田 強(qiáng)，徐 權(quán)

(1.北京師范大學(xué) 物理系，北京100875;2.大慶師范學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 大慶163712)

0 引言

Bose 愛(ài)因斯坦凝聚是當(dāng)今世界上眾多實(shí)驗(yàn)小組所青睞的課題，這是因?yàn)閎ose 愛(ài)因斯坦凝聚提供了用物質(zhì)波研究非線性效果的唯一可能性。同時(shí)，也有力地支撐了非線性原子光學(xué)新領(lǐng)域的研究。在絕對(duì)零度時(shí)，GP 方程對(duì)bose 愛(ài)因斯坦凝聚的動(dòng)力學(xué)行為的描述是精確的。對(duì)于均勻凝聚體的情況(外勢(shì)為零或?yàn)槌?shù))，GP 方程就是一標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程。由非線性光學(xué)，我們知道，這樣的波方程的一個(gè)重要特點(diǎn)，就是它具有物質(zhì)波孤子。作為非線性效應(yīng)的一個(gè)重要方向孤子在bose 愛(ài)因斯坦凝聚的研究中具有重要地位。

在非線性光學(xué)中，由傳播介質(zhì)的非線性作用引起了對(duì)波包的自聚焦相應(yīng)，平衡了色散和衍射造成波包擴(kuò)散而形成光學(xué)孤子。在bose 愛(ài)因斯坦凝聚中，產(chǎn)生這種等價(jià)于自聚焦效應(yīng)的非線性效應(yīng)，來(lái)自于凝聚原子之間的兩體相互作用。當(dāng)它抵消波包的擴(kuò)散作用后就形成了物質(zhì)波孤子。但是，對(duì)于不同的性質(zhì)的原子之間相互作用會(huì)形成不同的物質(zhì)波孤子。當(dāng)原子間相互作用為排斥時(shí)，GP 方程具有暗孤子;當(dāng)原子間相互作用為吸引時(shí)，GP 方程具有亮孤子。圍繞bose 愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)中孤子這一主題，人們做了大量的理論和實(shí)驗(yàn)工作。

1 BEC 暗孤子的研究現(xiàn)狀

1999年，Burger S.和他的合作者，在87Rb 原子的bose 愛(ài)因斯坦凝聚中首次實(shí)現(xiàn)了暗孤子［1］。2000年Denschlog J.工作組利用Na 原子也實(shí)現(xiàn)了物質(zhì)波暗孤子［2］。這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)都是通過(guò)相位印記(phase imprinting)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)物質(zhì)波暗孤子。暗孤子的特征就是由相位決定的，因此，加入一個(gè)合適的初相位分布就成為了產(chǎn)生暗孤子的自然的方式。這種思路是在文獻(xiàn)［3］中提出的，在文獻(xiàn)［1－2］中實(shí)現(xiàn)的。

這種方法將一個(gè)短持續(xù)時(shí)間的激光脈沖加入到雪茄型凝聚體的一部分中，因?yàn)榭梢栽诓桓淖兡垠w密度的前提下，印記一個(gè)增加的相位。它最初是被建議用來(lái)在bose 愛(ài)因斯坦凝聚中產(chǎn)生渦旋。在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中他們發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)凝聚體的密度包絡(luò)上凹痕處的凝聚體密度為零時(shí)，暗孤子才是靜止的，并且此時(shí)被這一凹痕分為兩個(gè)部分的bose 愛(ài)因斯坦凝聚的相位精確相差π。一般隨著凹痕的深度由大到零的變化會(huì)引起暗孤子的速度由靜止到接近聲速的相應(yīng)變化。

暗孤子是凝聚體本身密度缺損的一種表現(xiàn)。它僅僅只能存在于凝聚體的內(nèi)部。在bose 愛(ài)因斯坦凝聚中，暗孤子的一個(gè)重要特征是它的速度小于Bogoliubov 聲速其中g(shù)=(4πh2as)/m，as代表原子間散射長(zhǎng)度，n=| ψ0|2是凝聚體基態(tài)的粒子數(shù)密度。這樣，暗孤子的運(yùn)動(dòng)速度v 可以由相位差δ(0 ＜δ ≤π)或者暗孤子的深度來(lái)nd表示，有:

此處，暗孤子的深度nd指的是凝聚體基態(tài)的粒子數(shù)密度n 與暗孤子底部粒子數(shù)密度之間的差值。當(dāng)δ=π 時(shí)，暗孤子的速度為零，而且其底部的粒子數(shù)密度也為零。即此時(shí)暗孤子的底部沒(méi)有粒子，暗孤子的深度nd=n。隨著相位差δ 的減少，速度會(huì)逐漸增大，慢慢接近Bogoliubov 聲速，此時(shí)暗孤子開始變淺變寬，直到消失。

到目前為止，在bose 愛(ài)因斯坦凝聚中產(chǎn)生暗孤子的方法可以分為三類:1)相位engineering 技術(shù)，這是控制bose 愛(ài)因斯坦凝聚密度的主要直接技術(shù);2)密度engineering 技術(shù)，這也是控制bose 愛(ài)因斯坦凝聚密度的主要直接技術(shù);3)量子態(tài)engineering 技術(shù)，這種技術(shù)結(jié)合了前兩類技術(shù)。

2 BEC 物質(zhì)波亮孤子的研究現(xiàn)狀

與暗孤子是凝聚體本身密度缺損的一種表現(xiàn)相比，亮孤子本身就是凝聚體，所以，它更容易穩(wěn)定地存在并較長(zhǎng)時(shí)間地傳播。亮孤子能較長(zhǎng)時(shí)間存在的這種性質(zhì)，在量子信息的理論研究中有著非常重要的意義，增大了其作為鏈子信息載體的可能性，亮孤子存在及其維持的條件、孤子間的相互作用、孤子的傳播速度與其耗散的關(guān)系等的理論研究都對(duì)利用bose 愛(ài)因斯坦凝聚這種宏觀量子態(tài)作為量子信息載體的可行性以及可操作性研究有著重要的指導(dǎo)作用。另外，原子的耗散、關(guān)聯(lián)效應(yīng)以及物理過(guò)程的演化和控制都是學(xué)者們感興趣的熱點(diǎn)問(wèn)題。

然而，相對(duì)于暗孤子，人們對(duì)物質(zhì)波亮孤子的研究則相對(duì)稍晚些。原因在于當(dāng)凝聚體原子間的相互作用為吸引時(shí)，維系孤子穩(wěn)定凝聚原子數(shù)必須在一個(gè)臨界值范圍內(nèi)，并且二維和三維情形中，凝聚體存在的塌縮現(xiàn)象，導(dǎo)致相應(yīng)的物質(zhì)波亮孤子不能穩(wěn)定存在。但是在準(zhǔn)一維情況下，吸引的玻色愛(ài)因斯坦凝聚還是可以穩(wěn)定的。故亮孤子可從中形成。另外在二維情況下，還可以通過(guò)快速振動(dòng)原子間相互作用來(lái)穩(wěn)定二維亮孤子［4］。在實(shí)驗(yàn)［5，6］中，Strecter K.E.和Khaykovich L.等人，就是利用7Li 原子在準(zhǔn)一維光學(xué)阱中生成了物質(zhì)波亮孤子和孤子鏈，并且觀察了他們的傳播過(guò)程。

理論和實(shí)驗(yàn)研究表明只要凝聚體的原子數(shù)目超過(guò)某一臨界數(shù)目，都會(huì)塌縮，只有有限數(shù)目原子的凝聚體通過(guò)阱的束縛才可以穩(wěn)定存在。當(dāng)非線性相互作用與色散相互補(bǔ)償時(shí)，孤子就可形成。對(duì)雪茄型凝聚體而言，吸引相互作用勢(shì)凝聚體被限制在一維方向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)吸引的相互作用能補(bǔ)償波色的色散時(shí)，即可形成穩(wěn)態(tài)孤子。由于GP 方程在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為一維非線性薛定諤方程，所以獲得不同類型非線性薛定諤方程的嚴(yán)格解。對(duì)于研究玻色愛(ài)因斯坦凝聚行為具有非常重要的意義。

近年來(lái)，我國(guó)沈陽(yáng)材料科學(xué)國(guó)家(聯(lián)合)實(shí)驗(yàn)室梁兆新、張志東與北京凝聚態(tài)物理國(guó)家實(shí)驗(yàn)室劉伍明合作，運(yùn)用達(dá)布變換法給出了一個(gè)意味非線性薛定諤方程的嚴(yán)格解。他考慮了在一個(gè)排斥勢(shì)中，原子間相互作用隨時(shí)間變化的原子間的相互作用的玻色愛(ài)因斯坦凝聚的亮孤子的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，他們研究發(fā)現(xiàn)，在亮孤子中原子數(shù)可以保持一個(gè)動(dòng)力學(xué)平衡，在亮孤子和背景間存在一個(gè)時(shí)間周期的原子的交換，并且，在一定參數(shù)范圍內(nèi)，亮孤子可以通過(guò)增加原子的散射長(zhǎng)度被壓縮成非常高的局域性物質(zhì)密度。同時(shí)，該研究提供了實(shí)驗(yàn)方式來(lái)確認(rèn)GP 方程的應(yīng)用范圍，并可以實(shí)現(xiàn)對(duì)玻色愛(ài)因斯坦凝聚體的壓縮和控制。

另外，物質(zhì)波隙孤子在近幾年也得到廣泛研究。理論上，處于光晶格勢(shì)中的凝聚體由于存在能帶和能隙結(jié)構(gòu)，預(yù)言在能隙中可以存在物質(zhì)波隙孤子［9］。這一預(yù)言不就后得到了驗(yàn)證。

3 結(jié)語(yǔ)

總之，對(duì)于玻色愛(ài)因斯坦凝聚中孤子問(wèn)題的研究無(wú)論在理論上還是在實(shí)驗(yàn)上，都主要包含三個(gè)方面:

1)孤子的產(chǎn)生和形成;

2)物質(zhì)波孤子的相干演化以及在探測(cè)過(guò)程中的相干效應(yīng);

3)非相干演化，孤子的耗散。

對(duì)于孤子產(chǎn)生問(wèn)題，我們?cè)诎倒伦友芯楷F(xiàn)狀中就提到了三種方法，“相位印記，密度工程技術(shù)，以及量子態(tài)工程技術(shù)”。而孤子的相干演化指的是在耗散發(fā)生前的演化過(guò)程，在較短的時(shí)間內(nèi)，GP 方程可以為玻色愛(ài)因斯坦凝聚孤子的動(dòng)力學(xué)演化給出準(zhǔn)確的描述。其中包含了孤子對(duì)、孤子鏈的產(chǎn)生以及每個(gè)孤子之間的相互作用。孤子的耗散效應(yīng)包括了動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性和熱力學(xué)不穩(wěn)定性。動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性是由于孤子是一維客體，當(dāng)存在于高維情況時(shí)，他們的穩(wěn)定性就會(huì)強(qiáng)烈依賴于凝聚體幾何性質(zhì)。對(duì)于充分拉長(zhǎng)的凝聚體，它的橫向囚禁非常強(qiáng)，使得橫向不可能被激發(fā)，因而孤子是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的。相反當(dāng)橫向囚禁較松時(shí)，橫向容易被激發(fā)，從而導(dǎo)致孤子的蛇形不穩(wěn)定性，導(dǎo)致孤子退化為聲子和更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，如渦旋和渦旋環(huán)。對(duì)應(yīng)動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性的孤子的耗散行為相干，卻又不穩(wěn)定地演化，可以利用GP 方程描述。熱力學(xué)不穩(wěn)定性的存在，是由于孤子是平均場(chǎng)理論中凝聚體的一種集體激發(fā)態(tài)，因此，會(huì)在短時(shí)間內(nèi)衰減到基態(tài)，其中包含了聲子的散射，此時(shí)的耗散的研究將和孤子與熱云的相互作用有關(guān)，所以不能再用GP 方程來(lái)描述，而是用Bogoliubov－de Gennes 方程來(lái)描述。

［1］Burger S.，Bongs K.，Dettmer S.，et al.Dark Solitons in Bose－Einstein Condensates.［J］.Phys.Rev.Lett.，1999，83:5198.

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［5］Strecker K.E.，Partridge G.B.，Truscott A.et al.Formation and propagation of matter－wave soliton trains.［J］.Nature，2002，417:150.

［6］Khaykovich L.，Schreck F.，F(xiàn)errari G.，et al.Salomon Formation of a Matter－Wave Bright Soliton［J］.Science 2002，296:1290－1293.