吳向東，馬 侖，和 潔

（長(zhǎng)安大學(xué)信息工程學(xué)院，陜西西安710064）

基于聚焦預(yù)處理的累量域空間平滑算法

吳向東，馬 侖，和 潔

（長(zhǎng)安大學(xué)信息工程學(xué)院，陜西西安710064）

針對(duì)傳統(tǒng)累量域波達(dá)方向估計(jì)算法對(duì)各重復(fù)位置處虛擬陣元利用不充分的問題，提出了一種基于聚焦預(yù)處理的累量域相干信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)算法。首先分析了直接平滑原物理陣列和四階累積量產(chǎn)生的虛擬陣列不能解相干的原因；然后推導(dǎo)了基于累量域聚焦技術(shù)解相干的原理；最后提出了直接累量域聚焦、前后向累量域聚焦和二次前后向累量域聚焦算法，并對(duì)其進(jìn)行了性能分析，指出聚焦預(yù)處理技術(shù)不但不損失陣列孔徑，而且充分利用了累量域各虛擬陣列的數(shù)據(jù)，提高了角度估計(jì)精度。理論分析和仿真結(jié)果都表明了算法的有效性。

四階累積量；聚焦技術(shù)；虛擬陣列；波達(dá)方向估計(jì)

0 引 言

相干環(huán)境下信源波達(dá)方向（direction of arrival，DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域里的一個(gè)重要分支［1－3］。常規(guī)的基于子空間類的DOA估計(jì)算法都是基于二階統(tǒng)計(jì)量的，而高階累積量不但可以提供比二階統(tǒng)計(jì)量更多的信息，還具有很多優(yōu)良性能，其中最重要的兩點(diǎn)就是可以產(chǎn)生虛擬陣元和盲高斯特性。很多學(xué)者研究了基于四階累積量的相干信號(hào)DOA估計(jì)算法，文獻(xiàn)［4］最早系統(tǒng)地提出了基于四階累積量的相干信號(hào)處理算法，將陣列輸出模型等效為獨(dú)立信號(hào)源經(jīng)過一個(gè)修正陣列的輸出模型，利用擴(kuò)展虛擬ESPRIT算法（extended virtual-ESPRIT algorithm，EVESPA）估計(jì)出修正陣列的廣義陣列流形，然后對(duì)各相干信號(hào)組應(yīng)用空間平滑算法實(shí)現(xiàn)組內(nèi)解相干。后續(xù)的累量域相干信號(hào)處理算法基本上都是以該算法為核心思想的改進(jìn)算法。如文獻(xiàn)［5］在求廣義陣列流形時(shí)引入了盲估計(jì)方法；文獻(xiàn)［6］利用模式激勵(lì)的方法把圓陣轉(zhuǎn)化為均勻線陣，從而把該思想推廣到了圓陣時(shí)的情況；文獻(xiàn)［7］通過平滑雙線性平行陣的四階累積量來實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)的DOA估計(jì)；文獻(xiàn)［8］用時(shí)間平滑代替空間平滑來實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)的DOA估計(jì)，但該算法運(yùn)算量大，而且僅適用于觀察時(shí)間內(nèi)信號(hào)角度變化較小、復(fù)幅度變化較大的情況。為了突破以上算法的限制，利用聚焦技術(shù)把虛擬陣列和原物理陣列聚焦到參考陣列以實(shí)現(xiàn)相干信源解相干，然后應(yīng)用常規(guī)的信號(hào)子空間類算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，算法充分利用了四階累積量產(chǎn)生的所有虛擬陣元，不損失陣列孔徑，提高了最大可分辨的相干信源數(shù)目。

1 理論分析和算法的實(shí)現(xiàn)

1.1 信號(hào)模型和虛擬陣列的形成

考慮一N元均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，遠(yuǎn)場(chǎng)空間中存在M個(gè)窄帶相干信源，入射角為θi（i＝1，2，…，M），陣列接收數(shù)據(jù)為

式中，A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］為陣列流形，a（θi）＝［1，為導(dǎo)向矢量，λ為波長(zhǎng)，d為陣元間距；S（t）＝［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T，si（t）為第i個(gè)信源的復(fù)包絡(luò)，（·）T表示轉(zhuǎn)置；N（t）＝［n1（t），n2（t），…，nN（t）］T為獨(dú)立同分布均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲，與信號(hào)不相關(guān)。

陣列輸出數(shù)據(jù)的二階協(xié)方差矩陣為

式中，Rs＝ES（t）·S（t）H為信源協(xié)方差矩陣；σ2N為噪聲功率；IN為與X（t）同維數(shù)的單位矩陣。

定義陣列輸出四階累積量為

式中，1≤k，l，m，n≤N，如果X（t）中各序列充分對(duì)稱分布，則上式最后一項(xiàng)為零。N個(gè)陣元共可產(chǎn)生N4個(gè)互累積量。把式（3）得到的累積量填充到N2×N2的四階累積量矩陣Cx中，矩陣的第（k－1）N＋l行、（m－1）N＋n列元素為cum（xk（t）（t），x（t），xn（t）），則矩陣Cx可表示成

由四階累積量性質(zhì)可知，高斯噪聲的四階累積量為零，式（4）可重寫為

式中

可以看出式（5）和式（2）具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因此Cx中A?A＊起的作用和Rx中的A相同，可以看作是累量域的陣列流形。設(shè)入射信號(hào)相互獨(dú)立，由于獨(dú)立信號(hào)的互累積量為零，重寫N2×M維矩陣A?A＊為

其第i列矢量a（θi）?a＊（θi）為第i信號(hào)源所對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展導(dǎo)向矢量：

可以看出，式（6）有N2個(gè)分量，其中N分量與原陣列陣元位置相同，在新位置產(chǎn)生了N－1虛擬陣元，即實(shí)現(xiàn)了陣列孔徑擴(kuò)展，這就是累量域虛擬陣列的概念，如圖1所示。

圖1 虛擬陣列結(jié)構(gòu)示意圖

由式（5）知，N元陣列的四階累積量Cx為N2×N2維矩陣，按分塊矩陣的形成重寫Cx，每個(gè)塊的大小為N×N，且互不重疊，則第k行第l列的矩陣塊記為Rkl，k，l∈（1，2，…，N），結(jié)合陣列信號(hào)處理的概念知，Rkl為第k個(gè)陣列輸出數(shù)據(jù)和第l個(gè)陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，則

1.2 聚焦預(yù)處理算法

1.2.1 聚焦預(yù)處理的概念

經(jīng)典的MUSIC-LIKE、虛擬ESPRIT等算法，利用了高階累積量的陣列孔徑擴(kuò)展和盲高斯噪聲的特性，在DOA估計(jì)時(shí)，去掉重復(fù)位置處的“冗余”陣元，按等間距方式重新排列虛擬陣元和原物理陣元，但只適用于非相干源的場(chǎng)合。

信源相干時(shí)，由式（5）知：

式中，an是A的第n行；acum＿n＝an?A＊為一N×M2維矩陣，可以看作是第n個(gè)虛擬陣列的導(dǎo)向矢量。如果把各虛擬陣列看作是空間平滑算法的各子陣，只要各虛擬陣列間的導(dǎo)向矢量滿足旋轉(zhuǎn)不變性，即可利用空間平滑的思想實(shí)現(xiàn)解相干，不用對(duì)原陣列進(jìn)行子陣劃分，避免了陣列孔徑的損失。

重新考察式（7），這里是Kronecker積，各虛擬陣列和原物理陣列間不滿足“線性平移”關(guān)系，即各虛擬陣列和原物理陣列的導(dǎo)向矢量不滿足旋轉(zhuǎn)不變性，所以無法直接應(yīng)用空間平滑算法實(shí)現(xiàn)解相干。寬帶信號(hào)處理中的相干信號(hào)子空間法（coherent signal-subspace method，CSM）采用聚焦技術(shù)將各頻率點(diǎn)的數(shù)據(jù)變成同一參考頻率點(diǎn)的數(shù)據(jù)，聚焦后形成相關(guān)矩陣，這種聚焦操作有效地綜合了寬帶信息，使得聚焦后的信號(hào)協(xié)方差矩陣保持滿秩，從而有效地解決了寬帶相干信號(hào)的DOA估計(jì)問題。高階累積量可以在不同位置產(chǎn)生虛擬陣元，考察旋轉(zhuǎn)因子，即位置的變化可以等效為頻率的變化，結(jié)合圖1，引入聚焦處理的思想，設(shè)想存在一個(gè)算子，將各虛擬陣列和原物理陣列的導(dǎo)向矢量映射到參考導(dǎo)向矢量，使映射后的各陣列間滿足旋轉(zhuǎn)不變性，即可應(yīng)用空間平滑的思想解相干，繼而在累量域?qū)崿F(xiàn)相干信源的DOA估計(jì)。

1.2.2 聚焦預(yù)處理實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)

由寬帶聚焦變換知，對(duì)于一定角度范圍內(nèi)的任意角度，存在一個(gè)不隨角度變化的共同聚焦變換。這里在感興趣方向上選取任一個(gè)角度集合Φ＝［θ1，θ2，…，θL］，L為集合中的元素個(gè)數(shù)，且大于信源數(shù)，Δθ＝（θL－θ1）／（L－1）為集合中的角度間隔，所以存在以下性質(zhì)［9－10］。

性質(zhì)1 對(duì)累量域的第k個(gè)陣列（包括虛擬陣列和原物理陣列）及選定的參考陣列，存在一個(gè)共同的聚焦變換Tk（Φ），使得對(duì)于任意角度集Φ。即

式中，k，k0＝1，2，…，N；Φ＝（θ1，θ2，…，θL）為一致角度集；為累量域第k個(gè)陣列的陣列流形，dk＝d·［1－k，2－k，…，N－k］T為第k個(gè)陣列的陣元位置矢量，顯然k＝1對(duì)應(yīng)原物理陣列；ak0（Φ）為累量域參考陣列的陣列流形，理論上可選累量域的任一個(gè)陣列為參考陣列，一般情況下，如果N為奇數(shù)，可選取，N為偶數(shù)，可選取第稱為累量域一致聚焦變換。

累量域一致聚焦變換實(shí)際上就是同時(shí)滿足式（8）的L個(gè)互不相關(guān)方程組的線性變換，為了保證沒有聚焦損失，Tk（Φ）可為酉矩陣約束下的最小二乘解：

求解上式得

重新考察式（7）可知，沿著主對(duì)角線方向的Rkk即為第k個(gè)子陣的自相關(guān)矩陣，利用聚焦變換Tk（Φ）對(duì)各Rkk做聚焦預(yù)處理實(shí)現(xiàn)解相干：

為了提高算法性能，結(jié)合前、后向空間平滑的概念構(gòu)造Rcum＿focus2：

式中，J為與R同維數(shù)的置換矩陣。

如前所述，高階累積量的優(yōu)良特性之一是可以產(chǎn)生虛擬陣元，如果能更充分地利用各虛擬陣列間的信息，則會(huì)進(jìn)一步提高DOA算法的性能。文獻(xiàn)［11－12］提出了二次前后向空間平滑方法，并證明了對(duì)各子陣的自相關(guān)矩陣進(jìn)行平方求和具有更好的解相干性能，因?yàn)橐诶哿坑驅(qū)⒏髯雨嚲劢沟絽⒖缄嚵?，所以結(jié)合聚焦預(yù)處理技術(shù)構(gòu)造R＝

對(duì)式（11）～式（13）應(yīng)用MUSIC等常規(guī)的超分辨算法即可實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。為了方便描述，簡(jiǎn)稱式（11）算法為累量域聚焦算法（focusing algorithm in cumulant domain，F(xiàn)ACD），式（12）算法為前后向累量域聚焦算法（forward／backward focusing algorithm in cumulant domain，F(xiàn)BFACD），式（13）算法為二次前后向累量域聚焦算法（quadratic forward／backward focusing algorithm in cumulant domain，QFBFACD）。綜上所述，總結(jié)算法步驟如下：

步驟1 在感興趣的方向構(gòu)造一致角度集Φ；

步驟2 利用式（4）求解四階累積量矩陣；

步驟3 利用式（10）求解各個(gè)聚焦變換矩陣；

步驟4 利用式（11）～式（13）對(duì)各虛擬陣列和原物理陣列做解相干處理，再運(yùn)用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

下面對(duì)算法的最大可分辨相干信源數(shù)做簡(jiǎn)單分析?？芍跋蚩臻g平滑可分辨最大信源數(shù)為N／2，前、后向空間平滑算法可分辨最大信源數(shù)為2 N／3，而累量域的廣義陣列流形算法解相干的實(shí)質(zhì)為空間平滑算法，所以在對(duì)每一組相干信源解相干時(shí)，可分辨最大信源數(shù)并未提高。文中算法經(jīng)聚焦預(yù)處理后，不損失陣列孔徑，參與解相干的子陣數(shù)為N，所以可分辨最大信源數(shù)提高為N－1，這一點(diǎn)從仿真結(jié)果也可以得到驗(yàn)證。

2 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

設(shè)陣列為5元等距線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，快拍數(shù)為128，信噪比為10dB，各接收陣元上的噪聲為高斯白噪聲，設(shè)空間有4個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)、窄帶信號(hào)，分別從－35°，－18°，10°，30°入射到陣列上。為了分析和說明算法的性能，分別對(duì)式（11）的FACD、式（12）的IFACD、式（13）的QFBFACD和文獻(xiàn)［4］中經(jīng)典的累積量域相干信號(hào)處理算法EVESPA 4種算法在不同環(huán)境、條件下進(jìn)行了仿真。

實(shí)驗(yàn)1 信源全相干情況

設(shè)這4個(gè)信號(hào)全相干，其多普勒頻率均為100Hz，仿真結(jié)果如圖2所示。可以看出，文中3種方法均可有效地分

圖6 不同信噪比下算法DOA估計(jì)性能比較

3 結(jié)束語

傳統(tǒng)累量域算法都是從虛擬陣元的角度出發(fā)，利用其可以增加陣列孔徑的優(yōu)點(diǎn)來提高角度估計(jì)性能。本文從虛擬陣列的整體概念出發(fā)，充分利用各虛擬陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，結(jié)合聚焦思想，提出了基于聚焦預(yù)處理的累量域空間平滑算法實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)DOA估計(jì)，和常規(guī)空間平滑算法相比，不損失陣列孔徑；和累量域同類算法相比，降低了運(yùn)算量。對(duì)文中算法在信源全相干、部分相干、全不相干環(huán)境以及不同信噪比下的DOA估計(jì)性能進(jìn)行了分析，并用仿真結(jié)果證明了理論分析的正確性。算法具有較強(qiáng)的實(shí)用性，可以適用于存在相干源的環(huán)境。

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Spatial smoothing algorithm in cumulant domain based on focusing preprocessing

WU Xiang-dong，MA Lun，HE Jie
（School of Information Engineering，Chang’an University，Xi’an 710064，China）

Considering that the traditional direction of arrival（DOA）algorithms in the cumulant domain discard the repeated virtual array elements，a new algorithm for estimating the DOA of coherent signals based on focusing preprocessing in the fourth-order cumulant domain is proposed.First，the reasons for the failure of decorrelation are analyzed from the lost of shift-invariant characteristics in the virtual arrays.Then，the principle of decorrelation and DOA estimation of coherent sources is deduced by using the focusing technology.Finally，algorithms of direct focusing，forward／backward focusing and quadratic forward／backward focusing in the cumulant domain are proposed and their performances are analyzed.The analysis shows that，the new algorithms not only avoid the reduction of the array effective aperture but also make full use of the data of the virtual array，they have higher resolution of DOA estimation than similar algorithms.Theoretical analysis and simulation results demonstrate the merits of the new algorithm.

fourth-order cumulant；focusing technology；virtual array；direction of arrival estimation（DOA）

TN 957

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.03

吳向東（1976－），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、探地雷達(dá)、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)。

E-mail：xdwu＠chd.edu.cn

馬 侖（1981－），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理以及雷達(dá)信號(hào)處理。

E-mail：lunma＠126.com

和 潔（1985－），女，講師，博士，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)雷達(dá)信號(hào)處理、空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理，陣列信號(hào)處理以及其在公路交通控制信息領(lǐng)域的應(yīng)用。

E-mail：hejie＠chd.edu.cn

1001－506X201508－1729－05

網(wǎng)址：www.sys－ele.com

2014－09－15；

2015－03－04；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015－04－29。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150429.1035.001.html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61401045）資助課題