裴凱燕，郭龍飛，任紅萍

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

該問題的解析解為

利用插值型無單元Galerkin方法求解KdV-B方程

裴凱燕，郭龍飛，任紅萍

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

首先討論移動最小二乘插值法，并利用移動最小二乘插值法建立形函數(shù)，結(jié)合KdV-B方程的Galerkin積分弱形式，提出求KdV-B方程數(shù)值解的插值型無單元Galerkin方法(IEFG)，并推導(dǎo)其相應(yīng)的公式，跟無單元Galerkin方法相比，利用插值型無單元Galerkin方法計(jì)算時(shí)，本質(zhì)邊界條件可直接施加，從而可提高計(jì)算效率，并給出算例說明了該方法的有效性.

無網(wǎng)格方法;移動最小二乘插值法;形函數(shù);插值型無單元Galerkin方法(IEFG);KdV-B方程

無網(wǎng)格方法是繼有限元法之后發(fā)展起來的一種新型的數(shù)值計(jì)算方法，其因?yàn)椴恍枰獦?gòu)建網(wǎng)格，只需要節(jié)點(diǎn)信息來建立變量的逼近函數(shù)，所以具有前期處理簡單，計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，目前已經(jīng)是計(jì)算科學(xué)的研究熱點(diǎn)之一［1-2］.

現(xiàn)有的無單元 Galerkin方法［3］、重構(gòu)核粒子法［4］、無網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin 方法［5］、配點(diǎn)法［6］、徑向基函數(shù)法［7］、復(fù)變量無網(wǎng)格方法［8］、局部邊界積分方程法［9］、邊界徑向點(diǎn)插值法［10］、邊界無單元法［11］等，這些均屬于無網(wǎng)格方法.

在構(gòu)建無網(wǎng)格方法的形函數(shù)的過程中，移動最小二乘法是運(yùn)用最廣的方法之一，在它的基礎(chǔ)上，Belystschko等人提出了無單元 Galerkin方法(EFG)［3］，Liew等人提出了改進(jìn)的移動最小二乘法，張贊等人又基于改進(jìn)的移動最小二乘法，對無單元Galerkin方法進(jìn)行了改進(jìn).

為提高無網(wǎng)格方法的計(jì)算速度，Liew、任紅萍等人在移動最小二乘近似的基礎(chǔ)上，考慮了復(fù)變量的情況，建立了復(fù)變量移動最小二乘法［12］、復(fù)變量移動最小二乘插值法［13］、復(fù)變量邊界無單元法、復(fù)變量無單元Galerkin方法等.

由于通過移動最小二乘法求得的形函數(shù)不能夠滿足Kronecker δ函數(shù)的性質(zhì)，定解問題的邊界條件不能夠直接施加，計(jì)算效率低，故對其進(jìn)行了改進(jìn)，即Lancaster提出的移動最小二乘插值法.之后，任紅萍等人提出改進(jìn)的移動最小二乘插值法［14］，并對無單元Galerkin方法作了相應(yīng)的研究和改進(jìn)［15］.

KdV-B方程是一類非線性偏微分方程，它是由Burgers方程和Korteweg-de Vries(KdV)方程相結(jié)合而成［16］.KdV-B方程來源于很多物理現(xiàn)象，比如潛水波的傳播、波在填充有粘性流體的彈性管里的傳播和弱非線性等離子波的耗散效應(yīng).因此求解KdV-B方程的重要性和實(shí)際意義就凸顯而出.

1 插值型無單元Galerkin方法形函數(shù)的構(gòu)造方法:移動最小二乘插值法

在移動最小二乘近似中，設(shè)被近似函數(shù)為u(x)，(x∈D)，且在xi處的值是給出的，記為ui=u(xi)，(i=1，2，…，n).

u(x)的近似函數(shù)可以寫成如下形式:

在上式中，pi(x)，i=1，2，…，m，是單項(xiàng)式基函數(shù);ai(x)是對應(yīng)基函數(shù)的系數(shù).

定義如下函數(shù):

其中，xI，(I=1，2，…，n)，J分別是點(diǎn)x的影響域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)誤差值的加權(quán)平方和，w(dI)是關(guān)于x和xI間的距離單調(diào)遞減的權(quán)函數(shù)，具有緊支集特性.

式(2)寫成矩陣形式為:

其中

令Ja=0，我們得到

其中矩陣A(x)和B(x)分別為

由式(8)可以得到

逼近函數(shù)uh(x)的表達(dá)式為

這里Φ(x)稱為形函數(shù)，

式(12)中的uh(x)不經(jīng)過插值節(jié)點(diǎn)，現(xiàn)在建立插值型移動最小二乘法.

在空間span(p1，p2，…，pm)，我們定義如下內(nèi)積

相應(yīng)定義范數(shù)為

在x點(diǎn)基函數(shù)p1(x)≡1單位化為

采用新的基函數(shù)b(1)x(x)，b(2)x(x)，…，b(m)x(x)和在節(jié)點(diǎn)奇異的權(quán)函數(shù)

其中r是影響域的半徑，得到的形函數(shù)ΦI(x)，(I=1，2，…，n)，滿足 Kronecker δ函數(shù)的性質(zhì)，即

至此我們提出了移動最小二乘插值法，其插值特性在［13］中已經(jīng)被證明.

2 KdV-B方程的插值型無單元Galerkin方法

KdV-B方程形式如下

其中 ε，λ，γ，和 μ 是參數(shù)，角標(biāo)x和t表示對x，t的微分.

初始條件為

邊界條件為

那么式(20)的積分弱形式為

通過分部積分法，我們得到

通過式(12)，得

其中

把式(25)-(33)代入式(24)，得

由δUT(t)的任意性，上式可以寫成如下形式

其中

通過中心差分法我們把式(34)中的時(shí)間變量離散化，得到

其中，Δt是時(shí)間步長，并且

用以下公式就可以把式(39)中的非線性項(xiàng)(uux)n+1和(u2ux)n+1線性化

于是，有

因?yàn)?/p>

我們有

把式(44)-(46)代入式(39)，得

式(47)可以寫作

其中

以上過程即為KdV-B方程的插值型無單元Galerkin方法.

3 數(shù)值算例

以下給出兩個(gè)算例來說明插值型無單元Galerkin方法的有效性，并對其數(shù)值結(jié)果分別與解析解和無單元Galerkin方法的數(shù)值解進(jìn)行了比較.

相對誤差公式為

算例中，我們選用了二次基函數(shù) (1，x，x2)和權(quán)函數(shù)(18).

3.1 算例1

KdV-B方程

邊界條件為

初始條件為

該問題的解析解為

這個(gè)算例中，在定義域上均勻分布21個(gè)節(jié)點(diǎn)，圖1為IEFG方法的數(shù)值解與解析解在t=0.005時(shí)刻的比較，圖2為IEFG方法、無單元Galerkin方法的數(shù)值解與解析解在t=0.01時(shí)刻的比較，可以看到插值型無單元Galerkin方法的數(shù)值解與解析解吻合的很好.圖3為相對誤差和時(shí)間步長的關(guān)系，時(shí)間步長越小相對誤差也越小.

3.2 算例2

KdV-B方程

邊界條件為

初始條件為

其中

該問題的解析解為

算例中，在定義域上均勻分布81個(gè)節(jié)點(diǎn).圖4為IEFG方法的數(shù)值結(jié)果與解析解在t=0.025時(shí)刻的對比.圖5為IEFG方法、無單元Galerkin方法的數(shù)值結(jié)果和解析解在t=0.01時(shí)刻的比較.圖6為相對誤差與節(jié)點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系.表1為EFG方法和IEFG方法在t=0.01時(shí)刻的相對誤差，由表格也可以看出IEFG方法比EFG方法有更高精度.圖7為運(yùn)行時(shí)間和迭代次數(shù)之間的關(guān)系，觀察發(fā)現(xiàn)插值型無單元Galerkin方法比無單元 Galerkin方法節(jié)約了大約30%-50%的計(jì)算時(shí)間.

4 結(jié)論

本文給出了一種由改進(jìn)的移動最小二乘插值法所得的形函數(shù)與KdV-B方程的Galerkin積分弱形式相結(jié)合得到KdV-B方程的插值型無單元Galerkin方法，由于移動最小二乘插值法的形函數(shù)滿足Kronecker δ函數(shù)的性質(zhì)，KdV-B方程的IEFG方法可以直接施加本質(zhì)邊界條件.數(shù)值結(jié)果表明IEFG方法使得計(jì)算精度有所提高，并且計(jì)算效率有了明顯提高.插值型無單元Galerkin方法比無單元Galerkin方法節(jié)約了大約30%-50%的計(jì)算時(shí)間.

圖1.t=0.005時(shí)刻的解析解與IEFG數(shù)值解Fig.1.Exact solution and numerical results of u(x，0.005)

圖2 t=0.01時(shí)刻的解析解與IEFG、EFG數(shù)值解Fig.2 Exact solution and numerical results of u(x，0.01)

圖3 相對誤差與時(shí)間步長的關(guān)系Fig.3 Relationship between the relative error and time step

圖4 t=0.025時(shí)刻的解析解與IEFG數(shù)值解Fig.4 Exact solution and numerical results of u(x，0.025)

圖5 t=0.01時(shí)刻的解析解與IEFG、EFG數(shù)值解Fig.5 Exact solution and numerical results of u(x，0.01)

圖6 t=0.01時(shí)刻的相對誤差與節(jié)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系Fig.6 Relationship between the relative

圖7 迭代次數(shù)和運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系Fig.7 Relationship between the running time and the number of iterations

表1 t=0.01時(shí)刻的IEFG、EFG方法的相對誤差Table 1 The relative error of EFG method and IEFG method at t=0.01

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Interpolating element-free Galerkin method for the compound KdV-B equation

PEI Kai-yan，GUO Long-fei，REN Hong-ping
(School of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，P.R.C.)

An interpolating moving least squares method is discussed first.Combining the shape function constructed by the IMLS method and Galerkin weak form for the compound KdV-B equation，the interpolating element-free Galerkin(IEFG)method for the compound KdV-B equation is put forward，and the corresponding formulae are obtained.Compared with the conventional EFG method，in the IEFG method，the boundary conditions can be directly applied.Numerical results show that it not only has high computational accuracy，but also enhances computational efficiency greatly.

meshless method;interpolating moving least squares method;shape function;interpolating element-free Galerkin(IEFG)method;KdV-B equation

O24

A

2095-4271(2015)06-0748-06

10.11920/xnmdzk.2015.06.018

2015-03-15

裴凱燕(1990-)，女，漢族，山西人，碩士研究生，研究方向:微分方程與工程數(shù)值計(jì)算

任紅萍(1966-)，女，漢族，山西人，教授，博士，研究方向:工程數(shù)值計(jì)算.E-mail:hpren@tyust.edu.cn

山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014011006-2);太原科技大學(xué)博士研究基金項(xiàng)目(No.20102024);太原科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(No.20145010)

(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏;英文編輯:周序林)