孟琳琳

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451150）

1 微分方程的相關(guān)基本定義

微分方程指的是由未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式兩邊成立的函數(shù).微分方程具有十分廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中許多涉及到動(dòng)態(tài)的變化量的研究常用到微分方程.包括涉及到變力的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)等，例如受到空氣阻力的落體運(yùn)動(dòng)都可以利用微分方程進(jìn)行求解.

圖1 微分方程的坐標(biāo)圖

當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系等式即為一類(lèi)微分方程，也稱(chēng)常微分方程.當(dāng)未知函數(shù)為多元函數(shù)時(shí)，未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系等式稱(chēng)為偏微分方程.微分方程的數(shù)學(xué)模型如圖1.

2 一類(lèi)微分方程的解與不動(dòng)點(diǎn)

假設(shè)某一類(lèi)微分方程形式為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左邊部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy為某個(gè)二元函數(shù)T(x,y)的全微分，則可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為全微分方程，二元函數(shù)T(x,y)為該全微分方程的原函數(shù).

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0進(jìn)行通積分，可得到全微分的通積分T(x,y)=A，其中A為任意的常數(shù)[1].

假若M(x,y)dx+N(x,y)dy=0中的M(x,y)和N(x,y)在B：|x-x0|≤a，|y-y0|≤b形成的矩形范圍內(nèi)連續(xù)并且可微，則微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程的充分且必要條件是)在實(shí)數(shù)集R內(nèi)成立，并且還滿(mǎn)足

因?yàn)閥=y（x）是微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的解，所以M(x,y(x))dx+N(x,(x))dy(x)=0，又因?yàn)門(mén)(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的原函數(shù)，所以dT(x,y(x))=0，所以T(x,y)=A.所以M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的任意解y=y（x）均能使T(x,y)=A[2].

又因?yàn)閥=y（x）是T(x,y)=A方程的解，所以存在一個(gè)常數(shù)A使T(x,y(x))=A.通過(guò)對(duì)x進(jìn)行微分，同時(shí)由T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的原函數(shù)的性質(zhì)得到dT(x,y(x))=M(x,y(x))dx+N(x,(x))dy(x)=0=0，所以y=y（x）是微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的解.所以T(x,y)=A的任意解均是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的解.

藤尾追求高尚的文學(xué)，想與博學(xué)多識(shí)的小野交往，常常與小野一起交流文學(xué)。她蔑視宗近的妹妹絲子的賢妻良母的意識(shí)，敢于放棄封建的女性意識(shí)。直接向小野表示自己喜歡小野。

假設(shè)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，則存在一個(gè)原函數(shù)T(x,y)使得(x,y)dx+N(x,y)dy，對(duì))兩式分別對(duì)y和x求偏導(dǎo)數(shù)得到和，又因?yàn)镸(x,y)，N(x,y)在R上連續(xù)并且可微，所以，即

3 一類(lèi)微分方程解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)

定義1 若x1，x2，…（|xj|＝rj，0＜r1＜r2＜…）為亞純函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則+∞}稱(chēng)為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)的收斂指數(shù)顯然有τ（f）=

假設(shè)u（x）是亞純函數(shù)，且ρ（u）＜β＜＋∞，Γ=｛（k1，j1），（k2，j2），…，（km，jm）｝，均表示不同整數(shù)對(duì)的有限集合，并且滿(mǎn)足ki＞ji≥0（i=1，2，…，m），對(duì)于任意給定的正常數(shù)ε，那么存在（1，+∞）的有限對(duì)數(shù)測(cè)度有限的子集E，對(duì)所有x滿(mǎn)足|x|=r[0，1]∪E和（k，j）∈Γ 有

假設(shè)T（x）是有限級(jí)超越亞純函數(shù)，微分方程f（k）（x）+T（x）f（x）=0（k≥2）存在非零亞純解f（x）.

令w（x）=f（x）-x，則λ'2（f）＝=0，其中Rj（A）（j=1,2,…,2k-1）是關(guān)于w的微分多項(xiàng)式，系數(shù)形式為cx，c為常數(shù)，不要求Rj（A）每次出現(xiàn)都一樣.其中N獨(dú)立同分布.

證明 對(duì)w=f-z求k-1次導(dǎo)數(shù)并通過(guò)方程f（k）+Tf=0可得w（k+1）=-Tf'-T'f，從而得到f=w+x=0.

假設(shè)A(z)為有限級(jí)超越亞純函數(shù)，微分方程f(k)（x）＋T（x）f（x）=0（k≥2）存在非零亞純解f（x）.令w（x）=f'（x）-x，則Tw(k)-T'w(k-1)+T2w+T2x-T'x(k-1)=0.對(duì)w=f'-x求k次導(dǎo)數(shù)并結(jié)合方程f(k)+Tf=-可得w(k)=-Tf'-T'f，所以有將f和對(duì)f'求k-1次導(dǎo)數(shù)后代入f（k）+Tf=0并整理得Tw（k）-T'w(k-1)+T2w+T2x-T'x(k-1)=0由Clunie 引理知T2x-T'x(k-1)不恒等于零[6].

假設(shè)T（x）和F（x）是有限級(jí)超越亞純函數(shù)，微分方程f（k）+T（x）f＝F（x）（k≥2）存在非零亞純解f（x）.

如果F（x）≠xA（x），則對(duì)于方程f（k）＋T（x）f＝F（x）的非零亞純解f（x）有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且τ（f）＝σ（f）＝＋∞和τ2（f）＝σ2（f）＝σ 至多有一個(gè)例外解f0（z）.

如果TF′－T′F＋T′x（k－1）－TT′x≠0，則對(duì)于方程f（k）＋T（x）f＝F（x）的非零亞純解f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且τ（f′）＝σ（f）＝＋∞和τ2（f′）＝σ2（f）＝σ 至多有一個(gè)例外解f0（x）.

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次數(shù)為k 的多項(xiàng)式,則對(duì)于方程非零亞純解f（x）的k－1 階導(dǎo)數(shù)f（k-1）（x）有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ 至多有一個(gè)例外解f（x）.

4 一類(lèi)微分方程解與解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)關(guān)系

假設(shè)函數(shù)f(x)為亞純函數(shù)，且σ(f)=σ＜+∞，那么對(duì)于坌ε＞0，都存在有限對(duì)數(shù)測(cè)度的集合M奐(1，+∞)，使所有滿(mǎn)足的x，當(dāng)γ→+∞時(shí)，存在|f(x)|≤exp{γσ+ε}[7].

假設(shè)多項(xiàng)式g(x)=（an+ibn）xn+（an-1+ibn-1）xn-1+…+（a1+ib1）x+（a0+ib0），其中aj，bj（j=1,2，…，n）是實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，n為大于等于1的整數(shù)，T(x)是不恒為0的亞純函數(shù)，σ（T）＜n.令p(a)=T(x)eg(x)，x=γeiθ，δ（g，θ）=αcosnθ-βsinnθ，如果，都存在線(xiàn)測(cè)度為零的集合M1奐[0,2π）,滿(mǎn)足∈[0,2π)-(M1∪M2),存在R＞0，使對(duì)|x|=γ＞R 有：

（1）如果δ（g，θ）＞0，則有exp（（1-ε）δ（g，θ）γn）≤|g(γeni)|≤exp（（1+ε）δ（g，θ）γn）.

（2）如果δ（g，θ）＞0，則有exp（（1+ε）δ（g，θ）γn）≤exp（（1-ε）δ（g，θ）γn）.其中M2={θ∈[0,2π）；δ（g，θ）=0}是有限集.

假設(shè)T0，T1，…，Tn-1（n≥1）是不完全恒等于0的有限級(jí)亞純函數(shù)，且σ（Tj）＜n，Gj（x）=ajnxn+aj（n-1）xn-1+…aj1x+aj0x 為n次多項(xiàng)式，其中ajn（j=0，1，2，…，kl；m=0，1，2，…，n)為復(fù)常數(shù)，且滿(mǎn)足ajn=cja0n(o

通過(guò)對(duì)微分方程進(jìn)行方程假設(shè)和窮級(jí)轉(zhuǎn)換，在非零亞純函數(shù)的變化下，通過(guò)極點(diǎn)等數(shù)據(jù)方程轉(zhuǎn)化，構(gòu)建微分方程的等式典型乘積或通過(guò)多項(xiàng)式建立，對(duì)方程等式進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.在對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合條件中，通過(guò)范圍假設(shè)，引理帶入運(yùn)算，建立相應(yīng)的解集表達(dá)式.通過(guò)微分方程的解集表達(dá)式，進(jìn)行方程式的解集求導(dǎo)，獲取一類(lèi)微分方程的解的一階導(dǎo)數(shù).對(duì)解集等式和解集一階導(dǎo)數(shù)式進(jìn)行變形，并代入上述引理等式中，通過(guò)變形轉(zhuǎn)化和數(shù)據(jù)假設(shè)推斷，從而得到不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系等式.

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，通過(guò)對(duì)一類(lèi)微分方程進(jìn)行求解和解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系研究，指出受微分方程的制約影響，一類(lèi)微分方程的不動(dòng)點(diǎn)密度與解和解的導(dǎo)數(shù)情況有著密切的關(guān)系.對(duì)一類(lèi)微分方程的解進(jìn)行分析以及解的導(dǎo)數(shù)情況進(jìn)行分析，從而分析一類(lèi)微分方程解與解的導(dǎo)數(shù)與微分方程不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，從而更好地幫助我們進(jìn)行微分方程的學(xué)習(xí)以及高階層微分方程的研究，從而將微分方程的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到更多的領(lǐng)域，幫助各領(lǐng)域研究人員進(jìn)行動(dòng)態(tài)量的研究，從而提高各領(lǐng)域的應(yīng)用水平的發(fā)展以及社會(huì)技術(shù)的發(fā)展和提高.目前，我們對(duì)于一類(lèi)微分方程的解與解的導(dǎo)數(shù)和微分方程不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系研究還不深入，因此希望后期更多研究者對(duì)微分方程進(jìn)行更加深入的探討和研究.

〔1〕金瑾,石寧生.一類(lèi)微分方程的解及其解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(22):185-190.

〔2〕石東洋,劉玉曉.一類(lèi)微分方程的非協(xié)調(diào)元超逼近性分析[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2010,38(3):175-178.

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