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        結(jié)合總體最小二乘的自適應(yīng)抗差濾波算法

        2015-05-18 01:57:08崔先強(qiáng)宋迎春
        科技視界 2015年24期

        劉 青 崔先強(qiáng) 宋迎春

        (中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙410083)

        0 引言

        在動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位中,由于受到電離層、對(duì)流層、衛(wèi)星軌道以及載體受大氣摩擦和本身機(jī)動(dòng)等因素的影響,觀測(cè)噪聲和系統(tǒng)噪聲一般都為時(shí)間相關(guān)的有色噪聲。而標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波則要求觀測(cè)噪聲和系統(tǒng)噪聲為互不相關(guān)的高斯白噪聲,如在有色噪聲條件下繼續(xù)使用標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波必將會(huì)大大降低狀態(tài)參數(shù)估值的精度和可靠性,嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散。為了解決這一問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種控制有色噪聲影響的算法,主要有矩陣增廣[1-3]和函數(shù)模型擬合[4-5],后來(lái),楊元喜等人又提出了一系列的自適應(yīng)抗差濾波算法[6-10]。以上這些算法都能有效地減弱或控制有色噪聲的影響,提高動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位的精度和可靠性,尤其是自適應(yīng)抗差濾波,不僅能夠控制有色噪聲的影響,而且能夠同事抵制觀測(cè)和動(dòng)力學(xué)模型異常的影響。

        在實(shí)際的數(shù)據(jù)處理過(guò)程中發(fā)現(xiàn),使用狀態(tài)預(yù)報(bào)值計(jì)算出的觀測(cè)方程系數(shù)矩陣往往會(huì)存在一定的偏差,這是因?yàn)檩d體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)總是在不斷變化中,使得預(yù)先給出的動(dòng)力學(xué)模型無(wú)法精確地描述載體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。此時(shí),如果直接忽略觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差的影響,必將會(huì)在一定程度上降低濾波結(jié)果的精度和可靠性。針對(duì)這種觀測(cè)方程系數(shù)矩陣存在偏差的情況,20世紀(jì)80年代總體最小二乘(total least squares,TLS)方法得以提出,該方法是一種能同時(shí)顧及觀測(cè)值誤差和模型系數(shù)矩陣偏差的數(shù)學(xué)方法,是最小二乘的擴(kuò)展,在系數(shù)矩陣存在偏差時(shí),總體最小二乘解比最小二乘解更為真實(shí)可靠。關(guān)于TLS的研究最早可以追溯到19世紀(jì),1877年Adcock[11]研究單變量直線擬合問(wèn)題。隨后,Pearson[1 2]、 Koopmans[13]、Madansky[14]和 York[15]等人均對(duì)其進(jìn)行了研究和拓展。到1980年Golub和Van Loan才從數(shù)值分析的觀點(diǎn)首次對(duì)這種方法進(jìn)行了整體分析,并正式稱(chēng)之為整體最小二乘[16]。此后,由于奇異值分解(singular value decomposition,SVD)的引入以及越來(lái)越多的應(yīng)用領(lǐng)域需要顧及系數(shù)矩陣偏差,許多學(xué)者對(duì)總體最小二乘進(jìn)行了更為深入的研究[17-20]。近幾年來(lái),測(cè)繪學(xué)科內(nèi)的許多學(xué)者也開(kāi)始了對(duì)總體最小二乘的研究,并在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中得到了成功應(yīng)用[21-24]。

        但是,現(xiàn)有的研究成果基本上都是針對(duì)單一存在有色噪聲或觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差而進(jìn)行的,而在動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位中有色噪聲和系數(shù)矩陣偏差往往同時(shí)存在?;诖?,本文嘗試將現(xiàn)有的總體最小二乘方法和自適應(yīng)抗差濾波算法相結(jié)合,以便能夠同時(shí)減弱或控制有色噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差的影響,提高動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位的精度和可靠性。

        1 自適應(yīng)抗差濾波

        在動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位中,標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的函數(shù)模型表示如下:

        其中,Lk為觀測(cè)向量;Ak為觀測(cè)設(shè)計(jì)矩陣;Xk為歷元k時(shí)刻的狀態(tài)向量;Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;vk,ωk分別為觀測(cè)噪聲和狀態(tài)噪聲。

        式中X?k-1指的是第tk-1歷元的狀態(tài)參數(shù)向量估值。因此,在tk歷元狀態(tài)預(yù)測(cè)信息向量和觀測(cè)向量的誤差方程可寫(xiě)為:

        式中Vk為觀測(cè)殘差向量,X?k為tk第歷元的狀態(tài)參數(shù)估值,Σk和Pk分別為觀測(cè)向量的協(xié)方差矩陣和權(quán)矩陣,為狀態(tài)預(yù)測(cè)向量的權(quán)矩陣。

        自適應(yīng)抗差濾波原則為[25]:

        自適應(yīng)抗差濾波的解向量為:

        其中,c0和c1的取值范圍分別為1.0~1.5和3.0~4.5。統(tǒng)計(jì)量為:

        式中的c0和c1取值可與式(9)中相同。

        2 總體最小二乘算法求解系數(shù)矩陣偏差

        為了能在自適應(yīng)抗差濾波的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高狀態(tài)參數(shù)估值的精度,必須先將觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差求解出來(lái)。因此,我們先用總體最小二乘算法求解出觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差EA,并對(duì)觀測(cè)方程系數(shù)矩陣進(jìn)行修正。

        總體最小二乘問(wèn)題有多種解法,本文中采用一種常見(jiàn)的迭代解法[28]。

        當(dāng)系數(shù)矩陣Ak存在偏差時(shí),觀測(cè)方程應(yīng)改寫(xiě)為[29]:

        若觀測(cè)向量殘差為V?k,同時(shí)系數(shù)矩陣 Ak的偏差為E?A,則上式的誤差方程可寫(xiě)為:

        式中,In和 It分別為 n 和 t階單位矩陣,vec(EA)是將矩陣 EA按列拉直得到的列向量化函數(shù),vec(EA)∈R(n×t)×1;?表示克羅內(nèi)克(Kronecker)積。

        總體最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則為:

        其中 K 為拉格朗日乘數(shù)。為求 Ф 的極小值,將其分別對(duì)V?k、vec(E?A)和X?k求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零:

        由上式可見(jiàn),γ是最小特征值,參數(shù)的總體最小二乘解是在γ=V?Tk V?k+vec(E?A)Tvec(E?A)=min≥0 時(shí)的特征向量[30]。 因此,由式(25)可得:

        上式即為參數(shù)的總體最小二乘解,采用迭代求解。

        計(jì)算步驟為:

        由以上迭代計(jì)算得出參數(shù)估值X?k后,回代(22)式即可計(jì)算出系數(shù)矩陣偏差EA的值。

        3 結(jié)合總體最小二乘的自適應(yīng)抗差濾波算法

        在GNSS導(dǎo)航定位中,我們常常會(huì)遇到觀測(cè)噪聲和動(dòng)力學(xué)模型噪聲為有色噪聲且觀測(cè)系數(shù)矩陣存在偏差的情況,而現(xiàn)有的濾波算法并不能同時(shí)顧及有色噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差影響,這在一定程度上降低了導(dǎo)航定位結(jié)果的精度和可靠性,在實(shí)際的導(dǎo)航定位數(shù)據(jù)處理中不容忽視。這里,我們將把總體最小二乘和自適應(yīng)抗差濾波相結(jié)合,以便能同時(shí)減弱或消除有色噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差的影響。

        式中各符號(hào)意義與(1)和(2)式相同。

        在組成了新的系數(shù)矩陣和觀測(cè)方程后,我們可以用新的函數(shù)模型按自適應(yīng)抗差濾波算法計(jì)算狀態(tài)參數(shù)估值,這樣就能夠同時(shí)控制有色噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差的影響了。

        4 計(jì)算與比較

        本文對(duì)一組機(jī)載動(dòng)態(tài)GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,該組數(shù)據(jù)于1996年9月20日由兩臺(tái)Trimble4000SSE型接收機(jī)采集,其中一臺(tái)固定在參考站,一臺(tái)安置于飛機(jī)上。飛機(jī)的初始位置距離固定參考站約1公里,經(jīng)過(guò)10分鐘的初始化后起飛,飛行時(shí)間持續(xù)約90分鐘。

        我們使用高精度的載波相位雙差解作為參考值,以便對(duì)濾波結(jié)果進(jìn)行比較和分析,使用C/A碼雙差觀測(cè)值進(jìn)行濾波結(jié)算,其結(jié)果與參考值進(jìn)行比較。濾波模型采用常速度模型,位置、速度和C/A碼的初始方差分別為 0.2 m2,、10-4m2·s-2和 1m2,速度的譜密度取為 5×10-3m2·s-3。狀態(tài)模型方差—協(xié)方差與文獻(xiàn)[31]中相同。

        采用以下四種方案進(jìn)行比較分析:

        方案1:標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波;

        方案2:結(jié)合總體最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波;

        方案3:自適應(yīng)抗差濾波;

        方案4:結(jié)合總體最小二乘的自適應(yīng)抗差濾波。

        計(jì)算結(jié)果如圖1~4和表1,圖中只給出了X軸方向的結(jié)果,Y軸和Z軸方向的結(jié)果與X軸方向類(lèi)似。

        圖1 標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波Fig.1 Standard Kalman filtering

        圖2 結(jié)合總體最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波Fig.2 Standard Kalman filtering combined with Total Least Squares

        圖3 自適應(yīng)抗差濾波Fig.3 Adaptively robust filtering

        圖4 結(jié)合總體最小二乘的自適應(yīng)抗差濾波Fig.4 Adaptively robust filtering combined with Total Least Squares

        表1 四種方案均方根誤差(RMS)/mTab.1 Root Mean Squares Error of Four Plans

        由以上圖表可得出以下結(jié)論:

        (1)由圖1、2可知,在飛機(jī)的飛行過(guò)程中有兩處明顯的非平穩(wěn)擾動(dòng)狀態(tài),一處在800歷元附近,另一處在3000~3500歷元之間,即飛機(jī)起飛和轉(zhuǎn)彎時(shí)。這兩處比較大的擾動(dòng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波和結(jié)合總體最小二乘的Kalman濾波都有很顯著的影響,這也說(shuō)明結(jié)合總體最小二乘的Kalman濾波并不具有抵制動(dòng)態(tài)擾動(dòng)異常的能力。

        (2)比較表1中方案1和方案2的結(jié)果可知,經(jīng)過(guò)總體最小二乘方法改正觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差后,標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的精度有一定的提高。這就說(shuō)明觀測(cè)系數(shù)矩陣確實(shí)是存在偏差的,并且使用總體最小二乘方法能夠較好地改正這種偏差。

        (3)將方案3和方案2的結(jié)果相比較可以發(fā)現(xiàn),自適應(yīng)抗差濾波的結(jié)果比結(jié)合總體最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的結(jié)果要好,而且整個(gè)濾波圖形比較平穩(wěn),這是因?yàn)樽赃m應(yīng)抗差濾波不僅通過(guò)觀測(cè)等價(jià)權(quán)控制了觀測(cè)異常的影響,而且通過(guò)自適應(yīng)因子調(diào)整了動(dòng)力學(xué)模型信息對(duì)狀態(tài)參數(shù)估值的貢獻(xiàn)。同時(shí)也說(shuō)明了,本算例中有色噪聲和異常對(duì)濾波精度的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差。

        (4)表1中方案4的結(jié)果要稍好于方案3,這說(shuō)明在經(jīng)過(guò)總體最小二乘改正觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差后,自適應(yīng)抗差濾波結(jié)果的精度仍然有一定的提高。這說(shuō)明結(jié)合總體最小二乘的自適應(yīng)抗差濾波不僅能改正觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差,而且能夠控制有色噪聲及異常的影響,新方法的可行性和有效性得到了驗(yàn)證。

        5 結(jié)束語(yǔ)

        在動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位中,常常會(huì)遇到觀測(cè)噪聲和動(dòng)力學(xué)模型噪聲都為有色噪聲,且觀測(cè)方程系數(shù)矩陣存在偏差的情況,數(shù)據(jù)處理時(shí)無(wú)論是忽略有色噪聲還是觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差的影響,都將會(huì)降低導(dǎo)航定位的精度和可靠性。因此,實(shí)際的數(shù)據(jù)處理中有色噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差都不容忽視。本文提出的結(jié)合總體最小二乘的自適應(yīng)抗差濾波算法,不僅使用總體最小二乘方法改正了觀測(cè)系數(shù)矩陣偏差,而且通過(guò)自適應(yīng)抗差濾波控制有色噪聲和異常的影響,能夠進(jìn)一步提高動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位的精度和可靠性。

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