郭艷慧，黎先華

（1.蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州大學數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215006）

Halls－半嵌入子群與有限群的p－冪零性

郭艷慧1，2，黎先華2＊

（1.蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州大學數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215006）

設群G為有限群，稱群G的子群H為Halls－半嵌入子群，若對任意的素數(shù)p滿足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有H為〈H，P〉的Hall子群，其中P∈Sylp（G）.利用Halls－半嵌入子群和極小子群得到有限群為p－冪零群的若干新判定方法.

Halls－半嵌入子群；p－冪零群；冪零群

本文涉及的群均為有限群，所用術語及符號均是標準的，未交待的概念和符號參見文獻［1］.這里列出本文中幾個常用的符號：｜G｜表示群G的階；｜G∶H｜表示子群H在群G中的指數(shù)；Sylp（G）表示群G的所有Sylowp－子群之集.

關于Hall子群的存在性及利用Hall子群來探討群的結構是群論研究的熱點.群G的子群H稱為G的Hall子群，若（｜G∶H｜，｜H｜）＝1；群G的子群H稱為G的p′－Hall子群，若｜H｜·｜P｜＝｜G｜，其中P∈Sylp（G）.作為Sylow子群的推廣，Hall子群是一類重要的子群.著名的Hall定理［1］258指出，群G為可解群當且僅當對｜G｜的任意素因子p，都存在G的p′－Hall子群.Moretó［2］利用Sylow數(shù)討論了冪零Hall子群的存在性；Revin等［3］給出了Hall子群的Frattini論斷定理；Arad等［4］推廣了Hall定理，證得群G為可解群當且僅當存在G的2′－Hall子群與3′－Hall子群.最近，Li等［5－6］先后引入了Hall正規(guī)嵌入子群和Hall次正規(guī)嵌入子群的概念；張勤海等［7］提出了s－半置換子群的概念：群G的子群H稱為G的s－半置換子群，若對任意的素數(shù)p滿足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH，其中P∈Sylp（G）.關于s－半置換子群的概念有許多推廣形式，如弱ˉs－可補子群［8］和幾乎τ－嵌入子群［9］.作為Hall子群和s－半置換子群的推廣，本文引入Halls－半嵌入子群這一新概念，并利用它給出有限群為p－冪零群的若干新判定方法.

1 預備知識

定義1 設群G為有限群，稱群G的子群H為Halls－半嵌入子群，若對任意的素數(shù)p滿足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有H為〈H，P〉的 Hall子群，其中P∈Sylp（G）.

顯然，G的每個Hall子群和每個s－半置換子群都是G的Halls－半嵌入子群，但G的Halls－半嵌入子群不一定是G的s－半置換子群.反例如下：

例 設G＝A5，則G的Sylow 2－子群顯然為Halls－半嵌入子群，但由文獻［10］中推論B知G的Sylow 2－子群不是s－半置換子群.

引理1 設A為G的Halls－半嵌入子群且A≤H≤G，則A為H的Halls－半嵌入子群.

證明 設素數(shù)p滿足p｜｜H｜，（p，｜A｜）＝1且H p∈Sylp（H），則必存在Gp∈Sylp（G）使得H p≤Gp.由A為G的 Halls－半嵌入子群知A為〈A，Gp〉的 Hall子群.又因〈A，H p〉≤〈A，Gp〉，故A為〈A，H p〉的Hall子群，從而A為H的Halls－半嵌入子群.

引理2 設A為G的Halls－半嵌入子群，且A為p－群，N G，則AN／N為G／N的Halls－半嵌入子群.

引理3［11］設G為一個有限群，A≤G，F(xiàn)是一個非空飽和群系且Z＝（G）.

1）若A在G中正規(guī)，則AZ／A≤（G／A）；

2）若F是S－閉的，則Z∩A≤（A）.

2 主要結果

定理1 設素數(shù)p滿足p｜｜G｜且（｜G｜，p－1）＝1.若G的每個p階及4階（當p＝2時）循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

證明 假設定理不成立，設G為極小階反例.任取H＜G，由假設及引理1，知H的p階及4階（當p＝2時）循環(huán)子群為H的Halls－半嵌入子群.又因G為極小階反例，所以H必為p－冪零群，從而G的每個真子群為p－冪零群，即G為極小非p－冪零群.由極小非p－冪零群的結構定理［12］可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q還滿足：P G；當p＞2時，P的指數(shù)expP＝p；當p＝2時，expP≤4；Q為循環(huán)群.

1）當｜P｜＝p時，由NG（P）／CG（P）同構于 Aut（P）的一個子群，｜Aut（P）｜＝p－1以及假設（｜G｜，p－1）＝1，可得NG（P）＝CG（P），從而由Burnside定理知G為p－冪零群，這與G為極小階反例矛盾.

2）當｜P｜＝p2時，若p＞2，任取a∈P，則｜a｜＝p.由假設〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，知〈a〉為〈a，Q〉的 Hall子群.再由〈a，Q〉＝〈a〉Q＜G及G為極小階反例，可得〈a，Q〉＝〈a〉Q為p－冪零群，從而〈a〉≤N G（Q）.由a的任意性知P≤N G（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾.

若p＝2，則當P為循環(huán)群時G為p－冪零群；當P不循環(huán)時，任取a∈P，有｜a｜＝2.由假設〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，可得〈a〉為〈a，Q〉的 Hall子群.又因〈a，Q〉＝〈a〉Q＜G，故由G為極小階反例，〈a，Q〉＝〈a〉Q為2－冪零群，得〈a〉≤N G（Q）.再由a的任意性知P≤N G（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾.

3）當｜P｜＞p2時，任取a∈P，則｜a｜＝p或4（當p＝2時）.由假設〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，得〈a〉為〈a，Q〉的 Hall子群.再由〈a，Q〉＝〈a〉Q≤G及G為極小階反例，知〈a，Q〉＝〈a〉Q為p－冪零群，從而〈a〉≤N G（Q）.由a的任意性知P≤N G（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾.

綜上，極小階反例不存在，從而G為p－冪零群.

推論1 1）若群G的所有2階及4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為2－冪零群.

2）設p為｜G｜的最小素因子，且p＞2.若G的所有p階子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

3）若群G的所有極小子群及4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G有超可解性Sylow－塔.

定理2 若群G的每個p階子群包含在Z∞（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

證明 假設定理不成立，設G為極小階反例.任取H＜G以及H的p階子群A.在引理3中取F為冪零飽和群系，則F為S－閉的且此時（G）＝Z∞（G）.由引理3中2），得A≤Z∞（G）∩H≤Z∞（H）.又由引理1可得H的4階循環(huán)子群為H的Halls－半嵌入子群，從而由G為極小階反例知H為p－冪零群，故G為極小非p－冪零群.由極小非p－冪零群的結構定理，可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q滿足：P G；當p＞2時，expP＝p；當p＝2時，expP≤4；Q為循環(huán)群.若p＞2，則由假設知P≤Z∞（G），從而G＝PQ＝Z∞（G）Q為冪零群，這與G為極小階反例矛盾，故p＝2.任取a∈P，若｜a｜＝2，則〈a，Q〉≤Z∞（G）Q.由Z∞（G）Q為冪零群，可得〈a〉≤NG（Q）；若｜a｜＝4，則由假設〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，知〈a〉為〈a，Q〉＝〈a〉Q的 Hall子群.由〈a，Q〉＝〈a〉Q為2－冪零群，可得〈a〉≤NG（Q）.進一步地，由a的任意性可得P≤NG（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾；因此，極小階反例不存在，從而G為p－冪零群.

推論2 1）若群G的每個p階子群包含在Z（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

2）若群G的每個極小子群包含在Z∞（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為冪零群.

3）若群G的每個極小子群包含在Z（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為冪零群.

定理3 設NG且滿足G／N為p－冪零群.若N的每個p階子群包含在Z∞（G）中，4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

證明 假設定理不成立，設G為極小階反例.

1）G為極小非p－冪零群.任取H＜G，則H∩NH.在引理3中取F為冪零飽和群系，則F為S－閉的且此時（G）＝Z∞（G）.由引理3中2）可得Z∞（G）∩H≤Z∞（H），從而H∩N的p階子群包含在Z∞（H）中.再由引理1，知H∩N的4階循環(huán)子群也是H的Halls－半嵌入子群.又由H／（H∩N）?H N／N及G／N為p－冪零群，可得H／H∩N為p－冪零群，故H及H∩N滿足假設條件.又因G為極小階反例，故H為p－冪零群，從而G為極小非p－冪零群.由極小非p－冪零群的結構定理，可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q滿足：P G；當p＞2時，expP＝p；當p＝2時，expP≤4；Q為循環(huán)群.

2）p＝2.若p＞2，則由假設知P∩N≤Z∞（G）.因為G／（P∩N）≤（G／P）×（G／N），G／P?Q以及G／N均為p－冪零群，所以G／（P∩N）為p－冪零群，從而Q（P∩N）／（P∩N）G／N.若Q（P∩N）＝G，則由定理2知G為p－冪零群，這與G為極小非p－冪零群矛盾，所以Q（P∩N）＜G，從而Q（P∩N）為p－冪零群.又因QcharQ（P∩N），故Q G，G為冪零群，這與G為極小非p－冪零群矛盾，從而必有p＝2.

3）N為冪零群，且其Sylowq－子群N q滿足1＜N q＜Q.若N＝G，則由定理2知G為p－冪零群，矛盾，從而1＜N＜G.由上述1）得N為p－冪零群，從而N p≤P，Nq≤Q.若N q＝1，則N≤P；若N＝P，則由定理2知G為p－冪零群，矛盾，故N＜P；從而，G／N＝（P／N）·（QN／N）.由G／N為p－冪零群得QNG，又因QN＜G，故QN為p－冪零群.由QcharQN，必有Q G，這與G為極小階反例矛盾，從而N q滿足1＜Nq＜Q.

4）由前述1）～3）的討論可知N q≤Z（G），現(xiàn)考慮商群G／Nq.在引理3中取F為冪零飽和群系，則由引理3中1），得到N／Nq的p階子群包含在Z∞（G）Nq／Nq＝Z∞（G）／Nq≤Z∞（G／N q）中.又由引理3中2）知N／Nq的4階子群為G／N q的Halls－半嵌入子群，從而G／Nq及N／N q滿足假設條件，再由G為極小階反例可知G／N q為p－冪零群.于是Q／N qG／N，故QG，G為p－冪零群，矛盾.

綜上，極小階反例不存在，G為p－冪零群.

推論3 1）設NG且滿足G／N為p－冪零群.若N的每個p階子群包含在Z（G）中且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

2）設NG且滿足G／N為冪零群.若N的每個極小子群包含在Z（G）中且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為冪零群.

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Halls－semiembedded subgroups andp－nilpotency of the finite groups

GUO Yanhui1，2，LI Xianhua2＊

（1.Sch of Math ＆Phys，Suzhou Univ of Sci and Tech，Suzhou 215009，China；2.Sch of Math Sci，Soochow Univ，Suzhou 215006，China）

LetGbe a finite group.A subgroupHofGis called a Halls－semiembedded subgroup ofG，if for any primepwithp｜｜G｜，His a Hall subgroup of〈H，P〉，wherePis a Sylowp－subgroup ofGwith（p，｜H｜）＝1.In this paper，it is obtained that some new results about thep－nilpotency ofGunder the assumptions that some minimal subgroups ofGare Halls－semiembedded inG.

Halls－semiembedded subgroup；p－nilpotent group；nilpotent group

O 152.1

A

1007－824X（2015）04－0001－04

2015－04－09.＊ 聯(lián)系人，E－mail：xhli＠suda.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（11171243）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目（KYLX－1212）.

郭艷慧，黎先華.Halls－半嵌入子群與有限群的p－冪零性 ［J］.揚州大學學報（自然科學版），2015，18（4）：1－4.

（責任編輯 青 禾）