朱 瑩，凌 智

（1.揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州 225002；2.揚州職業(yè)大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州 225009）

一類具反饋控制傳染病模型的穩(wěn)定性分析

朱 瑩1，2，凌 智1＊

（1.揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州 225002；2.揚州職業(yè)大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州 225009）

研究一類具反饋控制和標準發(fā)生率的SI傳染病模型，運用常微分方程平衡點的理論，證明了該系統(tǒng)無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性和局部漸近穩(wěn)定性.通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，證明了該系統(tǒng)染病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，給出疾病趨于消失或地方性流行的一個充分條件.最后通過數(shù)值模擬驗證了所得結(jié)論的正確性.

反饋控制；傳染病模型；標準發(fā)生率；局部穩(wěn)定性；全局穩(wěn)定性

傳染病對人類健康帶來了極大威脅，比如20世紀80年代開始蔓延的艾滋病毒；2003年突襲人類的SARS；2013年3月底在中國內(nèi)地率先發(fā)現(xiàn)的H7N9型禽流感病毒等.這些傳染性疾病不僅會給人們帶來極大的恐慌，而且還會導致數(shù)以萬計的人類個體失去生命，于是有關(guān)數(shù)學模型［1－4］的建立成為分析疾病傳播與控制疾病的基本工具.許多學者運用傳染病動力學中古典的倉室模型對傳染病進行了描述與研究［5－8］，常見的傳染病模型有SI模型、SIS模型、SEI模型和SIR模型等.由于現(xiàn)實生態(tài)系統(tǒng)中生存率等一些生物參數(shù)是變化的，因此人們更加關(guān)心生態(tài)系統(tǒng)能否經(jīng)受持續(xù)一段時間且不可預測的干擾.Gopalsamy等［9］在Logistic模型中引入一個反饋控制變量，并討論了這個具反饋控制模型解的漸近行為.這種具反饋控制變量的傳染病模型受到了廣泛關(guān)注［10－11］，研究表明：若模型正平衡解全局漸近穩(wěn)定，則反饋控制變量不會改變模型的穩(wěn)定性而只會改變模型正平衡解的位置；若模型中傳染病滅絕，則反饋控制變量可使模型變得全局漸近穩(wěn)定或傳染病持續(xù)滅絕.鑒于反饋控制變量對傳染病模型的動力學行為有著重要的影響，故本文研究如下一類具標準發(fā)生率和反饋控制的SI傳染病模型：

其中S（t）和I（t）分別表示易感者和感染者在t時刻的密度；u1（t）和u2（t）為反饋控制變量；r為易感人群的補充率；μ為染病者的死亡率；b為易感人群接觸染病者時的轉(zhuǎn)化率；a，f分別為易感人群與染病人群內(nèi)部競爭系數(shù)；c1，c2，d1，d2，e1，e2為參量；以上變量和參量均取正值.在數(shù)學生態(tài)學中，只須考慮模型（1）的正解，因此假定模型（1）的初始條件S（0），u1（0），I（0），u2（0）均為正值，從而易得當t＞0時，具初始條件的模型（1）所有解都是正值.

1 無病平衡點的局部穩(wěn)定性與全局穩(wěn)定性

假定模型（1）的無病平衡點為P0（S0，0，，0），其中；染病平衡點為），當且僅當下述方程有正解：

由解的正性，知當μ＜b＜r＋μ時，可得

再由μ＜b＜r＋μ，可知（μ－b）（r＋μ－b）＜0，此時易知模型（1）的基本再生數(shù)為

下面分別討論模型（1）無病平衡點P0的穩(wěn)定性及染病平衡點P＊的穩(wěn)定性.

定理1 當R0＜1時，模型（1）的無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的；當R0＞1時，P0是不穩(wěn)定的.

證明 考慮模型（1）在點P0（S0，0，，0）處的Jacobian矩陣

其對應的特征多項式為

將S0，代入式（3），易得，從而可知另兩根的實部小于0.由上述特征方程的4個特征根實部皆為負值，根據(jù)Routh－Hurwitz定理可知無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的.

定理2 當R0＜1時，模型（1）的無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的；當R0＞1時，P0是不穩(wěn)定的.

證明 當R0＜1時，易知模型（1）滿足μ＞b＞0，S＞0，I＞0，且1＞S／（S＋I）.由模型（1）中第二式得到I′（t）≤－（μ－b）I，于是I（t）≤I（0）e－（μ－b）t.當t→∞時，有I（t）→0，進而有u2（t）→0，S（t）→S0，u1（t）→u01.這說明當R0＜1時，無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的；當R0＞1時，P0是不穩(wěn)定的.

2 染病平衡點的局部穩(wěn)定性

定理3 當R0＞1且4aα（β＋1）＞b時，模型（1）的染病平衡點P＊是局部穩(wěn)定的.證明 根據(jù)常微分方程穩(wěn)定性原理構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

對V（t）求導數(shù)，并將方程（2）代入V′（t），得

當S→S＊，I→I＊，u1→，u2→時，有

因S＊＝α＋βI＊，故有

從而，當4aα（β＋1）＞b時，有a（S＊＋I＊）2≥4aα（β＋1）I＊＞bI＊，即

所以V′（t）≤0.即模型（1）的染病平衡點P＊（S＊，I＊，u1＊，u2＊）是局部漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)利用Matlab軟件對模型（1）進行數(shù)值模擬（見圖1～2），以闡明上述3個定理的現(xiàn)實意義.

圖1 當b＝0.2時傳染病消失曲線Fig.1 When b＝0.2 the disease is extinct

圖2 當b＝0.5時傳染病流行曲線Fig.2 When b＝0.5 the disease is endemic

對模型（1）的參數(shù)進行賦值，選取適當?shù)臄?shù)據(jù)［11］55如下：

考察參數(shù)b，當b＝0.2時，得R0＝0.87＜1，此時無病平衡點為P0（0.24，0，0.12，0），見圖1；當b＝0.5時，得R0＝1.19＞1.此時染病平衡點P＊（0.183 4，0.072 4，0.091 7，0.036 2），見圖2.

由圖1可觀察到，此時S和u1趨于正常數(shù)S0和u01，I和u2趨近于0，說明疾病趨于消失，這與前述定理1、定理2的結(jié)論一致；由圖2可觀察到，此時S，I，u1，u2分別趨于正常數(shù)S＊，I＊，u＊1，u＊2，疾病趨于流行，這與定理3的結(jié)論一致.

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The stability analysis of an epidemic model with feedback controls

ZHU Ying1，2，LING Zhi1＊

（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Sch of Math Sci，Yangzhou Polytech Coll，Yangzhou 225009，China）

This paper studies an epidemic model with model feedback controls and standard incidence.Using the balance theory of ordinary differential equations，it proves that the system is global asymptotic stability of the disease－free equilibrium and the locally asymptotic stability.By constructing suitable Lyapunov function，it also proves that the system have the locally asymptotic stability of the equilibrium.A sufficient condition is given for the disease to disappear or endemic.Finally，numerical simulation verifies the validity of the main results.

feedback control；epidemic model；standard incidence；locally stability；global stability

O 175.26

A

1007－824X（2015）04－0033－04

2015－05－28.＊ 聯(lián)系人，E－mail：zhling＠yzu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（11571301，61472343）；江蘇省自然科學基金資助項目（BK20151305）；江蘇省高等職業(yè)院校國內(nèi)高級訪問學者計劃資助項目（2014FX093）.

朱瑩，凌智.一類具反饋控制傳染病模型的穩(wěn)定性分析 ［J］.揚州大學學報（自然科學版），2015，18（4）：33－36.

（責任編輯 青 禾）