成建群

（蘇州健雄職業(yè)技術學院機電工程系，江蘇太倉 215411）

1 研究前提

首先說明一下范成法漸開線齒輪(不作特別說明，這里提到的齒輪均是指漸開線齒輪)切削加工。范成法是利用一對齒輪互相嚙合傳動時其兩輪的齒廓互為包絡線的原理來加工齒輪的，其刀具和輪坯之間的對滾運動與一對互相嚙合的齒輪的運動完全相同，所以這種方法加工的齒輪都能正確的嚙合[1]。用這種方法加工時，若刀具的齒頂線或齒頂圓與嚙合線的交點超過被切齒輪的極限點，則刀具的齒頂將被切齒輪之齒根的漸開線齒廓切去了一部分，這種現(xiàn)象稱為根切現(xiàn)象。如果將根切去的材料補充全，實際應用中齒輪就可能卡死，造成齒輪不能工作。其中刀具的齒頂圓愈平直，愈易超出輪坯的根切極限點，所以齒條刀具最易發(fā)生根切現(xiàn)象，同時也就是說，用齒條刀具加工的齒輪不會出現(xiàn)卡死想象[2]。

為了達到減少根切量、調(diào)整齒輪中心距、改善齒輪磨損和強度等要求常采用變位齒輪，當變位量為零時，可以認為是標準齒輪[3]。也就是說標準齒輪是變位齒輪的特例。

現(xiàn)對圓柱漸開線齒輪（模數(shù)m、壓力角a、齒頂高系數(shù)ha、齒根高系數(shù)hf、齒數(shù)z、變位系數(shù)x、分度圓齒厚s、齒間寬e），求齒廓曲線。（壓力角計算時要轉(zhuǎn)化為弧度）。

不妨首先求出其中一個齒面的輪廓曲線。默認直角坐標系原點為齒輪軸心（不作特別說明，插圖中O點均是指這一點）[4]。

2 求解輪廓曲線

2.1 不發(fā)生根切時

條件：

其中ha1為刀具的齒頂高系數(shù)。顯然ha1=hf。

2.1.1 當齒根圓不小于基圓時

參數(shù)舉例：模數(shù)m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數(shù)ha=0.8、齒根高系數(shù)hf=1.25、齒數(shù)z=45、變位系數(shù)x=-0.45、分度圓齒厚s=2.356 194 45、齒根倒角半徑rfr=0.5、齒頂?shù)菇前霃絩ar=0.5。

此時可以假設齒廓曲線依次有如下幾部分組成：齒根圓弧、齒根過度圓弧、漸開線、齒頂圓弧過度、齒頂圓弧。

2.1.1.1 齒根倒角

如圖1，設齒根倒角半徑為rfr，計算過程如下，

設齒根倒角圓心O(x0，y0)，則∶

結(jié)論：

設齒根圓?。▁，y），則0≤t≤a9時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤a7時，

設漸開線（x，y）（以壓力角為參數(shù)建立參數(shù)方程、b2由齒頂?shù)菇墙o出），則a2≤t≤b2時，

圖1 齒根倒角

2.1.1.2 齒頂?shù)菇?/p>

如圖2，設齒頂?shù)菇前霃綖閞ar，計算過程如下，

圖2 齒頂?shù)菇?/p>

齒頂?shù)菇菆A心o(x0，y0)

結(jié)論：

設齒頂?shù)菇菆A?。▁，y），則0≤t≤b1時，

設齒頂圓?。▁，y），則b6≤t≤b7時，

2.1.2 當齒根圓小于基圓時

條件：

即：

參數(shù)舉例：模數(shù)m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數(shù)ha=0.8、齒根高系數(shù)hf=1.25、齒數(shù)z=27、變位系數(shù)x=0、分度圓齒厚s=2.356 194 45、齒根倒角半徑rfr=0.5、齒頂?shù)菇前霃絩ar=0.5。

如圖3，由于在基圓內(nèi)沒有漸開線，不妨用漸開線起點切線延長漸開線，設齒根依舊有倒角，此時有個臨界情況，即倒角剛好切于漸開線起點A，此時倒角半徑為rt[5]。

圖3 齒根圓小于基圓

不難看出，

可得，

當rt≤rfr時，可以按照基圓小于齒底圓情況處理。

當rfr≤rt時，齒廓曲線依次由如下幾部分組成：齒根圓弧、齒根過度圓弧、直線段、漸開線、齒頂圓弧過度、齒頂圓弧，其中齒頂圓弧過度、齒頂圓弧與基圓小于齒底圓情況相同。

計算過程如下，

設o2(x0，y0)，則：

結(jié)論：

設齒根圓?。▁，y），則0≤t≤c1時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤c3時，

設線段DA，其中D（xD，yD），A(xA，yA)，則，

設漸開線（x，y）(以壓力角為參數(shù)建立參數(shù)方程)，則0≤t≤b2時，

2.2 發(fā)生根切時

條件：

其中ha1為刀具的齒頂高系數(shù)。顯然ha1=hf。

如圖4，嚙合點在PB2上移動，N點、N1點分別為不同時刻漸開線的起點，M1點的變化就構(gòu)成了根切。M1點很顯然是從M點開始進入根切，從B2點出根切，設OM1=t，以齒根中軸線OX建立相對坐標系，M點的軌跡就構(gòu)成了根切曲線。

圖4 根切

計算過程如下，

t的范圍是[tMin，tMax]

這里不難看出，當發(fā)生根切現(xiàn)象時，齒根圓一定小于基圓。（齒根圓由M點決定，基圓由N點決定，當M低于N點時，不會發(fā)生根切。）首先不考慮根切問題，按照前面2.1.2當齒根圓小于基圓時的情況產(chǎn)生曲線，然后根據(jù)這里的結(jié)論產(chǎn)生曲線，比較如圖5，粗線部分為根切曲線，B2左邊一段細實線為直線，B2右邊一段細直線為漸開線[6-7]。

如圖6，根切部分（MB2段）在整個齒廓上位置如下：

圖5 根切曲線

圖6 根切位置

為了曲線間平滑過渡，要利用導數(shù)方程，計算如下：

根切曲線M1（x，y）

根切曲線斜率：

為了簡單起見，這里不考慮圓弧過渡。

如圖3所示，M點在BA線段上，B2點在由A開始的漸開線上，構(gòu)成了由B、M、A、B2四點組成D的取值范圍：

（1）當D在BM上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、直線段、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇?、齒頂圓??；

（2）當D在MA上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇恰X頂圓??；

（3）當D在AB2上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧；

（4）當D在AB2外時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、漸開線、齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧。

為了體現(xiàn)根切特征，進一步簡化問題，在后面三種情況下，均認為D點重合于M點。

結(jié)論：當D在BM上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、直線段、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧。

此外，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧。(其中倒角半徑?jīng)Q定于M點，設為rm。)

與求rt的方法一樣，可得：

2.2.1 D在BM上時

條件：rfr＜rm

參數(shù)舉例：模數(shù)m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數(shù)ha=0.8、齒根高系數(shù)hf=1.25、齒數(shù)z=15、變位系數(shù)x=0.3、分度圓齒厚s=3、齒根倒角半徑rfr=0.5、齒頂?shù)菇前霃絩ar=0.1。

曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、直線段、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇恰X頂圓弧。

結(jié)論：

設齒根圓?。▁，y），則0≤t≤c1時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤c3時，

設線段DM（其中D（xD，yD），M(xM，yM)），則，

根切曲線如上。

設漸開線（x，y），v5為B2處壓力角，則

則v5≤t≤b2時，

齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧曲線和沒有根切時一樣。

2.2.2 D在BM外時

條件：rfr＞=rm

參數(shù)舉例：模數(shù)m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數(shù)ha=0.8、齒根高系數(shù)hf=1.25、齒數(shù)z=10、變位系數(shù)x=0.3、分度圓齒厚s=3、齒根倒角半徑rfr=0.8、齒頂?shù)菇前霃絩ar=0.1。

曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧。計算和求c1、c2、c3、o2一樣，只是此時令rfr=rm，于是：

設o2（x0，y0），則：

表示如下：

設齒根圓弧（x，y），則0≤t≤c1時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤c3時，

根切曲線如上。

設漸開線（x，y），v5為B2處壓力角，則，

則v5≤t≤b2時，

齒頂?shù)菇?、齒頂圓弧曲線和沒有根切時一樣。

3 參數(shù)有效性討論

對于齒輪參數(shù)模數(shù)m、壓力角a、齒頂高系數(shù)ha、齒根高系數(shù)hf、齒數(shù)z、變位系數(shù)x、分度圓齒厚s、齒間寬e，均應該符合實際情況。如x可取正負值，z為正整數(shù)，其余為正數(shù)，一般而言，模數(shù)m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數(shù)ha=0.8、齒根高系數(shù)hf=1.25、齒數(shù)z＞=17、變位系數(shù)|x|＜0.5、分度圓齒厚s=2.356 194 45(依賴于變位系數(shù))[8]。

在求各個中間參數(shù)時，有的函數(shù)對自變量有取值范圍的要求，否則求解沒有意義，造成模型錯誤，所以應該適當討論。如∶

4 結(jié)束語

建立漸開線齒廓曲線模型還需要利用曲線對稱數(shù)學模型、曲線旋轉(zhuǎn)數(shù)學模型、三角形外接圓圓心與圓心角數(shù)學模型（這些模型相對簡單，不用累述）。

可利用Autodesk公司Autolisp編程實現(xiàn)模型結(jié)果。對于內(nèi)齒輪，將會出現(xiàn)頂切的問題而且內(nèi)齒輪的齒頂圓必須不小于基圓[10]。分別可以表示如下：

數(shù)學模型是軟件開發(fā)的基礎，它的正確與否直接關系到軟件的正確性。有了漸開線齒廓曲線數(shù)學模型，漸開線齒輪的CAD/CAM軟件開發(fā)易如反掌。它是齒輪CAD/CAM的核心技術。

本模理論上正確，層次清楚，數(shù)學形式簡單，經(jīng)過實踐檢驗完全符合漸開線嚙合原理。

［1］鄒慧君，張春林，李杞儀.機械原理［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］岳大鑫，王忠.機械設計基礎［M］.西安：西安電子科技大學出版社，2008.

［3］邱印輝.機械原理與設計［M］.大連：大連理工大學出版社，2006.

［4］LITVIN F L.Gear geometry and applied theory［M］.N J：Prentice-Hall，1994.

［5］Di Francesco G，MARINIS.Structural analysis o f a sym?metrical teeth：reduction of size and weight［J］.Gear Technology，1997，14（5）：47-51.

［6］樊智敏，張汝琦.雙漸開線齒輪傳動的嚙合分析［J］.機械科學與技術，2003，22（5）：779-781.

［7］周志峰，劉偉，王婧.漸開線直齒輪修形的有限元分析與研究［J］.機電工程，2013（12）：1490-1493.

［8］張光輝，許洪斌，龍慧，等.分階式雙漸開線齒輪［J］.機械工程學報，1995，31（6）：47-52.

［9］朱旭輝.基于ADAMS的非對稱漸開線齒輪動力學仿真［J］.機電工程技術，2014（8）：107-110.

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