楊宏印，曹鴻猷，陳志軍，步樂樂

(1.中鐵大橋局集團武漢橋梁科學研究院有限公司，湖北武漢 430034; 2.武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北武漢 430070; 3.華中科技大學土木工程與力學學院，湖北武漢 430074)

高速鐵路變截面梁橋車致振動及徐變影響分析

楊宏印1，曹鴻猷2，陳志軍3，步樂樂1

(1.中鐵大橋局集團武漢橋梁科學研究院有限公司，湖北武漢 430034; 2.武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北武漢 430070; 3.華中科技大學土木工程與力學學院，湖北武漢 430074)

基于Hertz彈性接觸，推導了考慮徐變變形的輪軌接觸單元動力方程，給出了簡化的變截面梁單元質量和剛度矩陣，建立了列車－軌道－橋梁耦合振動方程。針對實際預應力混凝土連續(xù)梁橋，計算了徐變變形引起的不平順(徐變不平順)，結合隨機不平順，并考慮兩者的組合，對比分析了3種軌道不平順對系統(tǒng)動力響應的影響。結果表明:推導的變截面梁單元是合理有效的;橋梁共振效應顯著，應按實際沖擊系數進行設計，并考慮每個位置的動力響應;徐變不平順對橋梁響應影響很小，但能明顯增大車體加速度和接觸力，會引起強烈的梁端沖擊，應重視控制徐變變形及形成的梁端折角;隨機不平順能顯著增大接觸力、橋梁和車體加速度;而組合不平順能導致系統(tǒng)最不利狀態(tài)。

列車－軌道－橋梁耦合振動;徐變;輪軌接觸單元;變截面梁單元;軌道不平順

隨著高速鐵路的飛速發(fā)展，列車過橋時引起的車－線－橋耦合振動問題一直是土木工程中人們關注的熱點。而有限元方法［1］被廣泛采用來分析耦合系統(tǒng)動力響應。利用彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變值原理［2］，文獻［3～5］推導了車－線－橋耦合動力分析時變矩陣方程，并假定輪軌始終密貼，忽略了輪軌相對運動。由于受力性能的優(yōu)越性，變截面連續(xù)梁橋已廣泛應用于鐵路交通中，其共振特性不同于簡支梁橋，而現今變截面梁的研究［6］大都基于移動力模型。預應力混凝土橋梁后期徐變變形是不可避免的［7］，會影響橋上軌道豎向幾何形狀，且線路鋪設和運營中會不可避免的形成軌道隨機不平順。文獻［8～10］提出將結構徐變變形作為組合曲線引入軌道不平順，以分析其對車－橋耦合振動的影響，但沒有考慮線路結構的影響。文獻［11］分析了多跨簡支梁橋徐變變形對車－線－橋耦合系統(tǒng)的影響，卻沒有證明將徐變變形引入軌道不平順的合理性。

針對變截面連續(xù)梁橋徐變變形引起的不平順問題，采用Hertz彈性接觸模型，本文推導了考慮徐變變形和接觸界面的輪軌接觸單元動力方程，結合變截面梁單元和車輛方程建立了列車－軌道－橋梁耦合系統(tǒng)模型，并編寫了相應計算程序。然后考慮某實際預應力混凝土連續(xù)梁橋，討論了簡化的變截面梁單元的合理有效性，并研究了其車致共振效應。最后分析了徐變變形引起的不平順(徐變不平順)以及軌道隨機不平順對系統(tǒng)響應的影響，得到了一些有益的結論。

1 列車－軌道－橋梁耦合振動方程

耦合系統(tǒng)包含列車、軌道和橋梁共3個子系統(tǒng)，通過輪軌關系和橋軌關系實現各子系統(tǒng)間的耦合。圖1為列車通過變截面連續(xù)梁橋時列車－軌道－橋梁耦合系統(tǒng)模型，將無砟軌道考慮為連續(xù)彈性支承梁軌道模型［3］，并用平面Euler-Bernoulli梁模擬軌道和橋梁。采用2系懸掛4軸車輛模型，每個車輛有10個自由度。

圖1 列車－軌道－橋梁耦合系統(tǒng)模型/m

1.1 考慮橋梁徐變變形的輪軌接觸單元

預應力混凝土橋梁后期徐變變形是不可避免的，會改變橋上線路幾何形狀，進而影響橋梁動力響應和橋上列車的走行性。將耦合系統(tǒng)模型離散，便可得到圖2所示的考慮橋梁徐變變形和軌道不平順的輪軌接觸單元。

圖2 考慮徐變變形的輪軌接觸單元

該單元中，軌道單元的豎向位移包含兩部分:橋梁徐變變形引起的靜位移和移動車輪引起的動位移。由于軌道單元存在靜位移，其單元坐標系會偏離變形前坐標系，如圖2所示。但橋梁徐變變形相對于梁長非常小，故假設變形后軌道單元在變形前坐標系橫軸的投影長度不變。實際輪軌接觸是一個高速移動—碰撞—滑移的非線性過程，為一典型的單面約束問題，根據線性化的赫茲彈性接觸理論［12］，采用壓縮剛度為kH的Hertz彈簧來模擬輪軌接觸。為推導方便，將Hertz彈簧剛度統(tǒng)一表示為akH，參數a滿足:壓縮時，a=1;拉伸時，a=0。

變形前坐標系下輪軌間接觸力可表示為:

軌道單元靜位移可根據節(jié)點靜位移插值得到:

式中:yrs(i)和yrs(j)分別為橋梁徐變變形引起的軌道單元左節(jié)點和右節(jié)點靜位移;l為軌道單元長度。

由梁單元動力微分方程推導可得變形前坐標系下軌道單元動力方程為:

將式(1)代入式(3)可得:

式(4)即為圖2所示軌道單元動力方程，等號右邊荷載項包含兩部分:軌道靜位移引起的激勵和軌道不平順引起的激勵，即只需將軌道靜位移直接疊加到軌道不平順中。

同樣可得車輪動力方程為:

由式(4)和(5)可得圖2所示輪軌接觸單元動力方程為:

可見，實際計算中可將橋梁徐變變形引起的軌道靜位移直接作為軌道不平順來進行系統(tǒng)動力響應分析。由于車輪是移動的，故式(6)中與車輪位置xw有關的項是時變的。

1.2 變截面橋梁單元動力方程

橋梁單元動力方程可表示為:

橋梁單元存在變截面單元，即Ab和Ib隨截面位置而變化，且箱梁幾何形狀復雜，很難給出各截面面積和慣性矩的解析表達式。為簡化計算，由節(jié)點處參數線性插值近似表示節(jié)點間各截面參數，即:

式中:下標i、j分別代表梁單元左、右節(jié)點。

將式(8)代入式(7)，則可得簡化的變截面橋梁單元質量和剛度矩陣。

1.3 耦合系統(tǒng)有限元動力方程建立及求解

根據式(6)和(7)，并結合車輛動力方程［13］，由形成矩陣的“對號入座”法則［4］便可組裝得到考慮橋梁徐變變形和軌道不平順的列車－軌道－橋梁耦合系統(tǒng)動力方程:

式中:下標bb、rr和vv分別代表橋梁、軌道和列車;Kcr、Krv、Kvr、Fcr和Fcv為與輪軌接觸有關的項，是時變的，而其他項均是時不變的。故在求解時可先組裝時不變部分，作為初始方程，然后在每個積分步根據時間和實際輪軌接觸狀態(tài)疊加時變部分便可得到系統(tǒng)動力方程，再采用Newmark-β方法直接積分求解。系統(tǒng)方程組裝和計算流程具體見文獻［11］，并采用MATLAB語言編寫了相應的計算程序。

2 變截面連續(xù)梁橋車致耦合振動分析

2.1 變截面連續(xù)梁橋建模和驗證

結合正在修建的某高速鐵路，橋梁結構參數如下:跨距40+64+40 m;彈性模量Eb=34.5 GPa;密度ρb=2550 kg/m3;阻尼比ζ=0.025;支墩處梁高6.05 m，跨中及邊跨梁端處梁高3.05 m，變高度梁段長度為25.75 m，梁高方程為h= 3.05+0.0045x2m。采用MIDAS/Civil軟件建立該變截面梁橋模型，并得到各節(jié)點截面參數Ab和Ib;然后采用上節(jié)推導的變截面梁單元建立橋梁模型，將二期恒載以附加質量的方式加于模型中，并對橋梁動力特性進行分析。

圖3為橋梁前2階頻率和振型對比，可見2種模型頻率相差不大，振型也符合一致，說明本文建立的模型是合理的。由圖4可見2種模型結果非常一致，說明本文建立的模型具有較高的精度，采用的求解方法是有效的。

圖3 橋梁動力特性對比

圖4 橋梁跨中豎向位移時程

2.2 列車作用下橋梁共振特性分析

列車的軸載分布比較規(guī)律，會對橋梁產生周期性的激勵。當激勵頻率和橋梁固有頻率一致時，橋梁就會發(fā)生共振，所對應的車速為共振車速。應用編制的計算程序，分析10輛車作用下連續(xù)梁橋的動力響應。其中車輛和軌道模型參照文獻［3］。車輛間距為23.5 m，橋梁一階頻率為2.4 Hz(見圖3)，相應理論共振車速［12］為203 km/h;二階頻率為4.51 Hz，相應理論共振車速為380 km/h。

不同位置和速度下橋梁最大位移分布見圖5?？梢娢灰蒲亓洪L分布比較規(guī)律，即跨中較大，支座處最小;203 km/h時，位移響應出現了明顯的局部峰值，發(fā)生了共振。表1列出了各跨跨中位移沖擊系數和按規(guī)范取值［14］的對比，可見共振車速附近，按規(guī)范取值明顯偏小，說明應盡量按實際沖擊系數進行分析和設計。列車過橋時橋梁中跨跨中位移響應時程見圖6，可見203 km/h比 380 km/h下的振動更劇烈，幅值也更大，說明位移響應對一階振型對應的共振車速更為敏感。

圖5 不同位置和速度下橋梁最大位移

表1 位移沖擊系數

圖6 橋梁中跨跨中位移響應時程

圖7為不同速度和位置下橋梁最大加速度分布，可見加速度在203 km/h時出現了局部峰值，且邊跨在380 km/h時也出現了明顯的局部峰值。加速度沿梁長分布波動較大，反映了高階模態(tài)的特性。圖8為3種速度下橋梁最大加速度沿梁長的分布，可見2種共振速度下的結果普遍比300 km/h時大，共振效應明顯，設計中應盡量避免出現共振。203 km/h時，加速度分布規(guī)律和橋梁一階振型形狀一致，說明列車主要激起了一階模態(tài)振動;而380 km/h時，加速度在右邊跨達到最大值，卻在中跨跨中附近出現了局部極小值，表現出明顯的二階模態(tài)特性，說明列車激起了強烈的二階模態(tài)振動。

圖7 不同位置和速度下橋梁最大加速度

圖8 橋梁最大加速度沿梁長的分布

2.3 橋梁徐變變形和軌道隨機不平順的影響

預應力混凝土連續(xù)梁橋會產生后期徐變變形［8］，從而影響系統(tǒng)動力響應。采用MIDAS分析軟件并考慮CEB-FIP徐變模型［7］，以鋪軌完成時為計算起點，計算運營期間橋梁徐變發(fā)展過程。結果表明，橋梁早期徐變發(fā)展較快，10年后徐變基本穩(wěn)定，中跨跨中徐變終值為6.2 mm，邊跨跨中徐變終值為5.2 mm，均未達到相關限值。橋梁徐變變形相對于梁長非常小，對橋梁動力特性影響很小。軌道是連續(xù)的，能平滑橋梁徐變變形形成的折角［11］，故在進行耦合振動分析前，需根據橋梁徐變變形求出橋上軌道的實際變形，以將其作為軌道不平順。

線路自身也會存在隨機的軌道不平順，文中根據德國高速鐵路軌道譜得到其模擬樣本。圖9給出了橋梁10年徐變變形引起的徐變不平順、軌道隨機不平順以及兩種不平順疊加的組合不平順，這些不平順對耦合系統(tǒng)動力響應的影響見圖10～13。圖10為橋梁中跨跨中最大位移響應，可見4種情況所得結果基本一致，說明位移響應對不平順不敏感。橋梁中跨跨中最大加速度響應見圖11，可見徐變(不平順)影響很小;隨機和組合不平順會使響應顯著增大，說明其引起了強烈的沖擊效應。隨機和組合不平順下的結果非常一致，說明橋梁加速度主要由隨機不平順控制。

圖9 三種軌道不平順樣本

圖10 橋梁中跨跨中最大位移

圖11 橋梁中跨跨中最大加速度

第3輛車前輪最大接觸力見圖12，可見組合不平順下響應最大，隨機不平順的影響比徐變不平順大;隨機和組合不平順的影響有隨速度增加而增大的趨勢。通過分析接觸力時程曲線發(fā)現徐變不平順會引起強烈的梁端沖擊，而使接觸力增大。第3輛車車體最大加速度見圖13，可見其對不平順非常敏感，徐變和隨機不平順分別可使其增加達6倍和8倍，而車體加速度主要由長波長不平順控制［12］，說明2種不平順均含有大量的長波長成分;組合不平順的結果最大，但并不是其它2種不平順響應的疊加，說明應采用組合不平順分析最不利狀態(tài)。

圖12 輪軌最大接觸力

圖13 車體最大加速度

3 結論

(1)可以將橋梁徐變變形引起的軌道靜位移直接作為軌道不平順，推導的變截面梁單元在簡化計算中是有效的，建立的橋梁模型能達到滿意的精度。

(2)理論共振車速能很好的預測橋梁發(fā)生共振的速度，橋梁共振效應顯著，共振時沖擊系數明顯大于按規(guī)范取值，應盡量按實際沖擊系數設計。橋梁加速度對高階模態(tài)很敏感，沿梁長的分布也不規(guī)律，在設計和分析時，應仔細考慮不同速度下每個位置的響應。

(3)橋梁徐變變形10年后基本穩(wěn)定，且未達到相關限值。徐變不平順對橋梁動力響應影響很小，但可使車體加速度顯著增加，影響乘車舒適性;也可引起強烈的梁端沖擊，增大輪軌接觸力。軌道隨機不平順是橋梁加速度的主要激勵源，可使最大響應局部峰值偏離共振車速。隨機不平順對接觸力的影響比徐變不平順更顯著，它是接觸力的主要激勵源，運營中應重視線路養(yǎng)護和維修。

(4)組合不平順包含各不平順的貢獻，但并不是其它2種不平順響應的疊加，應采用組合不平順分析系統(tǒng)的最不利狀態(tài)。該耦合系統(tǒng)各動力響應均未達到規(guī)范限值，能滿足新建客運專線的各項要求。

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Analysis of Vibration of Non-uniform G irder Bridge Under Trains and Influence of Creep in High-speed Railway

YANG Hong-yin1，CAO Hong-you2，CHEN Zhi-jun3，BU Le-le1
(1.Bridge Science Research Institute Co Ltd，China Railway Major Bridge Engineering Group，Wuhan 430034，China;2.School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070，China;3.School of Civil Engineering and Mechanics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China)

Based on Hertz elastic contact，a wheel-rail contactelement considering creep deformation is derived，and the simplified elementmass and stiffnessmatrices for non-uniform beam element are given.The vibration equations of the train-rail-bridge interaction system are established.The track irregularity caused by the creep deformation of a real prestressed concrete continuous bridge is calculated，and considering the combination of the creep irregularity and random irregularity，the effects of the three irregularities on the dynamic responses are analyzed.The results demonstrate that the derived non-uniform beam element is reasonable and effective，and the bridge resonance effect is significant.The real impact coefficient should be used to design the bridge，and the dynamic response of each position should be considered.The creep irregularity has less effect on the bridge responses，but can increase obviously the car body acceleration and contact force and can cause sharp impact at beam end.Thus，the control of creep deformation and associated angle should be emphasized.The random irregularity can increase significantly the bridge and car body acceleration and contact force，and the combination irregularity can get the worst state of the system.

train-rail-bridge coupling vibration;creep;wheel-rail contact element;non-uniform beam element;track irregularity

U441+.3;TU311.3

A

2095-0985(2015)02-0031-06

2015-01-03

2015-02-13

楊宏印(1986-)，男，湖北荊門人，博士，研究方向為車-橋耦合動力學(Email:yanghongyin@hust.edu.cn)

曹鴻猷(1986-)，男，湖北蘄春人，博士，研究方向為大跨度懸索橋計算理論(Email:583481518@qq.com)

國家自然科學基金(51278218);湖北省自然科學基金(2013CFA135)