陳 君，彭小奇，唐秀明，宋彥坡，劉 征

（1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410083；2.湖南第一師范學(xué)院信息科學(xué)與工程系，湖南長沙410205；3.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湖南湘潭411201）

支持向量回歸機(jī)預(yù)測誤差校正方法

陳 君1，3，彭小奇1，2，唐秀明3，宋彥坡1，劉 征1

（1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410083；2.湖南第一師范學(xué)院信息科學(xué)與工程系，湖南長沙410205；3.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湖南湘潭411201）

針對傳統(tǒng)的ε-不敏感支持向量回歸機(jī)（ε-insensitive support vector regression，ε-SVR）未充分考慮局部支持向量對回歸預(yù)測結(jié)果的影響，不利于提高回歸預(yù)測精度的問題，提出了一種ε-SVR預(yù)測誤差校正方法。該方法以期望預(yù)測值與ε-SVR回歸預(yù)測值及局部支持向量間的歐氏距離和最小為目標(biāo)函數(shù)，以ε不敏感損失帶（ε-tube）寬度為約束條件，通過利用高維特征空間中ε-tube邊界上和邊界外的局部支持向量對ε-SVR的回歸預(yù)測值進(jìn)行誤差校正。利用人工產(chǎn)生的不同分布數(shù)據(jù)集和UCI數(shù)據(jù)集進(jìn)行的仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的ε-SVR相比，該文方法具有更高的預(yù)測精度和更強(qiáng)的泛化能力。

支持向量回歸機(jī)；誤差校正；預(yù)測精度；泛化能力

0 引 言

Cortes和Vapnik基于VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則于20世紀(jì)90年代提出的支持向量機(jī)［1］，因具有稀疏性、全局優(yōu)化、泛化能力強(qiáng)等優(yōu)點而得到廣泛研究與應(yīng)用［2－4］，其中的ε-不敏感支持向量回歸機(jī)（ε-insensitive support vector regression，ε-SVR）主要用于時間序列觀測和過程控制、優(yōu)化等［5－7］。傳統(tǒng)的ε-SVR在高維特征空間所尋找的ε-tube寬度固定、結(jié)構(gòu)對稱［1］，而實際的數(shù)據(jù)樣本分布不可避免地存在不等性方差或呈現(xiàn)出某種局部變化趨勢，導(dǎo)致ε-SVR的輸出出現(xiàn)程度不等的誤差。同時，求取ε－SVR前所確定的ε值在訓(xùn)練過程中是固定不變的，其取值主要根據(jù)經(jīng)驗來確定：當(dāng)ε增大時，相應(yīng)的解呈現(xiàn)出稀疏性，回歸曲線更加平滑；當(dāng)ε減小時，更多的樣本成為支持向量（support vector，SV），可能產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象；若采用交叉驗證法來確定ε值，則其計算復(fù)雜性和計算成本將顯著增加。為此，文獻(xiàn)［8］提出了一種通過引入?yún)?shù)ν來控制支持向量數(shù)目和訓(xùn)練誤差的支持向量機(jī)ν-SVR，當(dāng)處理帶有不等性方差的數(shù)據(jù)樣本時，ν-SVR通過假設(shè)ε-SVR中存在一個變形ε-tube并使用隨機(jī)參數(shù)模型估計ε帶的寬度，但該文獻(xiàn)未指出如何得到。文獻(xiàn)［9］提出把ε-tube分成上邊界和下邊界兩個部分，通過對樣本數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行估計來確定上、下邊界，但這種估計需要額外的估計算法。文獻(xiàn)［10］針對樣本分布的局部變化趨勢，提出了一種邊界自適應(yīng)的局部化SVR，因其要對每個訓(xùn)練樣本進(jìn)行處理而增加了計算的時間復(fù)雜性。文獻(xiàn)［11］提出在ε-SVR的基礎(chǔ)上分別給出參數(shù)化的上、下邊界函數(shù)，但邊界函數(shù)的求解難度較大，文獻(xiàn)［12］在ε-SVR框架下考慮樣本之間的相關(guān)性和樣本密度，提出解決小樣本初始訓(xùn)練數(shù)據(jù)的多標(biāo)準(zhǔn)主動學(xué)習(xí)方法的SVR。文獻(xiàn)［13－15］提出的孿生支持向量回歸機(jī)（twin support vector regression，TSVR）把ε-SVR問題轉(zhuǎn)化為求上、下邊界超平面函數(shù)的兩個優(yōu)化問題，但其解不具有稀疏性。文獻(xiàn)［16］提出同時求解函數(shù)和其微分的TSVR方法，以改善TSVR的估計精度和運算時間的復(fù)雜性。

以上文獻(xiàn)主要從ε-不敏感損失函數(shù)（ε-insensitive loss function，ε-ILF）和ε-tube邊界兩個角度對樣本數(shù)據(jù)分布進(jìn)行估計，希望通過調(diào)整ε-tube邊界來體現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的分布特性，卻使ε-SVR的優(yōu)化問題變得更復(fù)雜更難理解。特別是將非線性引入核函數(shù)后，因核參數(shù)的不同所引起的高維特征空間數(shù)據(jù)分布難以估計，使上述方法的應(yīng)用存在較大難度。為此，本文提出一種利用局部SV對傳統(tǒng)的ε-SVR的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行誤差校正的方法，該方法以校正向量到全局預(yù)測向量和局部支持向量的歐氏距離和最小為目標(biāo)函數(shù)，ε-tube寬度為約束，對全局支持向量機(jī)的輸出進(jìn)行誤差校正。仿真結(jié)果表明，本文方法在保持傳統(tǒng)的ε-SVR原有優(yōu)越特性的同時，可有效減少預(yù)測誤差，提高其泛化性能。

1 ε-SVR特性分析

1.1 ε-SVR簡述

設(shè)按某個未知概率分布P（x，y）構(gòu)成的訓(xùn)練集T＝｛（x1，y1），…，（xl，yl）｝∈（X×Y），輸入矢量xi∈X＝Rn，輸出yi∈Y＝R（i＝1，2，…，l），l為樣本數(shù)。在函數(shù)類集合F中，尋求一個最優(yōu)化決策函數(shù)f（x）＝（wx）＋b，其中，w∈Rn為權(quán)向量，b∈R為閾值。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，應(yīng)使期望風(fēng)險R［f（x）］＝∫c（x，y，f（x））dP（x，y）為極小，其中，c（x，y，f（x））是圖1所示的ε-不敏感損失函數(shù)：

ε是預(yù)先選定的一個正數(shù)。當(dāng)xi點的觀測值yi與回歸函數(shù)f（x）的預(yù)測值f（xi）之差不超過ε時，則認(rèn)為在xi點的預(yù)測值f（xi）是無損失的。從圖1可見，ε-不敏感損失函數(shù)具有寬度ε固定和結(jié)構(gòu)對稱性，因此，傳統(tǒng)的ε-SVR不能很好地描述存在不等性方差或局部變化趨勢的數(shù)據(jù)樣本集。

圖1 ε-不敏感損失函數(shù)

對于非線性回歸問題，引入一個映射函數(shù)φ（x）將低維空間Rn中的非線性輸入樣本xi映射到線性可分的高維特征空間φ（xi）中，在此特征空間中建立相應(yīng)的線性回歸模型來進(jìn)行輸出預(yù)測。

非線性ε-SVR原始優(yōu)化問題可表示為

式中，C＞0為懲罰參數(shù)，通過控制對錯分樣本的懲罰程度實現(xiàn)錯分樣本數(shù)與模型復(fù)雜性之間的折衷；ξ和ξ＊為松弛變量，用于提高f（x）的預(yù)測精度。對應(yīng)的Lagrange函數(shù)為

式中，αi，α＊i，ηi，η＊i為非負(fù)拉格朗日乘子。據(jù)KKT條件，其對偶最優(yōu)化問題為

式中，K（xi，xj）＝〈φ（xi），φ（xj）〉為滿足Mercer定理的核函數(shù)。求解上式得非線性回歸函數(shù)：

不同時為零的αi，α＊i所對應(yīng)的樣本即為SV。

1.2 ε-SVR的邊界特性分析

ε-SVR的ε-tube空間特性如圖2、圖3所示。若樣本點（xi，yi）在ε-tube的內(nèi)部，則ξ＊i＝ξi＝0，由式（2）給出的條件知：

圖2 單變量線性ε-tube空間特性

圖3 高維線性特征空間中ε-tube的空間特性

據(jù)KKT互補(bǔ)條件，由式（3）可得

聯(lián)解式（7）～式（10）可得α＊i＝αi＝0，即位于ε-tube內(nèi)的樣本點（xi，yi）對決策回歸函數(shù)式（5）沒有貢獻(xiàn)。

若樣本點（xi，yi）在ε-tube的邊界上，則由圖2、圖3可知ξ＊i＝ξi＝0，當(dāng)（（wφ（xi））＋b）－yi＝ε＋ξ＊i時，有ε＋ξ＊i＋yi－（wφ（xi））－b＝2ε，故由式（9）～式（11）知，此時α＊i＝0，αi∈（0，C／l）。同理，當(dāng)αi＝0時，α＊i∈（0，C／l）。

若樣本點（xi，yi）在ε的邊界外時，ξ＊i≠0，據(jù)式（9）、式（12）有α＊i＝C／l，αi＝0。同理，當(dāng)ξi≠0時，αi＝C／l，α＊i＝0。

由上述分析可知：

（1）若樣本點（xi，yi）在ε-tube的內(nèi)部，則α＊i＝αi＝0；

（2）若樣本點（xi，yi）在ε-tube的邊界上或外部，則αi，α＊i兩者不同時為0。

由此可見，ε-SVR的訓(xùn)練誤差主要由邊界外的訓(xùn)練樣本產(chǎn)生。單變量線性ε-SVR的ε-tube空間特性如圖2所示：當(dāng)樣本點（xi，yi）位于兩虛線之間的ε-tube內(nèi)時，可認(rèn)為該點沒有誤差；當(dāng)樣本點（x－，y－）位于ε-tube之外時，才有誤差出現(xiàn)，其大小為ε－｜y－－f（x－）｜。顯然，為得到預(yù)測誤差小、泛化性能好的ε-SVR，需要尋找更平滑和緊致的ε-tube去擬合數(shù)據(jù)樣本的分布輪廓。

2 ε-SVR的預(yù)測誤差校正方法

2.1 ε-SVR的預(yù)測誤差校正原理

傳統(tǒng)的ε-SVR的ε-tube具有寬度固定和結(jié)構(gòu)對稱性，如圖3所示。在高維線性特征空間，輸入矢量xf通過決策函數(shù)式（5）可得到輸出yf。根據(jù)統(tǒng)計模型的局部回歸擬合特性［17］，在高維特征空間中的理想回歸向量（φ（xf），ycf）應(yīng)在ε-tube約束下，由ε-SVR所得預(yù)測向量（φ（xf），yf）向超平面γ和超平面δ所確定的區(qū)域內(nèi)的局部支持向量（φ（xsv1），ysv1），（φ（xsv2），ysv2）偏移，即理想的回歸向量（φ（xf），ycf）應(yīng)由全局SV和（φ（xf），yf）所在區(qū)域的局部SV共同決定。

從對ε-SVR的邊界特性的分析可知，在ε-tube邊界外的SV是產(chǎn)生ε-SVR訓(xùn)練誤差的主要原因，由此所產(chǎn)生的訓(xùn)練誤差最終將影響由決策函數(shù)式（5）獲得的期望預(yù)測值。距離期望預(yù)測向量越遠(yuǎn)的SV對預(yù)測值的貢獻(xiàn)越小，距離期望預(yù)測向量越近的SV對預(yù)測值的貢獻(xiàn)越大。為此，特征空間中一點的范式為用歐幾里得距離度量SV與預(yù)測向量之間的距離：

式中，（φ（xsv），ysv）是高維特征空間中的SV，（φ（xf），yf）是高維特征空間中的預(yù)測向量。

在高維特征空間中，據(jù)文獻(xiàn)［11］ε-tube邊界外局部多SV表征了局部數(shù)據(jù)分布的趨勢，采用期望預(yù)測向量到各SV點之間的歐氏距離和最小為目標(biāo)函數(shù)，能使期望預(yù)測向量有效地往多SV區(qū)域移動，達(dá)到減少誤差的目的。本文以（φ（xf），yf）為球心做超球，超球包含距（φ（xf），yf）最近的K個支持向量（φ（xsvi），ysvi），i＝1，2，…，k，所得特征空間中的向量關(guān)系如圖4所示，由此構(gòu)成局部支持向量包裹集合Ω＝｛（φ（xf），yf），（φ（xsvi），ysvi），i＝1，…，k｝。理想的預(yù)測向量（φ（xf），ycf）應(yīng)位于以（φ（xf），yf）為球心、半徑為ε的超球內(nèi)，且到（φ（xf），yf）和局部支持向量（φ（xsvi），ysvi）的歐氏距離之和最小，即

求解式（14）的約束優(yōu)化問題可得經(jīng)過校正后的預(yù)測值ycf。

因為映射函數(shù)φ（x）之間的距離，通過核函數(shù)K（xi，xj）＝〈φ（xi），φ（xj）〉來實現(xiàn)，故

圖4 高維空間局部支持向量對ε-SVR預(yù)測值的影響

2.2 ε-SVR的預(yù)測誤差校正步驟

ε-SVR的預(yù)測誤差校正步驟如下：

步驟1 針對訓(xùn)練數(shù)據(jù)集T，據(jù)經(jīng)驗選擇合適的ε-SVR的ε參數(shù)，通過交叉驗證求取核參數(shù)和正則化系數(shù)C；

步驟2 利用訓(xùn)練樣本求解式（4）所描述的優(yōu)化問題，得到ε-SVR決策函數(shù)式（5）；

步驟3 找出全部SV，建立全局SV集合Ωsv；

步驟4 對輸入矢量xf，由決策函數(shù)式（5）計算其預(yù)測值yf，得到高維特征空間中的非顯現(xiàn)向量點（φ（xf），yf）；

步驟5 在高維特征空間的全局SV集合Ωsv中，對非顯現(xiàn)向量點（φ（xf），yf）使用K近鄰方法找到其K個近鄰SV，構(gòu)成局部SV包裹集合Ω，近鄰SV到向量點（φ（xf），yf）的歐氏距離應(yīng)小于等于2ε，否則應(yīng)減少K值，即減少校正用局部支持向量；

步驟6 求解（14）式所描述的優(yōu)化問題，得到經(jīng)過誤差校正后的預(yù)測值ycf。

3 實驗測試與結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)描述

為比較本文方法與傳統(tǒng)的ε-SVR的性能，構(gòu)造了具有不同分布特性的兩組人工數(shù)據(jù)集Data1和Data2，并從常用的UCI機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫（http：∥archive.ics.uci.edu／ml／datasets.html）中選用了5種有代表性的用于測試回歸性能的數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)取值全部歸一化到［－1，1］之間，其具體描述如表1所示，其中訓(xùn)練樣本從數(shù)據(jù)集隨機(jī)選取，為有效的檢驗本文方法的泛化能力，測試樣本從剩余樣本中隨機(jī)選取。

利用Matlab 7.11.1對本文方法進(jìn)行仿真測試，所有實驗均在一臺Intel Core（TM）Duo 2.26GHz，2GB內(nèi)存的PC機(jī)上進(jìn)行，核函數(shù)選用被廣泛使用，及經(jīng)驗證明有效的式（16）所示的高斯徑向基核函數(shù)，并利用Libsvm［18］求解支持向量機(jī)。

采用均方根誤差（root mean square error，RMSE）來衡量擬合效果［19］：

采用平方相關(guān)系數(shù)（squared correlation coefficient，SCC）來衡量泛化性能［20－21］。

式中，n為測試樣本個數(shù)；yti表示第i個樣本的目標(biāo)值（觀測值）；ypi表示第i個樣本的預(yù)測值；和分別表示yt和 yp的平均值。

表1 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集的構(gòu)成特點

通過在回歸問題中有代表性的測試函數(shù)sinc（x）中疊加不同的隨機(jī)數(shù)來生成人工數(shù)據(jù)集（xi，yi），i＝1，…，l。sinc（x）函數(shù)定義為

式中，N（a，b）表示正態(tài)分布，a為均值，b為標(biāo)準(zhǔn)偏差；U（c，d）表示均勻分布，c為其最小值，d為其最大值。

3.2 結(jié)果分析

對表1所列數(shù)據(jù)集和人工數(shù)據(jù)集Data1和Data2，對傳統(tǒng)的ε-SVR方法，通過交叉驗證法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化后，得到在最優(yōu)化核參數(shù)和正則化系數(shù)C下本文方法與傳統(tǒng)的ε-SVR，TSVR［13］對測試樣本的擬合精度和泛化性能如表2所示。在ε取值不變，即支持向量點不變的情況下，對同樣的測試數(shù)據(jù)，本文方法的均方根誤差均有不同程度的降低，且平方相關(guān)系數(shù)均有不同程度的提高，表明本文方法的擬合精度較高、泛化能力較強(qiáng)，能有效降低回歸預(yù)測誤差，提高ε-SVR的泛化能力。

表2 本文方法與ε-SVR、TSVR的性能比較

4 結(jié) 論

本文提出了一種ε-SVR回歸機(jī)預(yù)測誤差校正方法。該方法以理想預(yù)測值與ε-SVR回歸預(yù)測值及局部支持向量間的歐氏距離最小為目標(biāo)函數(shù)，以ε-tube寬度為約束條件，通過利用高維特征空間中ε-tube邊界上和邊界外的局部支持向量對ε-SVR的回歸預(yù)測值進(jìn)行誤差校正，以減小ε-SVR的預(yù)測誤差，提高其預(yù)測精度及泛化能力。

仿真實驗表明，與傳統(tǒng)的ε-SVR，TSVR相比，本文方法具有更高的預(yù)測精度和更強(qiáng)的泛化能力。

［1］Vapnik V.The nature of statistical learning theory［M］.New York：Springer，2000.

［2］Demir B，Bruzzone L.A multiple criteria active learning method for support vector regression［J］.Pattern Recognition，2014，47（7）：2558－2567.

［3］Chen J D，Pan F.Online support vector regression-based nonlinear model predictive control［J］.Control and Decision，2014，29（3）：460－464.（陳進(jìn)東，潘豐.基于在線支持向量回歸的非線性模型預(yù)測控制方法［J］.控制與決策，2014，29（3）：460－464.）

［4］Song Y P，Peng X Q，Hu Z K.Meta parameters optimization method for support vector regression［J］.Systems Engineering and Electronics，2010，32（10）：2238－2242.（宋彥坡，彭小奇，胡志坤.支持向量回歸機(jī)元參數(shù)優(yōu)化方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32（10）：2238－2242.）

［5］Smola A J，Sch?lkopf B.A tutorial on support vector regression［J］.Statistics and Computing，2004，14（3）：199－222.

［6］Wang J K，Qiao F，Li G C，et al.ε-SVR-based predictive models of energy consumption and performance for sintering［J］.Applied Mechanics and Materials，2014，548：1905－1910.

［7］LüY，Gan Z.Robustε-support vector regression［J］.Mathematical Problems in Engineering，2014，2014：1－5.

［8］Sch?lkopf B，Smola A J，Williamson R C，et al.New support vector algorithms［J］.Neural Computation，2000，12（5）：1207－1245.

［9］Hao P Y.New support vector algorithms with parametric insensitive margin model［J］.Neural Networks，2010，23（1）：60－73.

［10］Yang H，Huang K，King I，et al.Localized support vector regression for time series prediction［J］.Neurocomputing，2009，72（10）：2659－2669.

［11］Chen X，Yang J，Liang J.A flexible support vector machine for regression［J］.Neural Computing and Applications，2012，21（8）：2005－2013.

［12］Demir B，Bruzzone L.A multiple criteria active learning meth-od for support vector regression［J］.Pattern Recognition，2014，47（7）：2558－2567.

［13］Peng X.TSVR：an efficient twin support vector machine for regression［J］.Neural Networks，2010，23（3）：365－372.

［14］Tian Y J，Qi Z Q.Review on：twin support vector machines［J］.Annals of Data Science，2014，1（2）：253－277.

［15］Chen X，Yang J，Chen L.An improved robust and sparse twin support vector regression via linear programming［J］.Soft Computing，2014，18（12）：2335－2348.

［16］Khemchandani R，Karpatne A，Chandra S.Twin support vector regression for the simultaneous learning of a function and its derivatives［J］.International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2013，4（1）：51－63.

［17］Amberg M，Lüthi M，Vetter T.Local regression based statistical model fitting［M］.Berlin：Springer，2010：452－461.

［18］Chang C C，Lin C J.LIBSVM：a library for support vector machines［J］.ACM Trans.on Intelligent Systems and Technology，2011，2（3）：1－27.

［19］Goyal M K，Bharti B，Quilty J，et al.Modeling of daily pan evaporation in sub tropical climates using ANN，LS-SVR，F(xiàn)uzzy Logic，and ANFIS［J］.Expert Systems with Applications，2014，41（11）：5267－5276.

［20］Ni Y Q，Hua X G，F(xiàn)an K Q，et al.Correlating modal properties with temperature using long-term monitoring data and support vector machine technique［J］.Engineering Structures，2005，27（12）：1762－1773.

［21］Mo Y.Applications of SVR to the aveiro discretization method［EB／OL］.［2014－08－01］.http：∥link.springer.com／article／10.1007／s00500－014－1379－51fulltext.html.

Error correction method for support vector regression

CHEN Jun1，3，PENG Xiao-qi1，2，TANG Xiu-ming3，SONG Yan-po1，LIU Zheng1
（1.School of Information Science and Engineering，Central South University，Changsha 410083，China；2.Department of Information Science and Engineering，Hunan First Normal University，Changsha 410205，China；3.Institute of Information and Electrical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201，China）

The influence of the local support vector on the prediction results is not fully considered in the traditionalε-insensitive support vector regression（ε-SVR），which is not conducive to improve the predictive accuracy of regression problems.An error correction method is proposed forε-SVR，in which the minimum sum of Euclidean distances between ideal values andε-SVR regression values and local support vectors are taken as the objective function，and the width ofε-insensitive loss tube（ε-tube）is taken as constraint to correct the error in terms of local support vector on and out of theε-tube boundary in high dimensional feature space.Simulation using artificial datasets with different distributed and UCI benchmark data sets shows that the proposed method has higher prediction and generalization performance.

support vector regression（SVR）；error correction；prediction accuracy；generalization

TP 181

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.18

陳 君（1977－），男，講師，博士研究生，主要研究方向為智能決策、工業(yè)過程優(yōu)化決策。

E-mail：97chenjun＠163.com

彭小奇（1962－），男，教授，博士，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向為系統(tǒng)建模、智能決策、工業(yè)過程優(yōu)化決策。

E-mail：pengxq＠csu.edu.cn

唐秀明（1977－），女，講師，博士研究生，主要研究方向為智能決策、電力系統(tǒng)負(fù)荷建模。

E-mail：tangxm2873＠sina.com

宋彥坡（1979－），男，副教授，博士，主要研究方向為智能決策、工業(yè)過程優(yōu)化決策支持。

E-mail：songyanpo＠csu.edu.cn

劉 征（1979－），女，博士研究生，主要研究方向為工業(yè)過程優(yōu)化決策與控制。

E-mail：liuzhenglady＠163.com

1001－506X201508－1832－05

網(wǎng)址：www.sys－ele.com

2014－08－08；

2014－12－29；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015－03－17。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150317.1123.006.html

國家自然科學(xué)創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金項目（61321003）；國家自然科學(xué)基金重點項目（61134006）；國家自然科學(xué)基金面上項目（61273169）；國家自然科學(xué)基金青年項目（61105080）；湖南省教育廳高等學(xué)?？蒲许椖浚?3A016）；湘潭市科技計劃項目（NY20141006）資助課題