☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 朱小莉

數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要尋找根源

☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 朱小莉

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的高效和有效是教師教學(xué)最核心的教學(xué)內(nèi)容.在新課程理念引入到教學(xué)之后，我們常?？吹礁鞣N層出不窮的全新教學(xué)方式、方法，有很多教學(xué)模式圍繞學(xué)生進(jìn)行了設(shè)計(jì)和嘗試，是非常值得我們學(xué)習(xí)和探索的，比如，以積極建構(gòu)為主的數(shù)學(xué)新知類教學(xué)模式、以馬登變式理論構(gòu)建的變式教學(xué)復(fù)習(xí)模式、以APOS理論進(jìn)行的知識(shí)探索類教學(xué)模式等，都有較大的借鑒意義.隨著新課程理念的不斷深入，在高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)中，我們對(duì)新課程如何更好更妙地實(shí)施教學(xué)高效性和有效性，在認(rèn)識(shí)方面并不足夠.筆者常常出去觀摩高三解題教學(xué)公開課，發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分教師仍舊以傳統(tǒng)教學(xué)中效率最低下的大訓(xùn)練模式在進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，如筆者近期觀摩的數(shù)形結(jié)合思想公開課：以形輔數(shù)兩個(gè)問(wèn)題，以數(shù)解形兩個(gè)問(wèn)題，一堂課就師生共同研究四個(gè)問(wèn)題，并且四個(gè)問(wèn)題之間沒(méi)什么聯(lián)系，隨意從教輔資料中找四個(gè)毫不相關(guān)的問(wèn)題，最后是給出四個(gè)訓(xùn)練問(wèn)題.試問(wèn)：這樣的教學(xué)模式從量來(lái)說(shuō)的確不少，但是不相干的知識(shí)解答和無(wú)聯(lián)系的知識(shí)運(yùn)用，乃至非常緊張的課堂只會(huì)給學(xué)生匆匆的感覺(jué)，這樣的方式比較低下.

因此，筆者認(rèn)為解題教學(xué)的模式需要改一改才能適應(yīng)新課程理念.因此，以題根為本的根本教學(xué)法成為解題教學(xué)高效和有效的根源.“根本”教學(xué)法就是以數(shù)學(xué)題根和學(xué)生為根本，開展數(shù)學(xué)教學(xué)，把時(shí)間還給學(xué)生，引導(dǎo)幫助學(xué)生去探究，為學(xué)生未來(lái)發(fā)展奠定基礎(chǔ)的一種教學(xué)方法.筆者以這一模式設(shè)計(jì)了一堂高三復(fù)習(xí)課，從教學(xué)設(shè)計(jì)的技術(shù)層面上看，突破了“復(fù)習(xí)知識(shí)、綜合應(yīng)用”的常規(guī)模式，依托一道高考題，通過(guò)“尋根之旅—題由根生—并蒂連理—開枝散葉—枝繁葉茂—追根溯源”在探究與思考中提出問(wèn)題，在合作與交流中解決問(wèn)題.其課堂的形式是開放的，學(xué)生的思維可以自由馳騁，合作交流可以非常熱烈，在交流中師生可以不分彼此，是相互平等的.同時(shí)，師生的各自任務(wù)又非常明確：教師是課堂的組織者、引導(dǎo)者、合作者和促進(jìn)者，而學(xué)生是問(wèn)題的提出者、又是解決者.在這樣的課堂里，學(xué)生收獲的不單單是數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是豐富了經(jīng)驗(yàn)、增長(zhǎng)了智慧.下文是筆者以向量數(shù)量積與向量和及差之間的關(guān)系為載體來(lái)設(shè)計(jì)的向量教學(xué)題根復(fù)習(xí)課，與大家交流.

一、給出根源，層層遞進(jìn)

美國(guó)心理學(xué)家布魯納指出：“思維起始于問(wèn)題，教學(xué)活動(dòng)是從提出問(wèn)題開始，解決問(wèn)題持續(xù)，最終繼續(xù)提出新問(wèn)題的循環(huán)過(guò)程.”在本課設(shè)計(jì)中，筆者以教材中最基本的向量數(shù)量積與向量和及差之間的關(guān)系為根源，給出題根.

圖1

問(wèn)題1：求證：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.

筆者給出B組課后習(xí)題作為學(xué)生思考問(wèn)題題根所在.

問(wèn)題2：在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=_________.

這樣的情境創(chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，參與到相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)之中.再以該問(wèn)題的解決作為背景開展了“尋根之旅”，引導(dǎo)學(xué)生抓到題根，以便抓到這個(gè)相關(guān)的題族、題群、題系.學(xué)生由問(wèn)題1“尋根之旅”提煉形成“向量數(shù)量積與向量和及差之間的關(guān)系式a·b=（高等數(shù)學(xué)中稱之為極化恒等式）”，通過(guò)后續(xù)問(wèn)題的解決，理解、體會(huì)、運(yùn)用“極化恒等式”，整個(gè)過(guò)程的安排上由淺入深、逐層遞進(jìn)、拾級(jí)而上.在師生互動(dòng)的過(guò)程中，新舊知識(shí)，通過(guò)理論與實(shí)踐之間的各種沖突與和諧、破壞與創(chuàng)造，實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)的主動(dòng)構(gòu)建，并加強(qiáng)學(xué)生的思維能力，進(jìn)而不斷突破現(xiàn)有的思維定勢(shì)，使其充滿創(chuàng)新、創(chuàng)造的欲望.選題看似平淡，卻內(nèi)涵豐富，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，深刻而不深?yuàn)W，本節(jié)課筆者在選題上做了一番精心的準(zhǔn)備，實(shí)在且實(shí)用.后續(xù)筆者自認(rèn)為題目的安排雖然做到了很好的由淺入深，但稍顯平淡，如果順序講解做一定的調(diào)整應(yīng)該可以給學(xué)生帶來(lái)更大的思維碰撞及更濃的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步探索.

問(wèn)題3：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_________.

此題是近期模擬考試中考生剛經(jīng)歷的一個(gè)“痛苦”之作，學(xué)生對(duì)此題一定記憶猶新，此時(shí)如果筆者要求學(xué)生再解決一下，相信絕大多數(shù)同學(xué)還不會(huì)處理該題或者已忘了當(dāng)時(shí)筆者的講解，這充分證明學(xué)生還未掌握解決此類“難題”的方法，筆者以一句“那我們一起來(lái)開啟我們的探險(xiǎn)之旅，找到解決此類問(wèn)題的法寶吧”為開場(chǎng)白，筆者相信一定更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，喚起共鳴.

以這樣的問(wèn)題提出驗(yàn)證本節(jié)課的“尋根之旅”——求證：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.此證明很好地揭示了本節(jié)課的知識(shí)方法本質(zhì)（即向量數(shù)量積與向量和及差之間的關(guān)系式），也找準(zhǔn)了問(wèn)題2、3的“根源”.問(wèn)題2相對(duì)簡(jiǎn)單，可以供學(xué)生“小試牛刀”，可以做到對(duì)新授知識(shí)的應(yīng)用及后續(xù)知識(shí)的遷移.筆者認(rèn)為此時(shí)很多同學(xué)已經(jīng)迫不及待地想用此種方法去解決問(wèn)題3，當(dāng)發(fā)現(xiàn)順利解決后是何等的興奮！在這樣的背景下再由淺入深、逐層遞進(jìn)地安排后面的一些問(wèn)題，從處理三角形中的雷同題到略有變化的解析幾何問(wèn)題.

讓學(xué)生訓(xùn)練鞏固，體驗(yàn)此類方法的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)習(xí)題中的變式和遷移.所以，在新課程背景下，合理使用教材和資料，有效選擇實(shí)在且實(shí)用的例題和習(xí)題是高三復(fù)習(xí)的重中之重，而在課堂教學(xué)中合理安排例題習(xí)題的順序又是引領(lǐng)學(xué)生思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

二、學(xué)生為主，定位合理

新課程理念是要求教師教學(xué)以學(xué)生為主體，以學(xué)生自主建構(gòu)和探索為學(xué)習(xí)的根本，在新知教學(xué)中，筆者認(rèn)為這一實(shí)施是比較容易實(shí)現(xiàn)的.但對(duì)復(fù)習(xí)教學(xué)、解題教學(xué)而言，如何真正實(shí)施這一理念呢？學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的把握是不是脈絡(luò)清晰？對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的考查方向是否如教師般透過(guò)現(xiàn)象直達(dá)本質(zhì)？在復(fù)習(xí)解題教學(xué)大容量的課堂中能否做到高效、有效？筆者認(rèn)為，找到問(wèn)題的根源，以根源為主設(shè)計(jì)問(wèn)題，將思維發(fā)展區(qū)都緊緊圍繞題根而設(shè)，這樣的設(shè)計(jì)定位對(duì)于解題教學(xué)而言比較高效，學(xué)生思考的方向比較明確，對(duì)于某些較難知識(shí)點(diǎn)的嘗試比較獨(dú)立，這里需要教師的合理引導(dǎo)和設(shè)計(jì).

再比如，筆者在解決問(wèn)題2：在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=_________，有學(xué)生這么解答：假設(shè)△ABC是AB=AC的等腰三角形，則……學(xué)生的回答也許出乎了筆者的意料，但筆者沒(méi)有馬上開始自己的方法講解，只是說(shuō)“這位同學(xué)回答的很好，在客觀題中特殊值法不失為一種好方法，那如果三角形不特殊又該如何解決呢？”巧妙地把問(wèn)題再拋給學(xué)生，既做到對(duì)學(xué)生的肯定，又讓學(xué)生充滿興趣地進(jìn)入到思索中，再在筆者的啟發(fā)下進(jìn)入到本節(jié)課的軌道.

三、合適訓(xùn)練，鞏固新知

向量問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在鞏固了本內(nèi)容所學(xué)的基本題根a·b=之后，筆者給出下列類似問(wèn)題供學(xué)生訓(xùn)練鞏固.

（1）如圖2，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則O—→P·B—→P的最小值是_________.

圖2

圖3

（2）如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，E是△BCD內(nèi)部任意一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，則的最小值是_________.

（3）平面向量a，b，e滿足|e|=1，a·e=1，b·e=2，|a-b|= 2，則a·b的最小值為_________.

四、積極研究，尋找題根

數(shù)學(xué)教師需要在不斷地研究教育教學(xué)規(guī)律、不斷地創(chuàng)新教學(xué)工作方法中保持青春.一位教師如果整天都陷入應(yīng)付上課、批改、輔導(dǎo)、解題等常規(guī)事務(wù)的泥潭中，而不能進(jìn)行有效地思考、總結(jié)和研究的話，那他的專業(yè)成長(zhǎng)一定會(huì)走入高原，一般不會(huì)有太大的發(fā)展.一位教師如果失去了教學(xué)青春，變成了一名“教書匠”是可悲的，也是可怕的.

一方面筆者認(rèn)為，解題教學(xué)要以文中所述弄清問(wèn)題的根源，很多問(wèn)題其實(shí)是同質(zhì)不同樣，用合理的教學(xué)設(shè)計(jì)引領(lǐng)的題根式教學(xué)大大提高了解題教學(xué)的效率，也容易讓學(xué)生在這類問(wèn)題中產(chǎn)生創(chuàng)新的想法和鞏固解題根源帶來(lái)的解題方向性.

另一方面筆者認(rèn)為，教學(xué)必須以研究的方式進(jìn)行解體教學(xué)的專題性指導(dǎo)，只有教師自身有著過(guò)硬的知識(shí)基本功，以高于平時(shí)解題思路與方法的解題去指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)解題教學(xué)，將問(wèn)題以根源為本、類似問(wèn)題為輔的模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能體現(xiàn)解題教學(xué)的專業(yè)性和針對(duì)性.好的方法本身對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)就富有強(qiáng)烈的吸引力，在用一些奇妙的方法解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題后，學(xué)生也會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的試試和模仿的沖動(dòng)，讓學(xué)生充分享受探索、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的樂(lè)趣了.從本節(jié)向量復(fù)習(xí)課而言，筆者并沒(méi)有按照高三復(fù)習(xí)教學(xué)的一般套路，而是以探索規(guī)律方法為線索，通過(guò)深入淺出、適度整合、橫挖縱拓地展開，使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)層面、思想方法層面、學(xué)習(xí)策略層面都有頗多的收獲.從學(xué)案的設(shè)計(jì)上不只是知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)，不只是概念條目的填空和例題的組合，而是給學(xué)生一種引領(lǐng)的作用，讓閱讀者感到的是一條拾級(jí)而上的學(xué)習(xí)“脈絡(luò)”.

1.張繼紅.平面向量教學(xué)的新認(rèn)知［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（4）.

2.趙棟.數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)與創(chuàng)造性思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（7）.

3.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（4）.F