陳元千

（中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083）

Butler[1]針對(duì)較厚的重質(zhì)油藏，于 1991 年提出的蒸汽輔助重力驅(qū)動(dòng)的原理和方法，在我國(guó)引起了廣泛重視。同時(shí)，發(fā)表了有關(guān)室內(nèi)模擬實(shí)驗(yàn)和礦場(chǎng)工藝技術(shù)研究方面的文章80余篇，如文獻(xiàn)[2—17]。然而，令人遺憾的是，對(duì)于Butler提出的蒸汽輔助重力驅(qū)動(dòng)的產(chǎn)量公式，在國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中，尚查不到有關(guān)實(shí)際應(yīng)用的計(jì)算結(jié)果。對(duì)此，本文展開(kāi)深入剖析與探討。

1 從達(dá)西傾斜線性流動(dòng)的流量公式推導(dǎo)談起

本文基于達(dá)西傾斜線性流動(dòng)的微分式進(jìn)行了推導(dǎo)，得到了包括重力驅(qū)動(dòng)作用和注入壓力驅(qū)動(dòng)作用的流量公式。從公式對(duì)比可以看出，Butler的公式只有流體的重力作用驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，而缺少注入壓力的驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。

對(duì)于均質(zhì)各向同性的儲(chǔ)層，達(dá)西傾斜的線性流動(dòng)（見(jiàn)圖1）的地下流量與壓力梯度的微分式為[18]

對(duì)式（2）進(jìn)行分離變量積分，并代入上下限為

將式（3）積分，得達(dá)西穩(wěn)定傾斜線性流動(dòng)的流量公式：

再將式（4）改寫(xiě)為

若設(shè)：

則得：

由式（8）可以看出，達(dá)西穩(wěn)定傾斜線性流動(dòng)的流量，由q1和q2兩部分組成，q1為注入壓力驅(qū)動(dòng)作用提供的流量，q2為重力輔助驅(qū)動(dòng)作用提供的流量，而且q1?q2。Butler的SAGD產(chǎn)量公式相當(dāng)于式（7）。

圖1 達(dá)西穩(wěn)定傾斜線性流動(dòng)

2 對(duì)Butler的SAGD產(chǎn)量公式的質(zhì)疑

圖2、圖3分別表示了上注下采雙水平井的橫剖面和垂直于水平井段的縱剖面。圖4表示了Butler的上注下采雙水平井的流體流動(dòng)模式。Butler認(rèn)為，被加熱降黏的原油沿汽油界面夾角θ呈自下而上流動(dòng)的狀態(tài)（見(jiàn)圖 5）。

圖2 上注下采雙水平井橫剖面

圖3 垂直水平井段2個(gè)平面徑向流的剖面

圖4 SAGD流體流動(dòng)示意[1]

圖5 單側(cè)汽油汽界面的垂向剖面[1]

Butler應(yīng)用達(dá)西定律提出了所謂的微分流量公式（見(jiàn)圖5），他是這樣敘述的：注入蒸汽的溫度為T(mén)S，油層溫度為T(mén)R，注入蒸汽在汽油界面處凝結(jié)；汽油界面的水平夾角為θ，界面處的溫度為T(mén)S；熱量經(jīng)傳導(dǎo)進(jìn)入較涼的油層（未受到加熱影響）位置。在距汽油界面ξ時(shí)，原油的動(dòng)力黏度為μo，或運(yùn)動(dòng)黏度為νo，應(yīng)用達(dá)西定律可以寫(xiě)出單位厚度（應(yīng)為單位水平井段的長(zhǎng)度）截面積的流量為[1]

Butler認(rèn)為，由于ρg的數(shù)值比ρo值小得多，可以忽略不計(jì)。 考慮動(dòng)力黏度與運(yùn)動(dòng)黏度的關(guān)系，μo/ρo=νo，可

將式（9）又改寫(xiě)為

由式（6）和式（10）對(duì)比可以看出，Butler提出的式（9），只考慮了蒸汽驅(qū)的重力輔助驅(qū)動(dòng)作用和單側(cè)單位水平井段長(zhǎng)度的流量，而且Butler將式（10）中的dq錯(cuò)誤地稱為微分流量（differential flow）。通過(guò)將式（9）和式（7）對(duì)比，可以看出，Butler的SAGD產(chǎn)量公式存在如下主要問(wèn)題：

1）達(dá)西定律表示的流量，為穩(wěn)定的常數(shù)流量q，決不能寫(xiě)為式（9）的微分流量dq形式，因?yàn)閝為常數(shù)，dq=0。

2）由達(dá)西定律表示的流量與壓力梯度成正比的關(guān)系式，流體通過(guò)的截面積A為常數(shù)，決不能寫(xiě)為微分形式的dξ×1。對(duì)于上注下采的雙水平井開(kāi)采系統(tǒng)，截面積A可以寫(xiě)為流動(dòng)寬度W與水平井段長(zhǎng)度L的乘積，即A=WL。而寬度W可取為水平井距的1/4。

3）在公式（9）中，Butler應(yīng)將重力輔助驅(qū)動(dòng)的地層原油密度寫(xiě)為ρo，而不應(yīng)寫(xiě)為地層原油與蒸汽的密度差（ρo-ρg），然而其后他又將 ρg改為 ρo。

4）對(duì)于未加熱的油層，Butler由式（10）寫(xiě)出的微分流量為

Butler將式（10）減式（11），得到由于加熱增加的微分流量：

不清楚是什么道理，Butler又重新定義dq=dq-dqr，而忽略了 dqr，將式（12）寫(xiě)為

應(yīng)當(dāng)指出，既然忽略了dqr的存在，就應(yīng)當(dāng)回到式（10），而不能再將式（12）寫(xiě)為式（13）。 也就是說(shuō)，式（13）是不成立的。

5）為了得到雙水平井上注下采系統(tǒng)單側(cè)一邊的產(chǎn)量公式，Butler又將不存在的式（13）寫(xiě)成了式（14）的積分形式：

由于達(dá)西定律的流量為常數(shù)，既不能寫(xiě)為微分形式dq，更不能對(duì)dq取上限為q、下限為0進(jìn)行積分。同時(shí)Butler對(duì)式（14）地下運(yùn)動(dòng)黏度的倒數(shù)，取上限為∞、下限為0進(jìn)行積分，也是毫無(wú)根據(jù)和實(shí)際意義的。

6）上述分析表明，Butler的式（14）是不正確的，因此，已完全沒(méi)有必要再進(jìn)行任何推導(dǎo)。然而，Butler卻在式（14）的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了毫無(wú)意義且存在問(wèn)題的推導(dǎo)，最后得到了僅考慮重力輔助驅(qū)動(dòng)作用雙水平井單側(cè)單位水平井段長(zhǎng)度的產(chǎn)量公式：

對(duì)于全水平井段，兩邊傾斜流動(dòng)Butler的SAGD產(chǎn)量可寫(xiě)為

將式（15）代入式（16），可以得到 Butler的 SAGD產(chǎn)量公式：

3 對(duì)Butler SAGD產(chǎn)量公式單位變換

應(yīng)當(dāng)指出，在油氣藏工程計(jì)算中，任何理論公式的推導(dǎo)，所使用各項(xiàng)參數(shù)的單位，均為SI制基礎(chǔ)單位。當(dāng)然，所得到的也是SI制基礎(chǔ)單位表示的公式。這些公式要想在實(shí)際中加以應(yīng)用，都需要經(jīng)過(guò)公式的單位變換。如果不經(jīng)過(guò)由SI制基礎(chǔ)單位變換到SI制礦場(chǎng)實(shí)用單位，或者變換錯(cuò)誤，都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。現(xiàn)對(duì)Butler的SAGD產(chǎn)量公式進(jìn)行由SI制基礎(chǔ)單位到SI制礦場(chǎng)實(shí)用單位的變換如下。

由SI制基礎(chǔ)單位表示的Butler式（17），變換為SI制礦場(chǎng)實(shí)用單位的方法為

整理式 （18），得由SI制礦場(chǎng)實(shí)用單位表示的Butler公式：

4 應(yīng)用舉例

引用文獻(xiàn)[1]的各項(xiàng)參數(shù)的數(shù)值列于表1，試用Butler的式（19）計(jì)算雙水平井的產(chǎn)油量。應(yīng)當(dāng)指出，表1中地層原油密度單位具有的關(guān)系為，1 g/cm3=1 000 kg/m3=1 t/m3。

將表1中各項(xiàng)參數(shù)值代入式（19），得Butler公式計(jì)算的水平井產(chǎn)量為

表1 產(chǎn)量計(jì)算參數(shù)

對(duì)于一口水平井來(lái)說(shuō)，Butler的SAGD產(chǎn)量公式計(jì)算的結(jié)果，低得令人難以置信。

5 結(jié)論

通過(guò)本文的研究表明，Butler雙水平井的SAGD產(chǎn)量公式，由于在建立、推導(dǎo)的過(guò)程中，對(duì)于達(dá)西定律認(rèn)識(shí)上的偏差和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用上存在的問(wèn)題，導(dǎo)致了所得結(jié)果的不正確性和不可靠性。Butler的SAGD產(chǎn)量公式，僅考慮了流體重力的輔助驅(qū)動(dòng)作用，而忽略了注采井之間注入壓力的驅(qū)動(dòng)作用，因此必然導(dǎo)致產(chǎn)量計(jì)算結(jié)果難以置信地偏低。這也說(shuō)明了，迄今為止，為什么幾乎看不到Butler的SAGD產(chǎn)量公式，在實(shí)際中得不到有效應(yīng)用的原因。最后，應(yīng)當(dāng)指出，在Butler的SAGD產(chǎn)量公式中的滲透率，應(yīng)為地層原油黏度下的有效滲透率，而不是巖心分析的空氣滲透率。

6 符號(hào)注釋

括號(hào)中為礦場(chǎng)實(shí)用單位制單位。

A 為達(dá)西線性流動(dòng)的截面積，m2（m2）；g為重力加速度，9.806 m/s2；h為油層厚度，m （m）；K 為地層原油黏度μo下的有效滲透率，μm2（mD）；L為水平井段長(zhǎng)度，m（m）；m 為溫度指數(shù)，取值 3～4；p 為達(dá)西穩(wěn)定傾斜流動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)的壓力，Pa（MPa）；p1為達(dá)西穩(wěn)定傾斜流動(dòng)的入口壓力，Pa（MPa）；p2為達(dá)西穩(wěn)定流動(dòng)的出口壓力，Pa（MPa）；qL為達(dá)西傾斜線性流動(dòng)的穩(wěn)定流量，m3/s（m3/d）；q1為在（p1-p2）驅(qū)動(dòng)作用的達(dá)西傾斜線性流的流量，m3/s（m3/d）；q2為流體重力驅(qū)動(dòng)作用的達(dá)西傾斜線性流的流量，m3/s（m3/d）；dq 為 Butler的單側(cè)加熱油層達(dá)西傾斜線性流單位水平井段長(zhǎng)度的微分流量，m3/s（m3/d）；dqr為Butler的單側(cè)未加熱油層達(dá)西傾斜線性流單位水平井段長(zhǎng)度的微分流量，m3/s（m3/d）；q為Butler的單側(cè)加熱油層達(dá)西傾斜線性流的單位水平井段長(zhǎng)度的流量，m3/s （m3/d）；QB為 Butler的SAGD產(chǎn)量，m3/s（m3/d）；l為達(dá)西穩(wěn)定傾斜線性流動(dòng)的長(zhǎng)度，m（m）；Soi為原始含油飽和度，f（f）；Sor為殘余油飽和度，f（f）；W為達(dá)西傾斜線性流動(dòng)的截面寬度，m（m）；Z為達(dá)西傾斜線性流某流動(dòng)質(zhì)點(diǎn)距參照面的垂直距離，m（m）；θ為傾斜線性流動(dòng)的水平夾角，°（°）；ρ為達(dá)西流動(dòng)的流體密度，kg/m3（g/cm3）；ρo為地層流動(dòng)的原油密度，kg/m3（t/m3）；u為界面法線方向移動(dòng)速度，m/s（m/d）；μ 為達(dá)西流動(dòng)的流體動(dòng)力黏度，Pa·s（mPa·s）；μo為地層流動(dòng)的原油動(dòng)力黏度，Pa·s（mPa·s）；νo為加熱油層流動(dòng)的原油運(yùn)動(dòng)黏度，St（cSt）；νr為未加熱油層流動(dòng)的原油運(yùn)動(dòng)黏度，St（cSt）；α為熱傳導(dǎo)率，m2/s（m2/d）；ξ為Butler流動(dòng)模型dξ流動(dòng)單元距汽油界面的垂直距離，m（m）。

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