周衛(wèi)東

[摘 要]“平均數(shù)”的教學應讓學生學習哪些本質(zhì)？平均數(shù)是數(shù)據(jù)的代表，反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，平均數(shù)常用于統(tǒng)計對象的一般水平，它既可以反映出一組數(shù)量的一般情況，也可以用來進行不同組數(shù)量的比較，以看出組與組之間的差別。求平均數(shù)是分析數(shù)據(jù)的一種重要方法，在日常生活中，特別是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常要用到，如平均成績、平均身高、平均產(chǎn)量、平均速度等。教學中應如何把握這些學科本質(zhì)？可以“小研究學習”的方式，讓學生在研究、交流、反思中自然領悟和把握。

[關鍵詞]平均數(shù) 移多補少 易變性

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-014

A.課前學生進行前置性小研究。（研究單詳見前文附錄）

B.課堂學習與交流過程

一、小組交流，分享各自研究成果

師：這節(jié)課，我們學習一個新的數(shù)學知識，大家知道是什么嗎？

師：關于“平均數(shù)”的知識，課前我們已經(jīng)做了一個小研究，請大家拿出來，4人小組相互交流一下，在交流中如果遇到不一樣的想法，可以商量商量，再做適當?shù)男薷?。開始吧！”（時間5分鐘左右）

二、全班交流

1.感受平均數(shù)的意義，掌握平均數(shù)的求法

師：哪個小組愿意與大家分享自己的研究成果？

生1：下面由我們小組來與大家交流。我先匯報我的想法。我覺得C組應該是冠軍，因為C組的平均數(shù)最大。我算了一下，A組的平均數(shù)是4個，用（3+8+1）÷3=4（個）；B組的平均數(shù)也是4個，用（3+5+4+4）÷4=4（個）；C組的平均數(shù)是5個，用（4+5+6）÷3=5（個）。

生2：我不同意生1的想法，我覺得A組應該是冠軍，因為他們說得對，最大數(shù)8在他們組??！

（這時，班上大多數(shù)學生都舉起了手）

生3：最大數(shù)在他們組，可是最小數(shù)1也在他們組??！所以不能看單個人的數(shù)量，而要看整個組的水平！

生4：對，不能看某個人的數(shù)量，因為他不代表整個組的水平。

生5：同樣，B組的說法也不對，雖然他們小組的總數(shù)最多，但他們小組的人數(shù)最多，平均攤到每個人的頭上只有4個，而C組攤到每個人的頭上是5個。所以我同意C組是冠軍。

師：這個“攤”字挺有意思！攤字還可以怎么解釋？

生6：攤就是平均的意思，平均就是讓每個人都一樣多！

師：多形象的一個字??！讓我們對一個科學的概念得到很好的理解，謝謝你！

師：孩子們，我們來把剛才大家的發(fā)言整理一下。A、B、C組都想用一個數(shù)據(jù)來代表自己組的水平（板書：數(shù)據(jù)代表），回憶一下，三個組的數(shù)據(jù)代表分別是什么？

生7：A組的代表是最大數(shù)，B組的代表是總數(shù)，C組的代表是平均數(shù)。

師：沒錯，在不同的場合下，最大數(shù)、總數(shù)和平均數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，那在這種情況下，誰做數(shù)據(jù)代表更合適呢？

生：平均數(shù)。

師：平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，代表了這組數(shù)據(jù)的整體水平。

師：剛才生1同學介紹了求平均數(shù)的方法，誰來概括一下，她是怎么求平均數(shù)的？

生8：先求總數(shù)，再除以個數(shù)。

師：大家同意嗎？（板書：平均數(shù)=總數(shù)÷個數(shù)）

生9：我來補充，求平均數(shù)還可以這樣想，比如C組，把王宇的6個，移一個給李小鋼，這樣，3個人就都是5個了，那么平均數(shù)就是5了。

師：你是一個很善于思考、善于觀察的孩子！那生9的這種方法，誰來給它取一個名字？

生10：取大給小。

生11：移多補少。

師：真好！這兩個名稱意義都表達了同一個意思。數(shù)學上規(guī)范的名稱叫“移多補少”！

2.靈活運用平均數(shù)的求法，進一步感受平均數(shù)的“易變性”

師：小研究的第2題，哪個小組愿意與大家交流？

生12：下面由我們小組來與大家交流。我認為D組可能得冠軍，也可能得不到。

生13：對，我來補充，剛才C組是冠軍，平均數(shù)是5個，現(xiàn)在D組4個人來投，總數(shù)要達到20個，平均數(shù)才正好是5個，現(xiàn)在前3個人的總數(shù)是6+5+3=14個，14個與20個相差6個，第4個人如果投6個，平均數(shù)就是5個，正好與C組并列冠軍，要想得絕對冠軍，平均數(shù)就必須超過5個，那第4個人至少要投7個。

生14：對，我來小結一下，這里有3種情況。如果第4個人投了6個，平均數(shù)就正是5個，與C組是并列冠軍；如果小于6個，平均數(shù)小于5個，就得不到冠軍；如果大于6個，平均數(shù)大于5個，就是絕對冠軍。

師：噢，聽了這個小組的發(fā)言，大家有沒有感覺到，左右D組能不能得冠軍的個數(shù)只是區(qū)區(qū)的1個，多1個與少1個，結果完全不一樣，看來平均數(shù)是易變的，難怪有人這樣形容平均數(shù)“平均數(shù)這東西很敏感，任何一個數(shù)據(jù)的風吹草動，都會使平均數(shù)發(fā)生變化”?，F(xiàn)在看來，這話有道理嗎？

3.進一步理解平均數(shù)“介于大數(shù)與小數(shù)之間”等特性

師：孩子們，讓我們一起來交流第3題，相信大家對平均數(shù)的認識會更深一層。

生15：我認為圖3是對的。因為圖1的虛線取的是最小數(shù)，平均數(shù)不可能是最小數(shù)，圖4的虛線取的是最大數(shù)，平均數(shù)也不可能是最大數(shù)，圖2多的部分拿給少的部分不夠分，所以我覺得是圖3是對的。

生16：我同意生15的想法。我根據(jù)5個人的多少，分別假設了他們投球的個數(shù)，用具體的數(shù)算一下就知道了。

師：大家同意嗎？其實，生16介紹的這種方法，老師預先也準備了，大家一起來感受一下。

師：用圖中的具體數(shù)據(jù)計算一下，哪一幅圖是正確的呢？

師：通過對這道題的研究，你對平均數(shù)又有哪些新的認識呢？

生17：平均數(shù)大于最小數(shù)，小于最大數(shù)。

生18：平均數(shù)介于最大數(shù)和最小數(shù)之間。

生19：平均數(shù)是個中間數(shù)。

4.進一步理解“平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，個別數(shù)值不能代表整體水平”等特性

師：你覺得黑馬說得有道理嗎？（學生交流略）

師：孩子們，這個故事還沒有結束呢。請看續(xù)節(jié)——

師：你覺得黃馬說得有道理嗎？（學生交流略）

師：聽了這個故事，你覺得有哪些收獲要與大家分享呢？

【課后反思】

“小研究學習”的課堂，不僅要關注學生的學，更應關注學科特質(zhì)的提煉與表達，要讓學科的本質(zhì)占領課堂的主陣地，要體現(xiàn)出濃濃的“數(shù)學味”。

就平均數(shù)而言，“數(shù)學味”體現(xiàn)在重在突顯概念的本質(zhì)。

置于整體，概念的特點更能顯現(xiàn)。眾所周知，同樣看一個事物，從局部看局部，從整體看局部，后者顯然更為清楚。而在數(shù)學學習的過程中，也有同樣的道理。平均數(shù)是什么呢？我們需要一個全景式的了解，統(tǒng)計學認為，描述一組數(shù)據(jù)的特征量有三種：差異量，集中量和相關量。集中量就是表示一組數(shù)據(jù)的典型水平或集中趨勢的量。集中量又分為眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。平均數(shù)又分為加權平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù)和算術平均數(shù)。從現(xiàn)實情況看，小學生學習的平均數(shù)更多的是指算術平均數(shù)，較復雜的平均數(shù)中有加權平均數(shù)。有一個這樣整體系統(tǒng)的認識，教學中更能抓住其本質(zhì)特征。從這些背景知識中，可以發(fā)現(xiàn)：平均數(shù)是眾多集中量（小學生講“代表數(shù)”比較容易理解）中的一個，并不唯一。反思第一環(huán)節(jié)，在學生判斷哪一組得冠軍的環(huán)節(jié)，要找一個能代表小組意見的分數(shù)時，從學生的回答中，我們可以看到除了平均數(shù)還有總數(shù)和最大數(shù)的影響，這就是一個概念形成的真實的整體背景。

豐富經(jīng)歷，概念的形成更加完整。平均數(shù)是一種反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，是描述數(shù)據(jù)的重要統(tǒng)計指標之一，理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義是教學的關鍵，有經(jīng)歷，才會有體驗。縱觀全課，四個教學場景各有側重，將學生置于全方位的“場域”之中。引導學生通過辨析討論，體會“平均數(shù)肯定在最大數(shù)與最小數(shù)之間”“平均數(shù)有時會受到極端數(shù)據(jù)的影響”“平均數(shù)是一個特征數(shù)，并不是所有數(shù)都是這個數(shù)”等特點，進一步理解平均數(shù)的實際意義，這樣的教學，有助于學生今后理解用平均數(shù)表示的數(shù)據(jù)的特征，并且在進行數(shù)據(jù)分析時能想到用平均數(shù)刻畫數(shù)據(jù)。

加強聯(lián)系，概念的價值更為豐實。數(shù)學聯(lián)系，就本節(jié)課教學設計而言，主要指數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，以及數(shù)學與德育的聯(lián)系。本節(jié)課上，在數(shù)學學習的過程中，要豐富數(shù)學學習的素材，讓數(shù)學與德育的聯(lián)系并非只是停留在形式。在課堂上，當聽完新“小馬過河”的故事時，學生不僅對黃馬和黑馬賦予了人的個性特點，同時聯(lián)想現(xiàn)實生活中的一些“平均數(shù)”，如重點中學的學生平均分數(shù)比一般學校高，那么是否就是就讀重點中學好；好的單位平均工資比一般單位好，那么是否要選擇好單位就業(yè)，以及“寧當雞頭不作鳳尾”的俗語，都是對學生的學習和生活有著長遠的教育意義的?！白鳛榻逃蝿盏臄?shù)學”承載的不只是數(shù)學的學習。雖然我們也反對“去數(shù)學化”，反對數(shù)學與其他學科的牽強聯(lián)系，也不贊成“貼標簽式的德育滲透”，但我們認同和倡導用兒童所能接受并喜歡接受的方式，加強聯(lián)系，滲透德育，真正實現(xiàn)“數(shù)學教學，不只教學數(shù)學?！?/p>

（責編 金 鈴）