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        新定義題破題策略與命題商榷
        ——以北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期測試卷第25題為例

        2015-05-13 07:09:24山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級中學(xué)閆守范
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年6期
        關(guān)鍵詞:破題坐標(biāo)軸測度

        ☉山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級中學(xué) 閆守范

        新定義題破題策略與命題商榷
        ——以北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期測試卷第25題為例

        ☉山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級中學(xué) 閆守范

        眾所周知,北京市中考數(shù)學(xué)卷已連續(xù)多年在最后一題的位置上設(shè)計原創(chuàng)的新定義題,這種命題導(dǎo)向引發(fā)了其他地區(qū)新定義題型的命題跟進(jìn),“上有所好,下必迎合”,在應(yīng)試復(fù)習(xí)仍然嚴(yán)重的當(dāng)下,特別是北京市各區(qū)的模擬考卷常常也在關(guān)鍵位置設(shè)計出新定義考題,為考生提前做好預(yù)熱.本文以新近一道北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期期末考試中的最后一題為例,講解破題策略,最后再由這道習(xí)題出發(fā),談?wù)勥@類問題的命題商榷意見,與大家研討.

        一、新定義題的破題策略

        例1(2014-2015年北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期期末卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2)是圖形W上的任意兩點.

        定義圖形W的測度面積:若|x1-x2|的最大值為m,|y1-y2|的最大值為n,則S=mn為圖形W的測度面積.

        例如,若圖形W是半徑為1的⊙O.當(dāng)P、Q分別是⊙O與x軸的交點時,如圖1,|x1-x2|取得最大值,且最大值m= 2;當(dāng)P、Q分別是⊙O與y軸的交點時,如圖2,|y1-y2|取得最大值,且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4.

        圖1

        圖2

        (1)若圖形W是等腰Rt△ABO,OA=OB=1.

        ①如圖3,當(dāng)點A、B在坐標(biāo)軸上時,它的測度面積S= ________;

        圖3

        圖4

        ②如圖4,當(dāng)AB⊥x軸時,它的測度面積S=________.

        (2)若圖形W是一個邊長為1的正方形ABCD,則此圖形的測度面積S的最大值為________.

        (3)若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD,求它的測度面積S的取值范圍.

        思路講解:

        第一步,理解定義好起步.

        初讀所謂的“測度面積”有些晦澀,不太好理解,這時需要認(rèn)真閱讀題目所配例子,那個圓的圖形測度面積可以加深對新定義的理解.再進(jìn)入第(1)問第①小問的求解,△AOB的三個頂點的坐標(biāo)分別為(1,0)、(0,0)、(0,1),這樣,|x1-x2|的最大值m就是AO的值1,|y1-y2|的最大值n是BO的值1,于是“測度面積”S=mn=1.

        第二步,并列問題實遞進(jìn).

        第(2)問看似與上一問無關(guān),并列式設(shè)問,其實只是把第(1)問中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個正方形繼續(xù)探究,分兩種情況思考:

        如圖5,|x1-x2|的最大值m就是正方形的邊長1,|y1-y2|的最大值n是正方形的邊長1,于是“測度面積”S=mn=1.

        如圖6,|x1-x2|的最大值m就是正方形的對角線的長,|y1-y2|的最大值n是正方形的對角線的長于是“測度面積”S=mn=2.

        圖5

        圖6

        第三步,拓展生長需挑戰(zhàn).

        第(3)問從上一問正方形變式為矩形,問題也改為求“測度面積”的范圍,可以分別思考其上限、下限.

        以下給出網(wǎng)絡(luò)上流行的所謂“參考答案”:

        不妨設(shè)矩形ABCD的邊AB=4,BC=3.由已知可得,平移圖形W不會改變其測度面積S的大小,將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上.

        當(dāng)頂點A、B或B、C都在x軸上時,如圖7和圖8,矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積,此時S取得最小值,且最小值為12.

        圖7

        圖8

        圖9

        上面通過分類思考圖7、圖8兩種情況,它們的共同點就是矩形的兩邊分別與坐標(biāo)軸平行(含重合)時,這樣矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的長、寬的積.

        然而將矩形的位置旋轉(zhuǎn)一定的角度后,如圖9,當(dāng)頂點A、C都不在x軸上時,需要構(gòu)造輔助線進(jìn)行思考,可以過點A作直線AE⊥x軸于點E,過點C作直線CF⊥x軸于點F,過點D作直線GH∥x軸,與直線AE、CF分別交于點H和G,則可得四邊形EFGH是矩形.

        當(dāng)點P、Q分別與點A、C重合時,|x1-x2|取得最大值m,且最大值m=EF;

        當(dāng)點P、Q分別與點B、D重合時,|y1-y2|取得最大值n,且最大值n=GF.

        要注意,這里分別探究EF、GF的最大值意義并不大,而需要整理思考圖形W的測度面積S=EF·GF的最大值.

        因為∠ABC=90°,所以∠ABE+∠CBF=90°.

        因為∠AEB=90°,所以∠ABE+∠BAE=90°,所以∠BAE=∠CBF.

        設(shè)AE=4a,EB=4b(a>0,b>0),則BF=3a,F(xiàn)C=3b.

        在Rt△ABE中,由勾股定理得AE2+BE2=AB2.

        所以16a2+16b2=16,即a2+b2=1.

        易證△ABE≌△CDG.所以CG=AE=4a.

        解后反思:現(xiàn)在來反思上面的求解,容易發(fā)現(xiàn),最后一問關(guān)于測度面積的最大值是極具挑戰(zhàn)的,主要難點有兩處,第一,能否及時將問題分解為三種情況思考,即圖7、8、9的情況;第二,對于圖9情況的探究,能否引入恰當(dāng)?shù)膮?shù),并對“12+25a進(jìn)行高超的配方變形,這事實上也超越了初中階段數(shù)式變形的要求,一般學(xué)生在考場上是難以順利完成的.

        讓我們認(rèn)真思考第(1)(2)問解題之外能積累的一些經(jīng)驗,是不是可以猜想并確認(rèn)如下性質(zhì):平移圖形W不會改變其測度面積S的大小,只是在旋轉(zhuǎn)時會改變,而且當(dāng)矩形的邊分別與坐標(biāo)軸平行時,測度面積S會取得最小值;而當(dāng)矩形的一邊與坐標(biāo)軸成45°角時,測度面積會取得最大值.

        圖10

        二、后續(xù)思考

        如前所述,由于像北京市中考卷常常在最后一題這樣的位置設(shè)計新定義題的風(fēng)向標(biāo)作用,很多地區(qū)也紛紛效仿,對新定義題過分偏好,出現(xiàn)很多不夠恰當(dāng)?shù)男露x題,比如簡單地將高中階段的某個數(shù)學(xué)概念、公式或性質(zhì)下放到中考試卷;或者個性化地命名所謂的新概念,造成試題的信度、效度不好,以下再圍繞上面這道考題商榷兩點:

        1.“新定義”是否嚴(yán)謹(jǐn)

        該考題的最上面一句話“在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2)是圖形W上的任意兩點”.而“定義圖形W的測度面積:若|x1-x2|的最大值為m,|y1-y2|的最大值為n……”時,容易讓人誤解為y1與x1是嚴(yán)格對應(yīng)的,那樣的話,當(dāng)“若|x1-x2|取得最大值m”時,而|y1-y2|只能跟前面有一個唯一對應(yīng)的值,又怎能取得最大值呢?

        2.拓展生長問題的解法不能“超標(biāo)”設(shè)計

        第(3)問的“網(wǎng)上流傳的解法”如果是命題組提供的話,那么對于超高要求的配方變式顯然屬于“超標(biāo)”設(shè)計,在現(xiàn)行各種教材上也難找到相對應(yīng)的數(shù)式變形的要求,這樣的命題導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)引向繁難,值得商榷.如果采用后續(xù)反思過程中提及的將矩形旋轉(zhuǎn)45°的方法,又有一個麻煩,是否所有矩形的所謂測度面積都是旋轉(zhuǎn)45°后,測度面積獲得最大?理由何在?這只是從前兩問猜想和發(fā)現(xiàn)的一種經(jīng)驗,可見深入思考這個“經(jīng)驗問題”還是有積極價值的.

        1.周艷娟.關(guān)于試題人文價值的另類思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(1).

        2.劉東升.并列式問題與遞進(jìn)式求解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2012(8).

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