袁從森，沈銳利，周凌遠(yuǎn)，李偉東，官 快

（西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，成都 610031）

計(jì)入重力弦向分量影響的斜拉索非線(xiàn)性自由振動(dòng)分析

袁從森，沈銳利，周凌遠(yuǎn)，李偉東，官 快

（西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，成都 610031）

為了進(jìn)一步準(zhǔn)確計(jì)算斜拉索的自振頻率，考慮斜拉索的重力在弦向的分量對(duì)斜拉索非線(xiàn)性振動(dòng)的影響，分別建立了斜拉索的垂度微分方程和非線(xiàn)性自由振動(dòng)方程，采用冪級(jí)數(shù)法求解垂度微分方程，采用伽遼金法把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，運(yùn)用攝動(dòng)法求得該方程的近似解，并制定了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，與理論解進(jìn)行了比較。研究了考慮索力變化影響后拉索的振動(dòng)特性，采用了更精確的函數(shù)來(lái)逼近垂度懸鏈線(xiàn)，解決了考慮重力在弦向的分量時(shí)，用拋物線(xiàn)來(lái)逼近垂度懸鏈線(xiàn)時(shí)的精度不足的問(wèn)題。隨著索的長(zhǎng)度增加，索的總質(zhì)量也越來(lái)越大，因此要考慮斜拉索的重力弦向的分量對(duì)斜拉索的振動(dòng)的影響。

斜拉橋；斜拉索；非線(xiàn)性振動(dòng)；弦向分量

Max Irine［1］對(duì)索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力理論做了較為詳盡的討論。De SáCaetano［2］對(duì)拉索振動(dòng)理論方法做了較為全面的總結(jié)。吳曉［3］建立了斜拉橋拉索大幅振動(dòng)的非線(xiàn)性動(dòng)力方程，采用傅里葉級(jí)數(shù)法研究求解了斜拉索非線(xiàn)性固有振動(dòng)方程。劉志軍［4］研究了斜拉索在平面內(nèi)的非線(xiàn)性固有振動(dòng)特性，從考慮抗彎剛度和垂度影響的斜拉索在平面內(nèi)發(fā)生橫向振動(dòng)的非線(xiàn)性自由振動(dòng)方程出發(fā)，對(duì)斜拉索發(fā)生單模態(tài)振動(dòng)進(jìn)行了分析。趙躍宇［5］計(jì)入斜拉索的抗彎剛度、垂度和幾何非線(xiàn)性的影響，利用哈密頓原理建立了斜拉索的非線(xiàn)性振動(dòng)微分方程。李金海［6］在考慮斜拉索非線(xiàn)性靜平衡曲線(xiàn)、抗彎剛度、黏滯阻尼影響的斜拉索平面內(nèi)非線(xiàn)性振動(dòng)的基礎(chǔ)上，建立了斜拉索非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)方程。付英［7］在考慮拉索垂度的情況下建立了深圳灣公路大橋的動(dòng)力學(xué)模型。李壽英［8］推導(dǎo)了覆冰拉索的一階模態(tài)馳振的運(yùn)動(dòng)微分方程，并采用龍格－庫(kù)塔法進(jìn)行求解，得到了拉索的馳振響應(yīng)規(guī)律。以上學(xué)者在研究過(guò)程中用二次拋物線(xiàn)代替垂度懸鏈線(xiàn)，在建立動(dòng)力微分方程時(shí)，沒(méi)有考慮重力在弦向的分量對(duì)斜拉索的振動(dòng)的影響。周曉東［9］研究了彈性斜拉索內(nèi)共振非線(xiàn)性特性，在求斜拉索的垂度曲線(xiàn)時(shí)，考慮了斜拉索重力在平行于弦向方向上分量的作用；由于該分量的作用，拉索的初始形態(tài)不再是關(guān)于弦的中垂線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的、近似拋物線(xiàn)的形狀，而是非對(duì)稱(chēng)的形態(tài)；但是其在建立動(dòng)力平衡方程時(shí)沒(méi)有考慮斜拉索重力在平行于弦向方向上分量的作用。

一般斜拉橋的拉索在發(fā)生大幅橫向振動(dòng)時(shí)，應(yīng)該考慮斜拉索在振動(dòng)過(guò)程中索力的變化，并且考慮非線(xiàn)性項(xiàng)。隨著索的長(zhǎng)度增加，索的總質(zhì)量也越來(lái)越大，受重力影響，拉索的張力沿弦向變化較大，有必要計(jì)入重量弦向分量的影響，更加精確地研究長(zhǎng)大斜拉索的非線(xiàn)性振動(dòng)。

本文假定：只考慮拉索xy平面內(nèi)的振動(dòng)，且拉索在x方向的振動(dòng)很小，可以忽略不計(jì)；斜拉索受到的重力沿弦長(zhǎng)均勻分布。圖1所示為研究對(duì)象的坐標(biāo)體系和結(jié)構(gòu)模型。

圖1 斜拉索示意圖Fig．1 The sketch of an inclined cable

由于考慮了重力在弦向的分量，用拋物線(xiàn)來(lái)逼近垂度懸鏈線(xiàn)，精度不夠，采用冪級(jí)數(shù)法求解垂度微分方程，得到更精確的函數(shù)來(lái)逼近垂度懸鏈線(xiàn)。

1 斜拉索非線(xiàn)性自由振動(dòng)微分方程的導(dǎo)出

圖1所示的斜拉索，坐標(biāo)系取弦向op方向?yàn)閤軸，以垂直于弦向?yàn)閥軸且以朝下方為正，坐標(biāo)原點(diǎn)取支撐點(diǎn)O。圖中θ和l分別表示斜拉索的傾角和弦長(zhǎng)。斜拉索的質(zhì)量是均勻分布的，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m，y（x）為拉索靜態(tài)的垂度函數(shù)。在拉索作橫向振動(dòng)時(shí)，其弦向拉力增值為S；η（x，t）為拉索橫向振動(dòng)位移函數(shù)，其方向沿y軸方向，索的彎曲剛度為EI。

考慮重力在弦向（即為x軸方向）的分量，則拉索的靜態(tài)弦向拉力將不再是常數(shù)，設(shè)靜態(tài)弦向拉力為Sc，其表達(dá)式為

式中：S0為原點(diǎn)O處拉索的靜態(tài)弦向拉力。

在自重作用下，首先不考慮斜拉索的抗彎剛度，取斜拉索的微段來(lái)研究，該微段弧長(zhǎng)微分為d s，忽略高階項(xiàng)，拉索的豎向靜力平衡方程為：

式（2）即為垂度微分方程，在此考慮了重力弦向分量的影響。

參照靜力平衡方程的推導(dǎo)，斜拉索在平面內(nèi)作橫向振動(dòng)時(shí)，有動(dòng)力平衡方程：

式（4）即為索的動(dòng)力平衡微分方程。與以前的研究相比，此微分方程考慮了重力在弦向的分量對(duì)斜拉索的振動(dòng)的影響。

變形協(xié)調(diào)方程為：

或者也可以采用文獻(xiàn)［10］的變形協(xié)調(diào)方程，其本質(zhì)是一樣的。

2 微分方程的近似解析解

2.1 垂度微分方程的求解

我們得到的垂度微分方程式（2）可以采用冪級(jí)數(shù)法求得近似解：

上式是恒等式，因此方程左端各項(xiàng)的系數(shù)全部為零，于是有

2.2 索的動(dòng)力平衡微分方程的攝動(dòng)解

假設(shè)拉索橫向振動(dòng)位移

把式（5）、式（9）和式（10）代入式（4）中，再利用伽遼金原理，則式（4）就從關(guān)于空間的四階和關(guān)于時(shí)間的二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間的二階常微分方程：

α1為線(xiàn)性影響因素，包括抗彎剛度的影響因素、初拉力（即初始的拉索靜態(tài)弦向拉力）的影響因素、重力弦向分力影響因素、索力變化和垂度的線(xiàn)性影響因素。其中抗彎剛度的影響因素為：

索力變化和垂度的線(xiàn)性影響因素為：

式中：α1＝α11+α12+α13+α14

α2和α3為索力變化和垂度的非線(xiàn)性影響因素：

L-P法是一種一致有效的攝動(dòng)法，我們利用L-P法［11－12］來(lái)解式（11）。引進(jìn)一個(gè)無(wú)量綱的小參數(shù)ε和一個(gè)新的自變量τ＝ωt，其中ω為非線(xiàn)性自振頻率，是在開(kāi)始時(shí)尚未確定的ε的函數(shù)。

假定式（11）的解可以表示成形式為

根據(jù)ε的各冪次的系數(shù)都等于零，可把非線(xiàn)性微分方程化為線(xiàn)性的微分方程組，就得到如下微分方程組：

對(duì)于初始條件，為簡(jiǎn)化并且不失一般性，假設(shè)初速度為零，只有初位移。

可見(jiàn)斜拉索的非線(xiàn)性自振頻率與振幅有關(guān)，當(dāng)振幅較大時(shí)要考慮非線(xiàn)性。

3 微分方程的數(shù)值解

對(duì)于式（11），我們可以把二階微分方程的初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一階方程組來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解。利用四階Runge-Kutta-Gill法［13］，可以編寫(xiě)C++控制臺(tái)程序，進(jìn)行求解。

4 算 例

取武漢白沙洲長(zhǎng)江大橋C24號(hào)斜拉索作為算例，進(jìn)行分析。該斜拉索的主要參數(shù)為［4］：索長(zhǎng)為331．013 6 m，彈性模量E＝1．95×105MPa，橫截面積A＝6．273×10－3m2，單位長(zhǎng)度質(zhì)量m＝51．8 kg／m，拉索的傾斜角度θ＝24．397 6°，初始張力為2 002 kN，截面慣性矩為3．5×10－6m4。假設(shè)：對(duì)于一階振型，跨中的初始振幅是0．95 m；對(duì)于二階振型，1／4跨的初始振幅是0．95 m；對(duì)于三階振型，1／6跨的初始振幅是0．95 m；對(duì)于四階振型，八分之一跨的初始振幅是0．95 m；初始速度為零。

通過(guò)計(jì)算得知，對(duì)于一階自振，抗彎剛度的影響因素、初拉力的影響因素、重力弦向分力影響因素、索力變化和垂度的線(xiàn)性影響因素分別為α11、α12、α13見(jiàn)表1。

可見(jiàn)初拉力的影響最大，其次是索力變化和垂度的線(xiàn)性影響，再次是重力弦向分力影響，遠(yuǎn)大于抗彎剛度的影響因素。

各階自振的影響因素系數(shù)見(jiàn)表1。

表1 影響因素Tab.1 Influence factor

由表1可知，重力弦向分力影響因素一直都大于抗彎剛度的影響因素，并且從第二階自振開(kāi)始，重力弦向分力影響因素已經(jīng)大于索力變化和垂度的線(xiàn)性影響，因此為了提高斜拉索自振分析的精度，應(yīng)該要考慮斜拉索的重力弦向分力影響因素。

利用不考慮垂度、索力變化和抗彎剛度影響的標(biāo)準(zhǔn)弦的線(xiàn)性振動(dòng)理論和本文非線(xiàn)性理論以及數(shù)值方法，得到跨中位置一階自振位移圖見(jiàn)圖2。

圖2 拉索的一階自振位移圖Fig．2 The first order natural vibration displacement of inclined cables

從圖2可知，對(duì)于一階自振，非線(xiàn)性近似解析解和非線(xiàn)性數(shù)值解基本一致，可見(jiàn)非線(xiàn)性近似解析解是比較精確的。線(xiàn)性解與非線(xiàn)性解有一定的差別，并且由于重力和非線(xiàn)性的影響，非線(xiàn)性解正振幅值為0．950 m，負(fù)振幅值為－0．994 9 m，上下不對(duì)稱(chēng)，波峰明顯小于波谷；而線(xiàn)性解正振幅值為0．950 m，負(fù)振幅值為－0．950 m，波峰等于波谷。

本文的非線(xiàn)性為幾何非線(xiàn)性，細(xì)長(zhǎng)桿件（細(xì)長(zhǎng)梁和索）的幾何非線(xiàn)性效應(yīng)主要包括曲率變化引起的非線(xiàn)性，桿件伸長(zhǎng)造成軸力變化引起的非線(xiàn)性和慣性力造成的非線(xiàn)性。本文只考慮一個(gè)方向的振動(dòng)，故沒(méi)有慣性非線(xiàn)性。曲率變化引起的非線(xiàn)性對(duì)應(yīng)于非線(xiàn)性有限元中的切線(xiàn)剛度矩陣中的大轉(zhuǎn)角矩陣，桿件伸長(zhǎng)造成軸力變化引起的非線(xiàn)性對(duì)應(yīng)于幾何剛度矩陣。對(duì)于兩端固定的非線(xiàn)性細(xì)長(zhǎng)桿件，桿件伸長(zhǎng)造成軸力變化引起的非線(xiàn)性占主導(dǎo)地位。索做大幅自由振動(dòng)時(shí)，索必然會(huì)伸長(zhǎng)，引起非線(xiàn)性。此外索的非線(xiàn)性振動(dòng)公式考慮了垂度的影響，在重力引起的垂度基礎(chǔ)上做振動(dòng)，從能量的角度來(lái)說(shuō)，索非線(xiàn)性振動(dòng)考慮了重力勢(shì)能的影響。線(xiàn)性解沒(méi)有考慮索的伸張?jiān)斐傻乃髁ψ兓矝](méi)有考慮垂度，忽略了重力勢(shì)能的影響。故線(xiàn)性解與非線(xiàn)性解有一定的差別。

用同樣的方法得到二階到五階自振位移圖，見(jiàn)圖3～圖6。對(duì)于二階振型，圖3中的振幅對(duì)應(yīng)于拉索的1／4跨的位置；對(duì)于三階振型，圖4中的振幅對(duì)應(yīng)于拉索的1／6跨的位置；對(duì)于四階振型，圖5中的振幅對(duì)應(yīng)于拉索的1／8跨的位置。

圖3 拉索的二階自振位移圖Fig．3 The second order natural vibration displacement of inclined cables

圖4 拉索的三階自振位移圖Fig．4 The third order natural vibration displacement of inclined cables

圖5 拉索的四階自振位移圖Fig．5 The fourth order natural vibration displacement of inclined cables

圖6 拉索的五階自振位移圖Fig．6 The sixth order natural vibration displacement of inclined cables

從圖3～圖6可知，對(duì)于二階及其以上階自振，非線(xiàn)性近似解析解和非線(xiàn)性數(shù)值解幾乎完全重合，非線(xiàn)性近似解析解是足夠精確的；此外，非線(xiàn)性解和線(xiàn)性解差別已經(jīng)不大了，位移波峰基本等于波谷。

表2 頻率對(duì)比（Hz）Tab.2 Comparison of frequency

利用標(biāo)準(zhǔn)弦的線(xiàn)性理論和本文的非線(xiàn)性理論以及數(shù)值方法，振幅采用上文給出的振幅數(shù)值，得到的自振頻率見(jiàn)表2。

由表2可以看出，一階頻率的線(xiàn)性解與非線(xiàn)性解差別較大，二階及以上頻率的線(xiàn)性解與非線(xiàn)性解差別較小。該差別原因與圖2的線(xiàn)性解和非線(xiàn)性解的差別原因是一樣的。

5 結(jié) 論

本文通過(guò)解析方法和數(shù)值方法研究了拉索的大幅橫向振動(dòng)，得出如下結(jié)論：

當(dāng)斜拉索自振振幅較大時(shí)要考慮幾何非線(xiàn)性對(duì)斜拉索自振頻率的影響，自振振幅較小時(shí)可以不考慮幾何非線(xiàn)性。

重力弦向分力影響因素一般都大于抗彎剛度的影響因素，因此為了提高斜拉索自振分析的精度，應(yīng)該要考慮斜拉索的重力弦向分力的影響。

由于考慮了拉索重力在弦向的分量對(duì)斜拉索的振動(dòng)的影響，采用拋物線(xiàn)來(lái)表示垂度懸鏈線(xiàn)，精度顯然不夠，故利用冪級(jí)數(shù)法求解了更精確的垂度微分方程的近似解。

非線(xiàn)性近似解析解和非線(xiàn)性數(shù)值解基本一致，所以非線(xiàn)性近似解析解是比較精確的。線(xiàn)性解與非線(xiàn)性解有一定的差別，并且由于重力和非線(xiàn)性的影響，非線(xiàn)性解的位移波峰不等于波谷，這與線(xiàn)性的結(jié)果是不一樣的。

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Nonlinear free vibration of inclined cables taking into account the effect of chord component of gravity

YUAN Cong-sen，SHEN Rui-li，ZHOU Ling-yuan，LIWei-dong，GUAN Kuai
（School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Taking into account the effect of chord component of gravity on the nonlinear free vibration of inclined cables，the nonlinear equations of motion of an inclined cable were developed．The sag differential equation and the nonlinear free vibration equation of the sag were established．The sag differential equation was solved with themethod of power series．Galerkin'smethod was used to convert the nonlinear partial differential equations into ordinary differential equations．The approximate solutions of the equations were obtained with the perturbation method．A corresponding numericalmethod was developed and the resultswere compared with the theoretical solution．The vibration characteristics of inclined cableswere studied considering the variation of cable forces．A new function was chosen to approximate the catenary sag，which is more precise than the parabola function．The total mass of inclined cable increases with the increasing of the length，so the effectof chord componentof gravity on the vibration of inclined cablesmustbe considered．

cable stayed bridges；inclined cables；nonlinear vibration；chord component

TU317

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．034

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51178396）

2013－11－01 修改稿收到日期：2014－06－24

袁從森男，博士生，1983年生

沈銳利 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生