原理工大學(xué)學(xué)報,1998,29(2): 90-93,97.

[8] 湯蘊(yùn)璆,王艷萍.功角作正弦大振蕩時同步電機(jī)的整步轉(zhuǎn)矩和阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)[J].哈爾濱電工學(xué)院學(xué)報,1990,13(1): 1-14.

[9] 王艷萍.功角作正弦大振蕩時定子電阻對同步電機(jī)整步轉(zhuǎn)矩和阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)的影響[J].哈爾濱電工學(xué)院學(xué)報,1991,14(2): 129-132.

[10] Jiang Ningqiang,Chiang HD.Numerical investigation on the damping property in power system transient behavior[J].IEEE Transactions on Power Systems,2013,28(3): 2986-2993.

[11] 徐政.交直流電力系統(tǒng)動態(tài)行為分析[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,2004.