☉福建省廈門市思明區(qū)教師進修學(xué)校 朱丹紅

基于結(jié)構(gòu)特征的模型思想教學(xué)探索

☉福建省廈門市思明區(qū)教師進修學(xué)校 朱丹紅

人民教育出版社章建躍編審指出：課堂教學(xué)中的技術(shù)性問題不是理念所能解決的，一定是基于對數(shù)學(xué)本身的理解與感悟.研究教材中的模型思想的過程，既是對教材的研究，也是對數(shù)學(xué)本身的再次理解；是學(xué)科內(nèi)容與數(shù)學(xué)教育結(jié)合的一個良好載體，也使筆者對模型思想的教學(xué)有了一些新的想法.

一、教材中的基本數(shù)學(xué)思想

正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（下文均表述為“課標(biāo)”）在P59-P67的教材編寫建議中提到的“……教材內(nèi)容要體現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)知識和方法的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用過程，……教材內(nèi)容的呈現(xiàn)要考慮不同年齡學(xué)生的特點”.可以說教材的編寫要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展的應(yīng)用過程.

什么是基本數(shù)學(xué)思想？關(guān)于這個概念，史寧中在《數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象》的前言中指出：“基本數(shù)學(xué)思想既不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時所涉及的思想，如等量替換、數(shù)形結(jié)合、遞歸、轉(zhuǎn)換等，也不是解數(shù)學(xué)題時所涉及的具體數(shù)學(xué)方法，如配方法、換元法等，而是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想.……至今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型……抽象是最核心的，通過抽象，從現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則；通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展；通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系.”

根據(jù)“課標(biāo)”對教材的編寫建議，既然教材內(nèi)容要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用過程，那么教材內(nèi)容就應(yīng)該呈現(xiàn)出基本數(shù)學(xué)思想.

如果說“課標(biāo)”提出的基本數(shù)學(xué)思想是一個高位的抽象的指導(dǎo)意見，是理論，那么教材則是把高位抽象的教學(xué)理念轉(zhuǎn)化為各種層次的學(xué)生能接受的具體的知識點，其呈現(xiàn)出來的是相對零散的、具體的文字材料.其中對理論的解釋要轉(zhuǎn)化為通俗易懂的語言，其中就難免會失去教材編輯者對思想內(nèi)涵的深刻解讀.

從這個角度看，研究教材有助于我們加深對基本數(shù)學(xué)思想的理解，并且能夠幫助我們在課堂教學(xué)中以生為本，將基本數(shù)學(xué)思想的教學(xué)設(shè)計得更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題.

研究教材中的數(shù)學(xué)思想，有助于將固化的文字材料轉(zhuǎn)化為可以實際操作的教學(xué)工作，也是為了能在進一步理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上提供一些自己的經(jīng)驗.深入研究教材中的數(shù)學(xué)思想，能幫助我們從數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展出發(fā)，開展數(shù)學(xué)教育；能幫助我們把數(shù)學(xué)知識設(shè)計成更適合教學(xué)的，這是對思想教育工作者的一種提升，也可以更好地幫助我們教給學(xué)生數(shù)學(xué)化的眼光和思維方式.這也是米山國藏所說的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的目的應(yīng)該指向“即使學(xué)生時代非實用性的數(shù)學(xué)知識忘得一干二凈，但那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化理念，卻會長期地發(fā)揮作用.也就是說，他們當(dāng)年所受到的數(shù)學(xué)訓(xùn)練一直會在他們的生存方式和思維方式中潛在地起著根本的作用，并且受用終身”.

二、模型思想

“課標(biāo)”中十大關(guān)鍵詞中對模型思想的定義是：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.”

搜狗百科指出：數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel），是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu).也就是用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的，用于描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

沈文選指出：“數(shù)學(xué)模型可以描述為……運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”“數(shù)學(xué)模型……也包括……數(shù)學(xué)概念、各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等”.

結(jié)合三者觀點，筆者認(rèn)可沈文選所說的“整個數(shù)學(xué)也可以說是專門研究數(shù)學(xué)模型的科學(xué)”.既然數(shù)學(xué)是通過抽象從現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則，那么抽象的結(jié)果就是形成概念、形成關(guān)系、形成法則定理，其結(jié)果與模型的定義是一致的，也就是說，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果就是數(shù)學(xué)模型.在初中階段，這個模型并不僅僅是《數(shù)學(xué)思想概論》叢書中提到的數(shù)學(xué)概念和運算法則，也不只是“課標(biāo)”定義的方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的代數(shù)模型，應(yīng)該還包括幾何圖形和體現(xiàn)各種統(tǒng)計意義的統(tǒng)計模型.概言之，模型可以包含數(shù)學(xué)的所有知識.

推理是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展所依賴的思維工具.其中演繹推理用來驗證知識的正確性，而發(fā)現(xiàn)知識更多需要依賴合情推理，也就是從諸多表面現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想.合情推理這種思維方式也不是憑空產(chǎn)生的.它需要有經(jīng)驗的積累和敏銳的觀察能力，這是我們可以和學(xué)生一起在日常的教與學(xué)的活動過程中習(xí)得的.通過從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，從數(shù)學(xué)到符號，這些經(jīng)驗的積累，形成了合情推理的能力，在新的問題情境中，學(xué)生能將以往解決問題時積累的經(jīng)驗類比遷移到新情境的問題解決中.

對現(xiàn)實問題進行抽象，就是一個合情推理的過程，有了數(shù)學(xué)模型，還得將模型應(yīng)用于解決問題，這是數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用價值的體現(xiàn).數(shù)學(xué)之所以具有廣泛的應(yīng)用價值，之所以成為社會發(fā)展必不可少的文化工具，就是它從諸多表面現(xiàn)象中抽象出了最本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在抽象的基礎(chǔ)上通過合情推理和演繹推理得到數(shù)學(xué)的概念和法則；通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展；通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系.

學(xué)生在建立模型時，一定要基于對事實材料的特征分析，抽象出其本質(zhì)屬性，而應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，也需要分析實際問題的背景是否符合選用模型的使用范圍.

三、結(jié)構(gòu)特征

結(jié)構(gòu)，是指事物自身各種要素之間的相互關(guān)聯(lián)和相互作用的方式，包括構(gòu)成事物要素的數(shù)量比例、排列次序、結(jié)合方式和因發(fā)展而引起的變化，這是事物的結(jié)構(gòu).事物結(jié)構(gòu)的存在不但使人們能研究它，同時也能駕駛它.

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)包括：純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)教育結(jié)構(gòu)、微觀層面上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)模型能表現(xiàn)出具有相同結(jié)構(gòu)的事物數(shù)學(xué)化的同質(zhì)屬性.初中階段研究模型思想，更多研究的是微觀層面上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等內(nèi)容.

特征是指某種事物所特有的外在表現(xiàn)，是一事物不同于其他事物的特點，是人或事物可供識別的特殊的標(biāo)志，一個客體或一組客體特性的抽象結(jié)果.

本文中的結(jié)構(gòu)特征是指具體數(shù)學(xué)模型的外部特征，是組成模型整體的各部分的搭配方式的特性.

從建立模型的角度講，學(xué)生要學(xué)會摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟，首先就要從觀察入手.以代數(shù)的建模為例，就是要自覺有序地觀察具體式子（方程、不等式、代數(shù)式、解析式等）的結(jié)構(gòu)，分析是由哪些部分組成的，挖掘其中的共性，抽象形成模型.

從應(yīng)用模型解決問題的角度講，學(xué)生要學(xué)會用結(jié)構(gòu)化的眼光審視問題的結(jié)構(gòu)，判斷其符合哪個數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)特征，尋找到已知和未知的聯(lián)系，進而設(shè)計解決問題的思路，選用合適的模型來解決問題，找到問題的破解方向.

因此，無論是建立模型還是應(yīng)用模型，都需要分析問題的結(jié)構(gòu)特征.這不正是在運用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，運用數(shù)學(xué)的思維方式來解決問題嗎？這不正是“課標(biāo)”提出的數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)就是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維方式發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、解決問題嗎？

四、基于結(jié)構(gòu)特征的模型思想教學(xué)案例分析

齊民友先生曾指出：我們必須注意數(shù)學(xué)家所用的工作方式，并圍繞它，而不是圍繞著數(shù)學(xué)家工作的結(jié)果來組織教學(xué).學(xué)生需要的是走到模型構(gòu)建的內(nèi)部去看個明白，而重新經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程是最好的“看個明白”.這也是我們在教學(xué)過程中必須面對的，學(xué)生當(dāng)下需要什么樣的教學(xué)？需要獲得哪些“知識”？此處的“知識”肯定不是純粹的數(shù)學(xué)知識，而必須是能在其將來的學(xué)習(xí)與工作中發(fā)揮作用的“知識”，這個更多是學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維方式.

1.結(jié)構(gòu)特征在代數(shù)模型建構(gòu)與應(yīng)用過程中的作用

學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的時候，一定是基于對事實材料的特征分析.抽象什么來建立模型，或者應(yīng)用模型解決問題，也需要分析實際問題的背景是否符合該模型的使用范疇.

案例1：人教版九年級上冊第二十一章《一元二次方程》.

教材在P2和P3都提出一個問題“方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？”這個問題就是在引導(dǎo)學(xué)生觀察具體方程的結(jié)構(gòu)特征：方程是由哪些元素組成的？其中的次數(shù)特征是什么？教材中舉出形如“4x2=9”“x2+3x= 0”“3y2-5y=7-y”的方程，并用文字描述這些具體的方程具有“等式”“一元”“最高次數(shù)為2”的特征后，直接給出一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0（a≠0）”.但是為什么一元二次方程的一般形式是這樣的，教材中并未予以解釋.

從具體實例中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)要作為一元二次方程，首先必須是方程，也就是要有等號；其次必含有ax2（a≠0）.為什么抽象成“ax2+bx+c=0（a≠0）”的模型？因為此時在模型的組成元素的排列形式上滿足了“最簡、有序、普適”的原則.也就是說這個模型能涵蓋各種化簡后的一元二次方程，雖然教材中沒有解釋為什么模型要有此特征，但是我們在教學(xué)中是可以引導(dǎo)學(xué)生的.為了對模型進行深入研究，給出更多的同樣具有普適性的結(jié)論，用于解決更多具體問題，模型本身必須具有普適性，而有序是普適性的一個表面特征.

在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)正是在抽象一元二次方程模型時，缺乏對模型結(jié)構(gòu)特征的梳理，才導(dǎo)致學(xué)生遇到具體的一元二次方程時，缺乏把具體方程整理成有序的符合模型結(jié)構(gòu)特征的形式的意識，這種意識的缺乏也導(dǎo)致學(xué)生在解決其他二次式的相關(guān)問題時，會出現(xiàn)一系列的錯誤.

也就是說要應(yīng)用模型，就得辨析清楚模型的結(jié)構(gòu)特征.要在符合模型結(jié)構(gòu)特征的前提下使用模型，不符合的必須經(jīng)過轉(zhuǎn)化，使之符合模型的結(jié)構(gòu)特征；確實無法符合的，就不能使用模型.例如在解決一元二次方程的大多數(shù)問題時，必須將方程整理成一般形式，從而確定a、b、c的具體數(shù)值，以便在具體問題中直接代入公式解決問題.

如何將模型思想滲透在日常教學(xué)中？這是“課標(biāo)”提出的一個教學(xué)任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教育的一個本質(zhì)任務(wù).

初中的數(shù)學(xué)教學(xué)如果依然側(cè)重于學(xué)習(xí)前人建立好的現(xiàn)成模型，則整個師生的教與學(xué)的活動都是被動的，不能對學(xué)生的創(chuàng)新意識的形成有幫助作用.初中教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模并不只是局限于針對實際背景的問題，它可以是對數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”的建構(gòu)過程.采用純數(shù)學(xué)問題的模型建構(gòu)，等于是直接將實際問題中與模型無關(guān)的屬性去除，讓學(xué)生能關(guān)注核心問題，這樣的處理方式符合初中階段學(xué)生的認(rèn)知心理，也是該階段學(xué)生能做到的數(shù)學(xué)建模.

2.經(jīng)歷結(jié)構(gòu)特征的觀察與提煉，積累建模經(jīng)驗

初中階段的數(shù)學(xué)建模針對已經(jīng)摒棄了無關(guān)元素的理想狀態(tài)，但要“創(chuàng)造”出一個數(shù)學(xué)模型，依然是一個巨大的挑戰(zhàn).

初中階段學(xué)生的模型建構(gòu)需要基于一定的經(jīng)驗，這需要老師在多次模型建構(gòu)的過程中引導(dǎo)，使之成為學(xué)生的一個學(xué)習(xí)和思考的習(xí)慣.其中對結(jié)構(gòu)的特征觀察與提煉就是一個非常重要的部分.

案例2：人教版七年級上冊P28-29《1.4.1有理數(shù)的乘法》.

教材引導(dǎo)學(xué)生：觀察下面的乘法算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

3×3=9；

3×2=6；

3×1=3；

3×0=0.

教師要引導(dǎo)學(xué)生橫向觀察所給材料共同的結(jié)構(gòu)特征：都是表示“兩個數(shù)相乘=積”的等式，每一個等式都是這樣的結(jié)構(gòu).再縱向觀察每個等式之間的聯(lián)系：被乘數(shù)都一樣是3，乘數(shù)依次遞減1，積依次遞減3.

要使這個規(guī)律在引入負(fù)數(shù)后仍然成立，那么就應(yīng)有：

3×（-1）=-3；

3×（-2）=_________；

3×（-3）=_________.

引導(dǎo)學(xué)生由此有序的規(guī)律猜想結(jié)論可能是-6和-9.

接下來的思考依然可以如此處理.

3×3=9；

2×3=6；

1×3=3；

0×3=0；

（-1）×3=_________；

（-2）×3=_________

（-3）×3=_________.

猜想出結(jié)論后，還需要驗證和說理.

此處的說理有兩種形式.一種是根據(jù)乘法的意義“幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”，可以記為“加數(shù)×個數(shù)=積”，這是學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)學(xué)過的定義，學(xué)生也是可以接受的.一種是利用數(shù)軸上點的運動加以解釋，如“（-3）×2”表示“走2次，每次走-3格”，像這樣引入另一個形式的模型來加以解釋，從而達到驗證的目的.

在觀察結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生用抽象的概括性的語言對每一個乘數(shù)，以及運算的結(jié)果加以描述，從而獲得局部的有理數(shù)乘法法則：“正數(shù)乘正數(shù)，積是正數(shù)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，積是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，積是負(fù)數(shù).積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.”

后續(xù)同理對負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)進行探究.

3.有序整理素材，突出結(jié)構(gòu)特征

正如沈文選在《從數(shù)學(xué)建模走向能力卓越》一文中提到的“建立數(shù)學(xué)模型是一種積極的思維活動，……大體要經(jīng)過分析與綜合、抽象與概括、歸納與類比、系統(tǒng)化與具體化的過程”.

提高建模能力，需要對材料進行處理，也就是要分析材料的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)一定的原則與順序?qū)Σ牧线M行整理，使材料的特征更為突出.

案例3：請觀察這些具有某種特殊規(guī)律的勾股數(shù)：

6，8，10；10，24，26；4，3，5；8，15，17；12，35，37等．

現(xiàn)用2n表示具有這種特殊規(guī)律的三個勾股數(shù)中的第一個，請用含n的代數(shù)式表示這種勾股數(shù)中后面的兩個：2n，_________，_________（n是大于1的整數(shù)）．

這是初中數(shù)學(xué)的一道習(xí)題.學(xué)生在解決這個問題時都被難住了.但是我們把材料進行有序的整理，如下：

4，3，5；

6，8，10；

8，15，17；

10，24，26；

12，35，37.

這樣學(xué)生就陸陸續(xù)續(xù)能獨立解決問題，建立出相應(yīng)的模型.此例告訴我們，具體材料的有序梳理是非常重要的.

如果我們在日常教學(xué)中能將每一個知識的探究過程都變成一個學(xué)生學(xué)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型的過程，那么就找到了適合初中學(xué)生的培養(yǎng)模型思想的良好載體.只有從這個角度去看待教材和“課標(biāo)”中的知識點，才能真正上出有數(shù)學(xué)味道的課，從而使學(xué)生逐漸學(xué)會“數(shù)學(xué)”地觀察世界以及處理和解決問題.

結(jié)合結(jié)構(gòu)特征研究模型思想，提高學(xué)生的歸納能力和建構(gòu)水平，形成運用數(shù)學(xué)的思維方式思考的習(xí)慣，有助于教師分析教材文字背后的編輯意圖，和學(xué)生一起學(xué)會抽象，構(gòu)建模型；更有助于提高對初中數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)認(rèn)識.只有在加深對數(shù)學(xué)本身的理解和感悟，吃透學(xué)科內(nèi)容本身的基礎(chǔ)上，才能產(chǎn)生教育教學(xué)的見解.

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3.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第2輯）：圖形與圖形關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2009.

4.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第3輯）：數(shù)學(xué)中的演繹推理［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2009.

5.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第4輯）：數(shù)學(xué)中的歸納推理［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2010.

6.沈文選.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

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