☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 成倩文

透過現(xiàn)象看本質(zhì)
——?jiǎng)討B(tài)立體幾何問題的處理

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 成倩文

動態(tài)問題是高考對立體幾何問題的主要考查形式之一，其體現(xiàn)了“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，動態(tài)立體幾何問題的特點(diǎn)是圖形中的某些元素（點(diǎn)、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動變化，從而又引起了其他一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化.但是圖形中的一些元素的數(shù)量和關(guān)系在運(yùn)動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.

一、尋找特殊位置，以動制靜

圖1

例1 如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1上的一個(gè)動點(diǎn)，平面BED1交棱AA1于點(diǎn)F，則下列命題中為假命題的是（ ）.

A.存在點(diǎn)E，使得A1C1∥平面BED1F

B.存在點(diǎn)E，使得B1D⊥平面BED1F

C.對于任意的點(diǎn)E，平面A1C1D⊥平面BED1F

D.對于任意的點(diǎn)E，四棱錐B1-BED1F的體積均不變

解析：對于選項(xiàng)A：當(dāng)E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，則F為AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1C1，所以A1C1∥面BED1F，故A正確.

對于選項(xiàng)B：假設(shè)B1D⊥平面BED1F，則B1D在平面BCC1B1和面ABB1A1上的射影B1C、B1A分別與BE、BF垂直，可得E與C1重合，F(xiàn)與A1重合，而B、A1、C1、D1四點(diǎn)不共面，所以不存在這樣的點(diǎn)E，故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C：因?yàn)锽D1⊥面A1CD，BD1?BED1F，所以面A1C1D⊥面BED1F，故C正確.

對于選項(xiàng)D：因?yàn)閂B1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，又CC1∥AA1∥面BB1D1，所以四棱錐B1-BED1F的體積為定值.答案為D.

評注：動態(tài)幾何問題的核心是讓變量變化起來，在運(yùn)動變化中探求與之相關(guān)的其他量之間的關(guān)系.隨著變量的變化，與之相關(guān)的一些量在變量變化過程中保持不變，此時(shí)可考慮變量變化過程中的特殊位置（便于問題解決的位置）.在具體解題時(shí)，要善于從多角度思考，尋求運(yùn)動變化的實(shí)質(zhì)，從而使問題獲得靈活解決.

二、把握平行原理，變被動為主動

圖2

例2 如圖2，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動點(diǎn)，且B1F∥面A1BE，則BF與平面CDD1C1所成角的正切值構(gòu)成的集合是（ ）.

解析：取CC1的中點(diǎn)M，C1D1的中點(diǎn)N，連接B1M，B1N，MN，易知B1M∥A1E，MN∥A1B，所以面B1MN∥面A1BE，故點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動.在△B1PC1中，∠B1PC1即為B1、F與平面CDD1C1所成的角，tan∠B1PC1=，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，tan∠B1PC1取得最小值2，當(dāng)點(diǎn)P位于MN的中點(diǎn)時(shí)，tan∠B1PC1取得最大值答案為C.

評注：空間中的平行關(guān)系有“線線平行”“線面平行”“面面平行”，應(yīng)用其解題時(shí)要準(zhǔn)確利用三種平行關(guān)系的推導(dǎo)，本題由“線面平行”聯(lián)想到“面面平行”，將動態(tài)的“線面平行”置于靜態(tài)的“面面平行”之中，進(jìn)而將問題簡潔求得.

三、聯(lián)想特殊模型，化抽象為直觀

解析：如圖3，此題相當(dāng)于一個(gè)邊長為1的正方形ABCD沿著對角線BD折成一個(gè)四面體，如圖4，長為a的棱長一定大于0且小于答案為A.

圖3

圖4

評注：高考中對立體幾何問題的考查，均以規(guī)則的幾何圖形出現(xiàn)，其規(guī)則的背后必有規(guī)則的背景，因此在解題中如果能挖掘其隱含條件，聯(lián)想相應(yīng)的幾何模型，則使問題的求解過程直觀簡潔.

四、拓展平面結(jié)論，發(fā)散動態(tài)思維

圖5

例4 如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動點(diǎn)，PE⊥A1C于點(diǎn)E，且PA= PE，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）.

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分

D.拋物線的一部分

解析：在平面內(nèi)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡為此角的平分線，如果將條件改為空間，則點(diǎn)的軌跡為平面，在此不妨稱之為角的平分面.而點(diǎn)P又在底面ABCD上，故點(diǎn)P的軌跡為兩面的交線.答案為A.

評注：在類比推理的學(xué)習(xí)中，如果我們能將平面中的有關(guān)結(jié)論推理到空間，在解題中均有廣泛的應(yīng)用，如在平面中到兩個(gè)定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡為以這兩個(gè)定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線；如果將條件改為空間中，易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分面.

五、充分利用函數(shù)的思想，以不變應(yīng)萬變

圖6

（1）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長；

（2）略.

解析：（1） 設(shè)PA=x，則V棱錐A′-PBCD=x·令f（x）=（x＞0），則f′（x）=

x 0，2 3■3（ ） 2 3■3 2 3■3 ，+∞（）f′（x） + 0 -f（x） 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減

評注：翻折的時(shí)候，體積處于“動態(tài)”變化之中，將導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的思想融合在立體幾何中，可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的思維.另外立體幾何中經(jīng)常會涉及角度、距離、面積、體積等最值問題的計(jì)算，通?？砂堰@類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)或方程，利用代數(shù)方法求解.

六、尋根溯源，尋找極限點(diǎn)的準(zhǔn)確位置

圖7

例6 如圖7，三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=4，PB=PC=3，則面ABC上任一點(diǎn)到三個(gè)面的距離的平方和最小是_________.

解析：以PA、PB、PC所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖7，令面ABC上任一點(diǎn)Q（x，y，z），則點(diǎn)Q到三個(gè)面的距離的平方和x2+y2+z2=|PQ|2，故所求的最小值就是點(diǎn)P到平面ABC的距離的平方，應(yīng)用等體積法VP-ABC=VC-PAB，可得，所以

評注：變量的變化過程無法達(dá)到確定的端點(diǎn)位置，而端點(diǎn)的情況恰恰影響著問題的思考，此時(shí)可利用極限思想考慮運(yùn)動變化的極限位置.運(yùn)用運(yùn)動觀點(diǎn)、極限的思想去觀察、分析、處理問題，可收到意想不到的效果.

總之，動態(tài)立體幾何問題包含了廣泛的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)著從靜到動、從單一到多方面、從立方體本身應(yīng)用問題到利用立方體去解決問題的發(fā)展變化.仔細(xì)研究這些變化對學(xué)好空間幾何無疑是大有裨益的.教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對空間圖形的研究以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、數(shù)形轉(zhuǎn)換及邏輯思維能力.F