王英杰，時(shí)瑾，魏慶朝

(1.北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044;2.北京交通大學(xué)軌道工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

單車過橋下彈性車體共振與消振現(xiàn)象分析

王英杰1，2，時(shí)瑾1，2，魏慶朝1，2

(1.北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044;2.北京交通大學(xué)軌道工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

為研究彈性車體振動(dòng)對(duì)車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)影響，將車體視為兩端自由的均質(zhì)等截面歐拉梁、轉(zhuǎn)向架及輪對(duì)視為剛體，利用模態(tài)疊加法考慮簡(jiǎn)支梁變形，用輪軌密貼接觸假設(shè)建立單車通過多跨簡(jiǎn)支梁的車橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，并用Newmark－β數(shù)值積分法求解系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。以一系列正弦不平順為系統(tǒng)激勵(lì)，研究不平順激擾下彈性車體共振與消振現(xiàn)象。結(jié)果表明，彈性振動(dòng)主要改變車體的振動(dòng)量，對(duì)橋梁振動(dòng)反饋?zhàn)饔幂^小;彈性車體共振被激發(fā)時(shí)其動(dòng)力響應(yīng)被顯著放大，共振速度由車輛定距與車體彈性自振頻率決定;因存在軸距濾波，當(dāng)不平順波長(zhǎng)滿足彈性車體消振發(fā)生條件時(shí)車體動(dòng)力響應(yīng)被顯著抑制。

高速鐵路;車橋系統(tǒng);彈性車體;共振與消振

隨高速鐵路迅速發(fā)展及列車車速的不斷提高，車橋耦合振動(dòng)愈受關(guān)注［1－3］。列車通過橋梁時(shí)因其荷載作用橋梁作受迫振動(dòng)，而橋梁的振動(dòng)行為又會(huì)反饋給車輛，從而影響車輛的振動(dòng)。目前對(duì)車橋耦合系統(tǒng)共振研究已取得一系列研究成果。Yang等［4－5］首次將列車荷載視為兩等間距子荷載列組合，用解析方法研究高速鐵路簡(jiǎn)支梁共振(Resonance)、消振(Cancellation)現(xiàn)象。將兩端彈簧支承簡(jiǎn)支梁振型函數(shù)近似視為正弦函數(shù)與剛體位移疊加，用解析法研究移動(dòng)荷載作用下兩端彈性支承簡(jiǎn)支梁的共振、消振現(xiàn)象。Yau［6］用解析、數(shù)值相結(jié)合方法研究移動(dòng)荷載作用下多跨連續(xù)梁的振動(dòng)響應(yīng)，認(rèn)為梁跨數(shù)目越多所受沖擊作用越小。Wang等［7－8］將車輛視為兩自由度移動(dòng)懸吊質(zhì)量，研究?jī)煽邕B續(xù)梁的主共振、次共振現(xiàn)象，認(rèn)為兩跨連續(xù)梁存在2個(gè)主共振，共振現(xiàn)象與前2階自振頻率有關(guān)，而次共振與結(jié)構(gòu)高階模態(tài)有關(guān)。Xia等［9－12］從理論分析、數(shù)值模擬及試驗(yàn)分析三方面出發(fā)，研究列車作用下簡(jiǎn)支梁共振機(jī)理及發(fā)生條件，并推導(dǎo)出移動(dòng)荷載列車通過簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)響應(yīng)理論解，獲得簡(jiǎn)支梁發(fā)生共振及兩類消振響應(yīng)的車速計(jì)算式。以上研究所用車輛模型較簡(jiǎn)單，對(duì)車輛振動(dòng)尤其彈性車體共振較少涉及。

本文考慮單個(gè)高速鐵路車輛通過簡(jiǎn)支梁，研究不平順激擾下彈性車體共振與消振現(xiàn)象。為考慮車體彈性振動(dòng)對(duì)車體響應(yīng)影響，在車橋耦合系統(tǒng)模型中將車體視為兩端自由的均質(zhì)等截面歐拉梁，轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)視為剛體，利用模態(tài)疊加法考慮簡(jiǎn)支梁變形，采用輪軌密貼接觸假設(shè)建立單車通過多跨簡(jiǎn)支梁時(shí)車橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。將一系列正弦不平順作為系統(tǒng)激勵(lì)，用Newmark－β數(shù)值積分法求解車輛以不同速度通過橋梁時(shí)車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。

1 車橋系統(tǒng)模型建立

高速鐵路車輛輕量化設(shè)計(jì)已成高速列車發(fā)展趨勢(shì)。隨鋁合金等輕型金屬材料的使用，車輛各結(jié)構(gòu)部件質(zhì)量不斷減輕，導(dǎo)致剛度不斷降低［13］。當(dāng)車輛高速通過橋梁結(jié)構(gòu)時(shí)因橋梁振動(dòng)、線路不平順激擾等會(huì)誘發(fā)車輛各部件振動(dòng)，尤其車體的彈性振動(dòng)。李奇等［14］用Ansys軟件分別建立車輛、橋梁有限元模型，并結(jié)合模態(tài)疊加法、擬力法形成3D車橋耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，用迭代法求解車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。本文主要研究車橋耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)，考慮單節(jié)車輛通過簡(jiǎn)支梁時(shí)不平順激擾對(duì)彈性車體振動(dòng)影響，見圖1。在建立考慮車體彈性的高速鐵路車橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，設(shè):①考慮簡(jiǎn)支梁連跨布置，各跨橋梁參數(shù)相同，并采用模態(tài)疊加法分析其變形;②采用柔剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論建立更精細(xì)化的車輛模型，將車體視為由二系懸掛支承的均質(zhì)等截面歐拉梁，轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)視為剛體［15］;③車輛一、二系懸掛系統(tǒng)均按線性彈簧、阻尼考慮;④采用輪軌密貼接觸假設(shè)，不考慮輪軌分離對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)影響［16］。

1.1 車輛模型

考慮車體彈性的車輛模型包括車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)3個(gè)部件及連接輪對(duì)與轉(zhuǎn)向架、轉(zhuǎn)向架與車體的一、二系懸掛系統(tǒng)，見圖1。設(shè)車輛以速度v向前運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)系原點(diǎn)取靜平衡時(shí)質(zhì)心，坐標(biāo)系z(mì)軸向下。對(duì)車輛模型，其剛體運(yùn)動(dòng)只需考慮6個(gè)自由度，即車體、前后轉(zhuǎn)向架沉浮運(yùn)動(dòng)Zv，Zt1，Zt2及車體、前后轉(zhuǎn)向架點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)θv，θt1，θt2。車輛模型中各部件參數(shù)定義為:mv，Iv，EvIv，Cv，ρA分別為車體質(zhì)量、點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、抗彎剛度、阻尼系數(shù)及單位長(zhǎng)度質(zhì)量;mt，It分別為轉(zhuǎn)向架質(zhì)量及點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mw為輪對(duì)質(zhì)量;kp，ks分別為一、二系懸掛剛度;cp，cs分別為一、二系懸掛阻尼;lv，lt，lw分別為車體總長(zhǎng)、車輛定距之半及轉(zhuǎn)向架固定軸距之半。

圖1 考慮車體彈性的單車過橋模型Fig.1 Vehicle－bridge system model with flexible car body

為研究車體彈性振動(dòng)對(duì)車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)影響，將車體視為兩端自由的均質(zhì)等截面歐拉梁。車體振動(dòng)方程可表示為

式中:Z(xv，t)為車體垂向位移;δ(·)為狄拉克函數(shù); Ft1，F(xiàn)t2分別為前后轉(zhuǎn)向架作用于車體的力，即

對(duì)彈性車體而言，車體的振動(dòng)位移可表示為剛性運(yùn)動(dòng)與彈性運(yùn)動(dòng)疊加。取車體第1、2階振型分別為剛體沉浮及點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，振型函數(shù)分別為Y1(x)=1，Y2(x) =x－lv/2。取前NMv階模態(tài)時(shí)車體垂向振動(dòng)位移可表示為

式中:Yi(xv)，pi(t)分別為車體彈性振動(dòng)振型函數(shù)及模態(tài)坐標(biāo)(i＞2)。

對(duì)兩端自由的均質(zhì)等截面歐拉梁，當(dāng)i＞2時(shí)其振型函數(shù)可表示［17］為

式中:1－coshλicosλi=0;βi=λi/lv。

將式(4)代入式(1)，方程兩邊分別乘以車體第k個(gè)振型函數(shù)Yk(x)并沿車長(zhǎng)0～lv積分，并考慮振型函數(shù)的正交性，得車體前NMv階振動(dòng)方程為

同樣，據(jù)牛頓法可得前后轉(zhuǎn)向架沉浮、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)方程分別為

式中:s=1～4表示第s位輪對(duì);j=1，2分別代表前后轉(zhuǎn)向架;Fw1，F(xiàn)w2分別為第1、2位輪對(duì)作用于前轉(zhuǎn)向架的力;Fw3，F(xiàn)w4分別為第3、4位輪對(duì)作用于后轉(zhuǎn)向架的力，即

式中:Zb(xw1，t)，Zb(xw2，t)，Zb(xw3，t)，Zb(xw4，t)分別為第1、2、3、4位輪對(duì)所在位置橋梁位移;r(xw1)，r(xw2)，r(xw3)，r(xw4)分別為第1、2、3、4位輪對(duì)所在位置線路不平順。

1.2 橋梁模型

設(shè)圖1單車以常速v通過Nb個(gè)等跨簡(jiǎn)支梁，初始時(shí)刻第1位輪對(duì)距離坐標(biāo)系原點(diǎn)距離為x0，則第1～4位輪對(duì)在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)xws(m=1～4)依次為

設(shè)第h個(gè)簡(jiǎn)支梁振動(dòng)位移為Zbh(x，t)，則其在單車作用下的振動(dòng)微分方程為

式中:EbIb為梁的抗彎模量;mb為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量;Cb為梁阻尼;Fbh(x，t)為單車作用于第h個(gè)簡(jiǎn)支梁的外荷載，即

式中:tsh為第s位輪對(duì)進(jìn)入第h個(gè)簡(jiǎn)支梁時(shí)間;Δt=lb/v為單車通過第h個(gè)簡(jiǎn)支梁時(shí)間;H(·)為單位階躍函數(shù)，用于判斷單車第s位輪對(duì)是否作用于第h個(gè)簡(jiǎn)支梁上。

本文主要研究簡(jiǎn)支梁豎向振動(dòng)問題。為簡(jiǎn)化計(jì)算過程、提高運(yùn)算效率，用模態(tài)疊加法進(jìn)行分析。取前NMb階模態(tài)時(shí)第h個(gè)簡(jiǎn)支梁垂向振動(dòng)位移可表示為

式中:qnh(t)為廣義振動(dòng)幅值;φnh(x)為第n階振型函數(shù)。

將式(14)、(15)代入式(13)，乘以第h個(gè)簡(jiǎn)支梁第k個(gè)振型函數(shù)φkh(x)，并沿梁長(zhǎng)0～lb積分，同時(shí)考慮振型函數(shù)的正交性，第h個(gè)簡(jiǎn)支梁第k階廣義振動(dòng)幅值qkh(t)的振動(dòng)方程為

式中:ωkh，ξkh，Kkh，Mkh分別為第h個(gè)簡(jiǎn)支梁第k階自振頻率、阻尼比、廣義剛度及廣義質(zhì)量;Fkh(t)為第h個(gè)簡(jiǎn)支梁第k階廣義外荷載，即

式中:xwsh為第s位輪對(duì)距第h個(gè)簡(jiǎn)支梁左端距離。

2 模型求解

將式(2)～式(4)代入式(6)～式(8)，將式(2)、(3)、(11)、(15)代入式(9)、(10)，將式(17)代入式(16)，并將等式右邊未知加速度、速度、位移項(xiàng)移至左邊，將等式左邊的已知不平順項(xiàng)移至右邊，整理得單車過橋的運(yùn)動(dòng)方程矩陣表達(dá)式為

式中:［M］，［C］，［K］分別為車橋系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣;{}，{}，{U}分別為待求的加速度、速度及位移向量;{F}為車橋系統(tǒng)廣義荷載。

車輛運(yùn)行中隨車輪位置的變化車橋系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣及廣義荷載向量均發(fā)生變化故需重新計(jì)算。據(jù)車橋耦合系統(tǒng)時(shí)變特性，本文采用Newmark－β數(shù)值積分法求解每時(shí)刻車輛、橋梁振動(dòng)響應(yīng)。

3 彈性車體共振速度分析

為分析彈性車體共振、消振現(xiàn)象，設(shè)通過一系懸掛傳遞到前后轉(zhuǎn)向架的激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)且僅考慮二系懸掛傳遞的彈性力［18］，見圖2。由圖2可知，因存在轉(zhuǎn)向架固定軸距及車輛定距，使第1、2位輪對(duì)(第3、4位輪對(duì))對(duì)前(后)轉(zhuǎn)向架輸入存在相位差。

圖2 彈性車體共振與消振分析Fig.2 Resonance and cancellation of flexible car body

設(shè)第1位輪對(duì)激勵(lì)輸入為Zw1=asin(ωt)，則第2、3、4位輪對(duì)激勵(lì)輸入分別為

式中:Lr為簡(jiǎn)諧激勵(lì)波長(zhǎng);ω=2πv/Lr為簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率。

前后轉(zhuǎn)向架質(zhì)心處垂向位移分別為

整理得車體沉浮、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程分別為

由式(21)、(22)知，車體沉浮、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)可解耦為2個(gè)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)，分析如下:

(1)令cos(2πl(wèi)w/Lr)=0，則車體沉浮、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)外荷載為0。結(jié)合三角函數(shù)極值條件得

線路不平順波長(zhǎng)滿足式(23)時(shí)，則車體無沉浮、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)。該現(xiàn)象由轉(zhuǎn)向架固定軸距所致，亦稱“軸距濾波”現(xiàn)象［19］。與移動(dòng)荷載作用的簡(jiǎn)支梁消振(Cancellation)現(xiàn)象類似［5］，式(23)被定義為線路不平順作用下車體消振的發(fā)生條件。

(2)令sin(2πl(wèi)t/Lr)=0，則車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)外荷載為0，而沉浮運(yùn)動(dòng)外荷載不為0。結(jié)合三角函數(shù)極值條件得

線路不平順激勵(lì)波長(zhǎng)滿足式(24)時(shí)車體無點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)僅有沉浮運(yùn)動(dòng)，即車體在此波長(zhǎng)激勵(lì)下表現(xiàn)為上下沉浮運(yùn)動(dòng)。

(3)令cos(2πl(wèi)t/Lr)=0，則車體沉浮運(yùn)動(dòng)外荷載為0，而點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)外荷載不為0。結(jié)合三角函數(shù)極值條件得

線路不平順激勵(lì)波長(zhǎng)滿足式(25)時(shí)車體無沉浮運(yùn)動(dòng)，僅有車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，即車體在此波長(zhǎng)激勵(lì)下表現(xiàn)為前后點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，對(duì)(1)、(2)兩種情況，在特定波長(zhǎng)條件下車體點(diǎn)頭或沉浮運(yùn)動(dòng)外荷載為0。值得注意的是，由于轉(zhuǎn)向架固定軸距與車輛定距數(shù)值不同，線路不平順波長(zhǎng)如果同時(shí)滿足式(23)、(24)或式(23)、(25)條件將發(fā)生車體消振現(xiàn)象，不會(huì)出現(xiàn)明顯的車體點(diǎn)頭或沉浮運(yùn)動(dòng)。

線路不平順可視為含不同頻率成分的連續(xù)譜，也可視為由較多不同波長(zhǎng)組成。當(dāng)某波長(zhǎng)激勵(lì)與車輛系統(tǒng)某自振頻率一致時(shí)，該振型所受不平順激勵(lì)輸入的能量將達(dá)極值，會(huì)發(fā)生共振，此時(shí)車速定義為車輛的共振速度［18，20］。

車體一階彈性振動(dòng)由沉浮運(yùn)動(dòng)引起［19］。當(dāng)線路不平順波長(zhǎng)滿足式(24)時(shí)會(huì)激發(fā)車體一階彈性共振，其共振速度為

同理，車體二階彈性振動(dòng)由點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)引起［19］。當(dāng)線路不平順波長(zhǎng)滿足式(25)時(shí)會(huì)激發(fā)車體二階彈性共振，其共振速度為

式中:fi為第i階車體彈性自振頻率;Lirn為第i階車體彈性共振對(duì)應(yīng)的不平順波長(zhǎng);vin為第i階車體彈性共振對(duì)應(yīng)的共振速度。

本文將式(26)、(27)定義為車體發(fā)生前二階彈性共振(Resonance)條件，對(duì)應(yīng)的車速稱為車體彈性共振速度。因此，車體發(fā)生彈性共振波長(zhǎng)僅與車輛定距有關(guān)，其共振速度由車輛定距及車體彈性自振頻率決定。

4 計(jì)算分析

本文橋梁結(jié)構(gòu)為7跨簡(jiǎn)支箱梁橋［21］，設(shè)計(jì)跨度32 m，箱梁材料為C50混凝土，彈性模量3.45×1010N/m2，密度2 500 kg/m3;梁體截面積8.97 m2，慣性矩11.1 m4，橋梁阻尼比取5%。車輛系統(tǒng)以我國高速鐵路動(dòng)車組為原型，所用參數(shù)見表1［22］。

采用模態(tài)疊加法求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，在兼顧求解精度、計(jì)算速度前提下，常用較少階模態(tài)計(jì)算。對(duì)橋梁振動(dòng)本文選前20階模態(tài)［23］。對(duì)車體振動(dòng)本文利用橋梁及車輛系統(tǒng)參數(shù)分別選NMv=10、16、20計(jì)算車輛以300 km/h通過多跨簡(jiǎn)支梁時(shí)車體中部、端部加速度響應(yīng)(av)時(shí)程曲線，見圖3。由圖3可知，計(jì)算車體動(dòng)力響應(yīng)時(shí)取NMv=20已能滿足精度要求，故本文采用車體前20階振動(dòng)模態(tài)(含剛性、彈性模態(tài))求解車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。

表1 車輛系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Vehicle system parameters

圖3 車體彈性模態(tài)收斂性驗(yàn)證Fig.3 Convergence test with different modes for flexible car body

4.1 彈性車體共振速度計(jì)算

由表1計(jì)算獲得車體前兩階彈性自振頻率分別為10.07 Hz及27.77 Hz。據(jù)式(26)、(27)知，n值越小車體共振速度越高，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)越大，共振現(xiàn)象越明顯;反之，n值越大共振速度越低，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)越小，共振現(xiàn)象越不明顯。一般而言，只有較高速度且對(duì)應(yīng)較大波長(zhǎng)的車體彈性共振才有實(shí)際意義。因此，式(26)取n =1，2，3、式(27)取n=3，4，5，計(jì)算獲得車體一、二階彈性共振速度v1n，v2n及對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)L1rn，L2rn，見表2。

表2 車體彈性共振速度及對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)Tab.2 Resonate speeds associated with the flexible frequencies and the corresponding wave lengths

4.2 橋梁動(dòng)力沖擊系數(shù)分析

橋梁動(dòng)力沖擊系數(shù)為車輛過橋時(shí)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)放大系數(shù)［4］。為研究諧波不平順對(duì)橋梁振動(dòng)影響，設(shè)諧波不平順幅值為0.5 mm，在考慮(L1r2，L1r3，L2r4，L2r5)與不考慮(smooth)諧波不平順兩種情況下計(jì)算單車以不同速度(100～600 km/h)運(yùn)行時(shí)橋梁所受沖擊系數(shù)。圖4為第4跨簡(jiǎn)支梁跨中沖擊系數(shù)最大值(Ibmax)隨單車運(yùn)行速度(v)變化關(guān)系，稱Ibmaxv plot。由圖4知，單車以不同速度通過多跨橋梁時(shí)，諧波不平順及波長(zhǎng)對(duì)簡(jiǎn)支梁跨中所受沖擊系數(shù)影響不大。此因車輛自身軸重129.98 kN，而由不平順引起的重力附加力為1 kN(由式(14)知)，僅占車輛自身軸重的0.77%。另外，簡(jiǎn)支梁跨中所受沖擊系數(shù)在210 km/h及375 km/h附近出現(xiàn)峰值，為因車輛定距、轉(zhuǎn)向架固定軸距引起。值得指出的是，該兩速度并非橋梁的共振速度，因在單車過橋情況下車輛周期加載特性并不明顯，橋梁共振不易發(fā)生［24］。

為研究車體彈性振動(dòng)對(duì)橋梁振動(dòng)影響，設(shè)諧波不平順幅值為0.5 mm，選不同諧波不平順(L1r2、L1r3、L2r4、L2r5)，車輛模型分別采用剛性車體及彈性車體計(jì)算單車以不同速度(100～600 km/h)運(yùn)行時(shí)橋梁所受沖擊系數(shù)。圖5為第4跨簡(jiǎn)支梁跨中沖擊系數(shù)最大值(Ibmax)隨單車運(yùn)行速度(v)變化關(guān)系，稱Ibmax－v plot。由圖5可知，采用彈性車體與剛性車體模型計(jì)算的橋梁沖擊系數(shù)非常接近，可見車體彈性振動(dòng)對(duì)橋梁振動(dòng)幾乎無影響。此因車體彈性振動(dòng)主要改變車體的振動(dòng)量，對(duì)橋梁振動(dòng)反饋?zhàn)饔幂^小。

圖4 簡(jiǎn)支梁跨中沖擊系數(shù)最大值隨速度變化關(guān)系Fig.4 Ibmax－v plot(L1r2，L1r3，L2r4，L2r5and smooth)

圖5 簡(jiǎn)支梁跨中沖擊系數(shù)最大值隨速度變化關(guān)系Fig.5 Ibmax－v plot(Flexible and rigid car body)

4.3 車體加速度響應(yīng)分析

主要研究諧波不平順對(duì)車輛振動(dòng)影響。設(shè)諧波不平順幅值為0.5 mm。車體沉浮運(yùn)動(dòng)會(huì)引起一階彈性振動(dòng)，因此選諧波不平順L1r2及L1r3。車輛模型分別用剛、彈性車體，計(jì)算單車以不同速度(100～600 km/h)運(yùn)行時(shí)車體動(dòng)力響應(yīng)。圖6為車體中部最大加速度響應(yīng)(avmax)隨單車運(yùn)行速度(v)變化關(guān)系，稱avmaxv plot。由圖6知，對(duì)線路不平順L1r2及L1r3兩種情況，彈性車體中部出現(xiàn)明顯振動(dòng)峰值，對(duì)應(yīng)的車輛運(yùn)行速度分別為v1r2，v1r3。而剛性車體中部加速度響應(yīng)并無明顯峰值出現(xiàn)。此因在橋梁振動(dòng)及諧波不平順周期激勵(lì)下，車輛運(yùn)行速度接近彈性車體一階共振速度時(shí)，車體一階彈性共振被激發(fā)，從而導(dǎo)致車體中部加速度響應(yīng)顯著增大。此時(shí)車體一階彈性振動(dòng)成為影響車體振動(dòng)大小的主導(dǎo)因素。

圖6 車體中部最大加速度響應(yīng)隨速度變化關(guān)系Fig.6 avmax－v plot

圖7 車體端部最大加速度響應(yīng)隨速度變化關(guān)系Fig.7 avmax－v plot

圖8 車體中部加速度時(shí)程曲線及頻譜(L1r2)Fig.8 Time history of acceleration response at midpoint of car body and its frequency spectrum(L1r2)

同理，車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)會(huì)引起二階彈性振動(dòng)，因此選諧波不平順L2r4，L2r5;車輛模型分別采用剛、彈性車體計(jì)算單車以不同速度(100～600 km/h)運(yùn)行時(shí)車體動(dòng)力響應(yīng)。圖7為車體端部最大加速度響應(yīng)(avmax)隨單車運(yùn)行速度(v)變化關(guān)系，稱avmax－v plot。由圖7知，對(duì)線路不平順L2r5，彈性車體端部出現(xiàn)明顯振動(dòng)峰值，對(duì)應(yīng)的車輛運(yùn)行速度為v2r5。與車體一階彈性共振類似，采用剛性車體時(shí)其端部加速度響應(yīng)并無明顯峰值出現(xiàn)。即在橋梁振動(dòng)、諧波不平順周期激勵(lì)下，車輛運(yùn)行速度接近彈性車體二階共振速度時(shí)車體二階彈性共振被激發(fā)，導(dǎo)致車體端部加速度響應(yīng)顯著增大。此時(shí)車體二階彈性振動(dòng)成為影響車體振動(dòng)大小的主導(dǎo)因素。對(duì)諧波不平順L2r4而言，彈、剛性車體均未出現(xiàn)明顯振動(dòng)峰值，且兩種模型計(jì)算結(jié)果基本一致。因波長(zhǎng)L2r4滿足式(23)即車體消振的發(fā)生條件，此時(shí)車體沉浮、點(diǎn)頭激勵(lì)均為0，不會(huì)激發(fā)車體一、二階彈性振動(dòng)。

4.4 彈性車體共振與消振分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證彈性車體一階彈性共振現(xiàn)象，設(shè)諧波不平順幅值為0.5 mm，選諧波不平順L1r2，L1r3分別計(jì)算單車以共振速度v1r2，v1r3通過多跨橋梁時(shí)車體中部加速度響應(yīng)(av)時(shí)程曲線及頻譜，見圖8、圖9。由圖8(a)、圖9(a)看出，對(duì)諧波不平順L1r2，L1r3，當(dāng)單車分別以彈性車體一階彈性共振速度v1r2，v1r3運(yùn)行時(shí)，較剛性車體加速度響應(yīng)彈性車體中部加速度顯著增大，出現(xiàn)明顯共振現(xiàn)象。此時(shí)諧波不平順對(duì)車體激擾頻率等于車體一階彈性自振頻率即車體一階彈性共振被激發(fā)，見圖8(b)、圖9(b)。該計(jì)算結(jié)果再次驗(yàn)證車體一階彈性共振速度定義的正確性。

圖9 車體中部加速度時(shí)程曲線及頻譜(L1r3)Fig.9 Time history of acceleration response at midpoint of car body and its frequency spectrum(L1r3)

圖10 車體端部加速度時(shí)程曲線及頻譜(L2r5)Fig.10 Time history of acceleration response at extremity of car body and its frequency spectrum(L2r5)

為進(jìn)一步驗(yàn)證彈性車體二階彈性共振現(xiàn)象，設(shè)諧波不平順幅值為0.5 mm，選諧波不平順L2r5計(jì)算單車以共振速度v2r5通過多跨橋梁時(shí)車體端部加速度響應(yīng)(av)時(shí)程曲線及頻譜，見圖10。由圖10(a)看出，對(duì)諧波不平順L2r5，當(dāng)單車以彈性車體二階彈性共振速度v2r5運(yùn)行時(shí)，與剛性車體加速度響應(yīng)相比，彈性車體端部加速度顯著增大，出現(xiàn)明顯共振現(xiàn)象。此時(shí)諧波不平順對(duì)車體的激擾頻率等于車體二階彈性自振頻率即車體二階彈性共振被激發(fā)，見圖10(b)。計(jì)算結(jié)果再次驗(yàn)證車體二階彈性共振速度定義的正確性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證彈性車體消振現(xiàn)象，設(shè)諧波不平順幅值為0.5 mm，選諧波不平順L2r4分別計(jì)算單車以共振速度v2r4通過多跨橋梁時(shí)車體中部、端部加速度響應(yīng)(av)時(shí)程曲線及頻譜，見圖11、圖12。由圖11(a)、圖12(a)可知，對(duì)諧波不平順L2r4，當(dāng)單車以彈性車體二階彈性共振速度v2r4運(yùn)行時(shí)彈性車體中部、端部加速度響應(yīng)均未現(xiàn)共振現(xiàn)象。另外，無論彈性車體或剛性車體，其加速度響應(yīng)均很小且較接近，此因車體一、二階彈性振動(dòng)未被顯著激發(fā)，見圖11(b)、圖12(b)。此時(shí)諧波不平順L2r4滿足式(23)車體消振發(fā)生條件。計(jì)算結(jié)果再次驗(yàn)證車體消振現(xiàn)象的存在。從車體消振角度出發(fā)，即激勵(lì)為0情況，可為不平順波長(zhǎng)控制、車輛合理設(shè)計(jì)及運(yùn)營(yíng)速度選定提供參考，以期獲得可能小的車體加速度響應(yīng)。

圖11 車體中部加速度時(shí)程曲線及頻譜(L2r4)Fig.11 Time history of acceleration response at midpoint of car body and its frequency spectrum(L2r4)

圖12 車體端部加速度時(shí)程曲線及頻譜(L2r4)Fig.12 Time history of acceleration response at extremity of car body and its frequency spectrum(L2r4)

5 結(jié)論

本文通過建立考慮車體彈性的單車過橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究一系列正弦不平順激擾下彈性車體共振與消振現(xiàn)象，結(jié)論如下:

(1)采用彈、剛性車體模型計(jì)算所得橋梁沖擊系數(shù)非常接近，因車體彈性振動(dòng)主要改變車體振動(dòng)量，該振動(dòng)對(duì)橋梁振動(dòng)反饋?zhàn)饔幂^小。

(2)彈性車體一、二階共振被激發(fā)時(shí)車體動(dòng)力響應(yīng)會(huì)被顯著放大，共振速度由車輛定距與車體一、二階彈性自振頻率決定。

(3)因存在軸距濾波，不平順波長(zhǎng)滿足彈性車體消振發(fā)生條件時(shí)車體動(dòng)力響應(yīng)會(huì)被顯著抑制。

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Resonance and vibration cancellation analysis of a vehicle with flexible car body moving over multi-span bridge

WANG Ying－jie1，2，SHI Jin1，2，WEI Qing－chao1，2
(1.School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China;
2.Beijing Key Laboratory of Track Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)

To investigate the effect of flexible car body vibration on the dynamic responses of vehicle－bridge system，the dynamic analysis model of a vehicle with flexible car body moving over multi－span bridge was established，and the dynamic responses of the system was computed by Newmark－β method.In the model，the car body was regarded as an Euler beam with both ends free，and the bogie and wheel set were regarded as rigid.The multi－span bridge was regarded as a series of simple bridges and the vibration of the bridge was determined by using modal superposition method.The vehicle and bridge were linked under the wheel－rail corresponding assumption.A series of irregularities were chosen as the system excitation，and the resonance and vibration cancellation of the flexible car body were analyzed.The calculation results show that the vibration of the flexible car body has some effect on the car body dynamic responses，but shows little feedback to the bridge vibration.The flexible resonances of the car body may result in significant amplification of the dynamic responses of the car body，and the flexible resonance speeds are determined by the bogie spacing and the natural frequencies of the flexible car body.Due to the wheelbase filtering effect，when the wave length of irregularity satisfies the condition of vibration cancellation of the flexible car body，the dynamic responses of the car body can be effectively suppressed.

high speed railway;vehicle－bridge system;flexible car body;resonance and vibration cancellation

U271.91

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.001

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(2014JBM096)

2013－11－08修改稿收到日期:2014－02－11

王英杰男，博士，講師，1982年9月生郵箱:yingjiewang@bjtu.edu.cn