郭詠新，張 臻，王貞艷，周克敏，毛劍琴

（1．北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2．西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610031；3．路易斯安那州立大學(xué)電氣工程與計算機科學(xué)系，巴吞魯日 70803）

超磁致伸縮作動器的率相關(guān)振動控制實驗研究

郭詠新1，張 臻1，王貞艷1，周克敏2，3，毛劍琴1

（1．北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2．西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610031；3．路易斯安那州立大學(xué)電氣工程與計算機科學(xué)系，巴吞魯日 70803）

以Hammerstein模型對超磁致伸縮作動器（Giant Magnetostrictive Actuators，GMA）的率相關(guān)遲滯非線性進(jìn)行建模，其中改進(jìn)的PI（Modified Prandtl-Ishlinskii，MPI）模型和外因輸入自回歸模型（Autoregressive Model with Exogenous Input，ARX）分別表示模型的靜態(tài)非線性部分和線性動態(tài)部分。在所建模型的基礎(chǔ)上，提出了一種H∞魯棒振動控制方法。GMA單自由度主動隔振平臺的減振控制實驗結(jié)果表明：H∞魯棒振動控制方法可以在1個振動周期內(nèi)，將頻率范圍為1～100 Hz的振動衰減88%～92%；而基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法收斂時間近似于1 s，在40～100 Hz的頻率范圍內(nèi)可將振動衰減90%～92%，而在10～30 Hz的頻率范圍內(nèi)只能將振動衰減43%～74%。因此所提出的H∞魯棒振動控制方法收斂速度更快，控制頻帶更寬，而且不需要對不同頻率激勵下的控制通道進(jìn)行重復(fù)建模。

超磁致伸縮作動器；率相關(guān)遲滯非線性；Hammerstein模型；振動控制；H∞魯棒控制；自適應(yīng)濾波

振動的隔離與控制在半導(dǎo)體加工、精密測量、空間飛行器等眾多領(lǐng)域都具有重要的作用。尤其是在空間飛行器中，100 Hz以下的微幅振動普遍存在，而傳統(tǒng)的被動隔振方法對這種低頻段低幅值振動難以奏效［1］。因此智能材料和先進(jìn)技術(shù)相結(jié)合的機電一體的智能結(jié)構(gòu)便應(yīng)運而生。相對于壓電陶瓷、形狀記憶合金等其他智能材料，超磁致伸縮材料具有應(yīng)變大、能量密度高、響應(yīng)速度快、輸出力大、頻率特性好等優(yōu)點。由超磁致伸縮材料制造而成的超磁致伸縮作動器（GiantMagnetostrictive Actuators，GMA），被廣泛應(yīng)用于精確定位、跟蹤和主動振動控制。

但是GMA在輸入輸出關(guān)系上具有遲滯非線性，而且這種遲滯非線性是率相關(guān)的，即GMA的輸出還隨著輸入頻率的變化而變化。要對GMA進(jìn)行精確控制，率相關(guān)遲滯非線性是必須要考慮的因素。

目前，在經(jīng)典的遲滯模型［2－6］和計算智能發(fā)展的基礎(chǔ)上，率相關(guān)遲滯非線性建模獲得了一定的進(jìn)展［7－16］。在帶有遲滯非線性的智能作動器的振動控制方面，主要的控制方法有比例控制［17］、最小方差自校正調(diào)節(jié)控制［18］、線性二次型反饋控制［19］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［20－21］、自適應(yīng)濾波控制［22－24］、魯棒控制［25］等。出于簡化控制方法的需要，許多文獻(xiàn)將GMA簡單等效為一個線性系統(tǒng)，并沒有考慮其率相關(guān)遲滯非線性。

采用Hammerstein模型對GMA的率相關(guān)遲滯非線性進(jìn)行建模，其中改進(jìn)的PI（Modified Prandtl-Ishlinskii，MPI）模型表示靜態(tài)遲滯非線性部分，外因輸入自回歸模型（Autoregressive Model with Exogenous Input，ARX）表示線性動態(tài)系統(tǒng)部分。辨識得到模型能夠較好地描述1～100 Hz頻率范圍內(nèi)GMA的輸入輸出關(guān)系。

在這一模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的H∞魯棒振動控制方法。將這一控制方法應(yīng)用于GMA單自由度主動隔振平臺，可以在1個振動周期內(nèi)，將基座傳來的1～100 Hz頻率范圍內(nèi)的振動衰減88%～92%，由此證明了這一控制方法的有效性。基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法收斂時間近似于1 s，在40～100 Hz的頻率范圍內(nèi)可將振動衰減90%～92%，而在10～30 Hz的頻率范圍內(nèi)只能將振動衰減43%～74%。因此本方法有效控制頻帶更寬，收斂速度更快，而且不需對不同頻率激勵下的控制通道進(jìn)行重復(fù)建模。

1 GMA的基本特性及率相關(guān)建模

1.1 GMA的基本特性

目前最常見的超磁致伸縮材料為三元稀土合金TbDyFe。室溫下的實驗結(jié)果表明，TbDyFe合金最大輸出應(yīng)變可達(dá)1 500～2 200 mg·L－1，能量密度可達(dá)14 000～25 000 J／m3，輸出力可達(dá)220～800 N，響應(yīng)速度達(dá)到μs級［26］。利用TbDyFe合金制作的GMA的實物和原理圖見圖1。

當(dāng)改變激勵線圈中的電流時，其產(chǎn)生的磁場發(fā)生變化，使TbDyFe芯棒發(fā)生形變，因此通過控制激勵線圈中的電流就可以控制GMA的輸出位移和輸出力。永磁體提供一個偏置磁場，使輸出位移是雙向的。彈簧對TbDyFe芯棒產(chǎn)生一個預(yù)壓力，能夠改善輸出性能。

圖1 GMAFig．1 GMA

改變激勵線圈中電流的頻率，則GMA的輸入電流／輸出位移的關(guān)系見圖2，可知GMA的遲滯具有很強的率相關(guān)性，并且隨著輸入頻率的增加，輸出位移略有減小。

圖2 不同頻率下GMA的遲滯環(huán)Fig．2 Hysteresis loops of GMA at different frequencies

1.2 GMA的Hamm erstein模型

以MPI模型表示GMA在低頻率（1 Hz）下的靜態(tài)遲滯非線性，以ARX模型表示高頻率下的率相關(guān)動態(tài)特性，則GMA的Hammerstein模型見圖3。

圖3 GMA的Hammerstein模型Fig．3 Hammerstein model of GMA

圖3中，u（t）為輸入，y（t）為輸出，v（t）為不可測的中間變量。

MPI模型是率無關(guān)的靜態(tài)模型，用來表示靜態(tài)遲滯非線性部分。它由play算子線性加權(quán)疊加而成的內(nèi)層部分和單邊死區(qū)算子線性加權(quán)疊加而成的外層部分串聯(lián)而成。Play算子的表達(dá)式為：

式中：x（t）為在單調(diào)區(qū)間t0≤t1≤…≤ti≤t≤ti+1≤…≤tN中的分段單調(diào)輸入信號，rh∈R+為算子的閾值，y0∈R為獨立的算子初值。

單邊死區(qū)算子的表達(dá)式為：

式中：rs∈R為單邊死區(qū)算子的閾值。

將play算子的線性加權(quán)疊加和單邊死區(qū)算子的線性加權(quán)疊加串聯(lián)，就得到MPI模型，表達(dá)為：

式中：wh＝［wh0，…，whn］T為play算子權(quán)值向量，rh＝［rh0，…，rhn］T為play算子閾值向量，y0＝［y01，…，y0n］T為play算子初始值向量，ws＝（ws－l，…，ws0，…，wsl）T為單邊死區(qū)算子權(quán)值向量，rs＝（rs－l，…，rs0，…，rsl）T為單邊死區(qū)算子閾值向量，其中-∞＜rs－l＜…＜rs0＝0＜…＜rsl＜+∞，H rh［.］為play算子向量，S rs［.］為單邊死區(qū)算子向量。

ARX模型是一種有理傳遞函數(shù)模型，用來表示線性動態(tài)部分，表達(dá)為：

式中：ε（t）為誤差項，A（z）＝1+a1z-1+…+anz-n，B（z）＝b0+b1z-1+…+bmz-m，z-1為單位延遲算子。ARX模型的傳遞函數(shù)為：

將MPI模型與ARX模型串聯(lián)，就得到GMA的Hammerstein模型：

1.3 模型的參數(shù)辨識與檢驗

辨識GMA的Hammerstein模型，辨識的精確度由均方根誤差和相對誤差表示，定義如下：

1 Hz下靜態(tài)遲滯非線性部分建模誤差RMSE和RE分別為0．4931和0．0238，可知MPI模型能夠較好地描述靜態(tài)遲滯非線性。ARX模型辨識得到的傳遞函數(shù)為：

分別給GMA以電流幅值為0．65A、頻率在1～100 Hz內(nèi)的單一頻率、復(fù)合頻率信號的輸入。GMA的輸出和Hammerstein模型的輸出如圖4所示，模型檢驗誤差見表1。

圖4 模型輸出和GMA輸出（虛線：MPI；雙劃線：Hammerstein；實線：GMA）Fig．4 Output ofmodel and GMA（dot：MPI；dashed：Hammerstein；solid：GMA）

表1 模型檢驗誤差Tab.1 Model validation error

由圖4和表1可知，相對于率無關(guān)的靜態(tài)MPI模型，Hammerstein模型能夠較為準(zhǔn)確地描述GMA的率相關(guān)遲滯非線性。

2 主動振動控制器設(shè)計

首先進(jìn)行靜態(tài)遲滯逆補償，即將MPI模型的逆串聯(lián)在GMA前端，以抵消靜態(tài)遲滯非線性，然后針對線性動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計。

遲滯逆補償在實現(xiàn)過程中會不可避免地存在誤差，并且由模型檢驗結(jié)果可知，所建Hammerstein模型與真實的GMA系統(tǒng)相比，存在建模誤差。因此，可以將逆補償誤差和建模誤差歸結(jié)于線性動態(tài)系統(tǒng)的模型不確定性，同時將GMA基座傳來的振動視為外部擾動，由此提出一種H∞魯棒振動控制方法，其原理見圖5。

圖5 H∞魯棒振動控制系統(tǒng)框圖Fig．5 The scheme of H∞r(nóng)obust active vibration control of GMA

圖5中，d為外部擾動；e為受控點傳感器輸出；K（z）為控制器；u為控制輸入；N（z）為MPI模型表示的GMA的靜態(tài)遲滯非線性部分；N-1（z）為MPI模型的逆；G＾（z）為GMA真實的線性動態(tài)部分；We（z）為性能加權(quán)函數(shù)陣；ze為控制性能加權(quán)的輸出。通過誤差加權(quán)函數(shù)We的選取，可以對輸出e在頻域上加權(quán)，以重點抑制所需頻帶上的外部擾動d。

一種改進(jìn)的基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波算法（自適應(yīng)濾波x-LMS算法），將之應(yīng)用于超磁致伸縮作動器的振動控制，取得了較好的效果，控制原理見圖6。但由于控制通道模型對系統(tǒng)的影響，以及超磁致伸縮作動器的率相關(guān)遲滯非線性，要對不同頻率的外部擾動信號進(jìn)行衰減，需要對不同頻率激勵下的控制通道進(jìn)行建模，以保證建模的精度，使系統(tǒng)收斂。為了使該方法能夠?qū)Ω鼘掝l率范圍內(nèi)的振動進(jìn)行控制，本文對該方法進(jìn)行改進(jìn)，用一個含有豐富頻率信息的正弦掃描信號激勵控制通道，由此得到控制通道的濾波器初值，然后采用自適應(yīng)濾波x-LMS算法對GMA進(jìn)行振動控制，并將之與H∞魯棒振動控制進(jìn)行比較。

圖6 基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法框圖Fig．6 Configuration of dual-filter-based adaptive filter x-LMS algorithm

圖6中，P1為被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)，P2為控制通道的傳遞函數(shù)，W和V分別為對這兩者的在線識別。f（k）為時刻k的控制信號，u（k）為輸入信號，e（k）為輸出誤差信號。

2.1 MPI模型的逆

當(dāng)MPI模型中的參數(shù)滿足一定的約束關(guān)系時，MPI模型具有解析逆，其逆模型的表達(dá)為：

式中：w′h和r′h為play算子的權(quán)值向量和閾值向量，w′s和r′s為單邊死區(qū)算子的權(quán)值向量和閾值向量，y′0為play算子的初始值向量。

2.2 模型不確定性

經(jīng)過靜態(tài)遲滯逆補償，實際控制對象GMA可以表示為具有加性不確定性的系統(tǒng)，即：

式中加性攝動Δm（z）滿足 Δm（z） ≤1，Wm（z）為模型不確定性的界，其連續(xù)形式為Wm（s）。

在0～100 Hz內(nèi)選擇1 Hz，2 Hz，3 Hz，…，10 Hz，15 Hz，…，95 Hz，100 Hz共28個頻率的正弦信號，以圖7中所示方式驅(qū)動GMA，得到各個頻率下穩(wěn)態(tài)誤差em的最大值Em。

圖7 穩(wěn)態(tài)誤差確定方法Fig．7 The error determination method

圖8 最大穩(wěn)態(tài)誤差em和Wm（s）Fig．8 Themaximum steady error emand Wm（s）

經(jīng)過靜態(tài)遲滯逆補償和模型不確定性界的確立，圖5所示控制結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖9。

圖9 帶有模型不確定性的控制結(jié)構(gòu)Fig．9 The control structure with model uncertainty

2.3 H∞魯棒控制器設(shè)計

反映了控制器抑制擾動的能力。于是可以將魯棒振動控制問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題［27－29］，見圖10，即設(shè)計輸出反饋控制器K（z），使得

式中：γ＞0。由式（20）設(shè)計的控制器K（z）應(yīng)在滿足式（18）的同時，盡可能減小式（19）。

為了實現(xiàn)在頻率100 Hz以內(nèi)的振動控制，性能加權(quán)函數(shù)We（s）選取為一階有理函數(shù)：

圖10 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制框圖Fig．10 The standard H∞configuration

基于式（16），式（14）以及式（22），使用Matlab函數(shù)dhfsyn，得到8階控制器K，降階為3階控制器Kr，表達(dá)為：

3 振動控制實驗

使用圖11、圖12所示的單自由度GMA主動振動隔振平臺，分別采用H∞魯棒振動控制方法和基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法進(jìn)行了振動控制實驗。實驗設(shè)備包括：GMA、基板、激振器、電渦流傳感器、功率放大器、dSPACE控制系統(tǒng)、工控機（IPC）。

系統(tǒng)的控制過程如下：

（1）信號發(fā)生器通過功率放大器驅(qū)動激振器產(chǎn)生振動；

（2）基板將振動傳遞給GMA，并使GMA上臺面產(chǎn)生上下振動；

（3）傳感器感知GMA上臺面位置變化，將位置變化通過A／D傳送給dSPACE控制系統(tǒng)；

（4）控制器生成控制信號，經(jīng)D／A和功率放大器傳送給GMA，使之產(chǎn)生相應(yīng)的伸長或縮短，抵消其上臺面的位置變化；

（5）傳感器將GMA上臺面位置變化通過A／D傳送給dSPACE控制系統(tǒng)；

重復(fù)以上過程，直到由GMA基座傳來的振動被衰減。

圖11 GMA振動控制框圖Fig．11 Vibration control diagram of GMA

圖12 振動控制實驗設(shè)備圖Fig．12 Experimental equipments of vibration control

減振效果采用減振百分比Pdamp和分貝值dB兩個指標(biāo)來描述：

式中：M1和M2分別為GMA上臺面在減振前和減振后5個周期振動位移的均方根。

3.1 H∞魯棒振動控制實驗

在H∞魯棒控制器的作用下，GMA的減振控制部分實驗曲線如圖13所示，其中10 Hz下控制信號在第1 s處施加給GMA，其余頻率下控制信號在0．5 s處施加給GMA。具體減振效果如表2所示。

圖13 H∞振動控制實驗結(jié)果Fig．13 Experimental results of H∞r(nóng)obust vibration control

表2 H∞振動控制實驗結(jié)果Tab.2 Experimental results of H∞r(nóng)obust vibration control

3.2 基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS振動控制實驗

以包含頻率0～100 Hz的正弦掃描信號激勵控制通道，得到控制通道的初始值V（0），然后采用自適應(yīng)濾波x-LMS算法進(jìn)行振動控制。在控制器的作用下，GMA的減振控制部分實驗曲線如圖12所示，其中控制信號在第0．5 s處施加給GMA。具體減振效果如表3所示。

圖14 自適應(yīng)濾波振動控制實驗結(jié)果Fig．14 Experimental results of adaptive filter vibration control

表3 自適應(yīng)濾波振動控制實驗結(jié)果Tab.3 Experimental results of adaptive filter vibration control

圖13、圖14和表2、表3可知，本文所提出的H∞魯棒振動控制方法可以保證系統(tǒng)的快速收斂和有效減振。該方法對頻率小于40 Hz的低頻振動控制效果明顯優(yōu)于基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法，而且H∞魯棒振動控制收斂速度也快于基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法。另外，在控制器開始作用之前，圖14中所示的振動幅值明顯小于圖13所示的振動幅值，這是因為基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS算法能夠控制的振動幅值比較小，幅值更大的振動會導(dǎo)致算法不收斂，這也證明了H∞魯棒振動控制方法的優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

使用Hammerstein模型對GMA的率相關(guān)遲滯非線性進(jìn)行建模，這一模型具有較好的頻率泛化能力，能夠在1～100 Hz頻率范圍內(nèi)對GMA的單一頻率和復(fù)合頻率輸入輸出關(guān)系進(jìn)行描述。

在這一模型的基礎(chǔ)上，本文提出了一種H∞魯棒振動控制方法。將這一控制方法應(yīng)用于GMA單自由度隔振平臺，可以在1～100 Hz的頻率范圍內(nèi)，將基座傳來的振動有效衰減，由此證明了所提控制方法的有效性。與基于雙濾波器的自適應(yīng)濾波x-LMS控制方法相比，本方法有效控制頻帶更寬，收斂速度更快，而且不需要對不同頻率激勵下的控制通道進(jìn)行重復(fù)建模。

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Experimental investigation on rate-dependent vibration control of giantmagnetostrictive actuators

GUO Yong-xin1，ZHANG Zhen1，WANG Zhen-yan1，ZHOU Ke-min2，3，MAO Jian-qin1
（1．School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China；2．School of Electrical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；3．School of Electrical Engineering and Computer Science，Louisiana State University，Baton Rouge 70803，USA）

The Hammerstein model was used to describe the rate-dependent hysteresis nonlinearity of giant magnetostrictive actuators（GMA）．A modified Prandtl-Ishlinskii（MPI）model and the autoregressive model with exogenous input（ARX）represent respectively the static nonlinear part and the linear dynamic part of the Hammerstein model．Based on the proposed model，a new H∞r(nóng)obust control method was proposed for vibration control．The experimental results on a one degree-of-freedom vibration isolation platform with a GMA demonstrate that the H∞r(nóng)obust controlmethod can attenuate 88%～92%of the vibration coming from the base in the frequency range of 1～100Hz in 1 vibration cycle，while the dual-filter-based adaptive filter x-LMSalgorithm converges to the steady state in about1 second，it can attenuate 90%～92%of the vibration in the frequency range of40～100Hz，but only 43%～74%in the frequency range of 10～30 Hz．Hence the proposed H∞r(nóng)obust vibration control method has a wider control band and a faster convergence rate compared to the dual-filter-based adaptive filter x-LMS algorithm，and does not require re-modeling the control channels under the excitation of different frequencies．

giant magnetostrictive actuator；rate-dependent hysteresis nonlinearity；Hammerstein model；active vibration control；H∞r(nóng)obust control；adaptive filter

TP29

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．010

國家自然科學(xué)基金重點項目（91016006，37714401）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金（30420111109，30420120305，SWJTU11ZT06）；高鐵聯(lián)合基金（U1134205）；新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室開放課題（LAPS13019）

2014－02－08 修改稿收到日期：2014－06－10

郭詠新男，博士生，1978年生

張臻男，博士，講師，1974年生