☉浙江省寧波市寧波東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳明儒 汪旭英

在活動(dòng)中讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)
——以“余角和補(bǔ)角”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉浙江省寧波市寧波東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳明儒 汪旭英

一、背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).整個(gè)數(shù)學(xué)始終是圍繞著‘?dāng)?shù)’與‘形’這兩個(gè)基本概念的抽象、提煉發(fā)展而成.”這兩句話明確闡述數(shù)學(xué)的本質(zhì)及數(shù)學(xué)是研究什么的一門學(xué)科.同時(shí)又指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程，積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，讓學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的實(shí)踐時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.”這又是對(duì)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)的要求.“余角和補(bǔ)角”這個(gè)課例，雖然屬于“圖形與幾何”的初始階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，實(shí)際的教學(xué)過程中大多數(shù)教師側(cè)重于兩者之間的數(shù)量關(guān)系，忽視數(shù)與形的溝通與轉(zhuǎn)化；側(cè)重于性質(zhì)應(yīng)用過程中的演繹，輕視性質(zhì)歸納過程中的合情推理；側(cè)重教師的預(yù)設(shè)，漠視教學(xué)過程中自然生成的資源.針對(duì)這種狀況，筆者通過活動(dòng)體驗(yàn)，采用探究式學(xué)習(xí)方式，對(duì)“余角和補(bǔ)角”嘗試一種新的教學(xué)設(shè)計(jì).

二、教學(xué)分析

1.內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課是浙教版（2012年版）數(shù)學(xué)七上第六章“圖形的初步知識(shí)”第6.8節(jié)的內(nèi)容.它是學(xué)生學(xué)習(xí)了角的相關(guān)內(nèi)容，尤其是學(xué)習(xí)了直角、平角及兩個(gè)角的和與差之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)兩個(gè)角之間的特殊關(guān)系.從知識(shí)順序來看，定義兩個(gè)角的和為一個(gè)直角或?yàn)橐粋€(gè)平角是沒有任何知識(shí)障礙；從邏輯順序來看，有了任意兩個(gè)角的和差學(xué)習(xí)，再切換到兩個(gè)角的和為一個(gè)直角或?yàn)橐粋€(gè)平角，是從一般到特殊的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生也不難理解與掌握.在這個(gè)知識(shí)鏈上，直角無疑扮演著非常重要的角色，后續(xù)內(nèi)容的展開與深入，都與它關(guān)聯(lián).“余角和補(bǔ)角”是“圖形和幾何”中第一次研究?jī)蓚€(gè)角之間的關(guān)系，互余和互補(bǔ)的性質(zhì)又是“圖形和幾何”的第一條性質(zhì)，它將為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，如對(duì)頂角、垂線、相交線、平行線、直角三角形、平行四邊形等性質(zhì)和證明提供依據(jù)和方法.

2.目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：了解余角和補(bǔ)角的概念，通過觀察、歸納、說理得出余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.

（2）過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、操作、探究等過程，初步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，接觸歸納推理、類比推理及初步的演繹推理等套路；同時(shí)體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、方程思想解決簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算題.

（3）情感與態(tài)度目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，初步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)“做中學(xué)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

（4）目標(biāo)解析：以一副三角板為背景，通過兩種不同位置放置，創(chuàng)設(shè)互余、互補(bǔ)概念產(chǎn)生的背景；通過抽離三角板，抽象出互余、互補(bǔ)的概念，凸顯數(shù)學(xué)概念的抽象過程；經(jīng)歷求一個(gè)已知角的余角及補(bǔ)角的過程，并反思互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角之間的關(guān)系，總結(jié)出一個(gè)銳角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大90°這一重要結(jié)論；再經(jīng)歷畫一個(gè)角的余角過程，得出余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、探究等活動(dòng)過程，體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合及特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從數(shù)和形的角度理解概念和性質(zhì)的本質(zhì)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本策略：“歸納—演繹—類比”模式.

3.教學(xué)診斷分析

本節(jié)課最困難的應(yīng)該是余角和補(bǔ)角的性質(zhì)導(dǎo)出及應(yīng)用過程中的說理.教材中只有這樣的背景材料：“填空：（1）∠α的余角=90°-_______.（2）∠β的余角=90°-_______.當(dāng)∠α=∠β時(shí)，就有∠α的余角與∠β的余角相等.也就是說：同角或等角的余角相等.同樣可以得到：同角或等角的補(bǔ)角相等.”顯然教材的處理簡(jiǎn)潔明了，但對(duì)剛學(xué)幾何的七年級(jí)學(xué)生來說，太抽象、太籠統(tǒng)，且沒有“同角的余角相等”性質(zhì)的歸納和說理的過程，這給教師個(gè)性化地處理教材提供了空間.基于這樣的事實(shí)，筆者設(shè)計(jì)三個(gè)活動(dòng)，分步探究的教學(xué)設(shè)計(jì)（具體見“教學(xué)過程設(shè)計(jì)”），這樣層層遞進(jìn)、逐步理解的設(shè)計(jì)，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，又讓學(xué)生初步積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略：“歸納—演繹—類比”模式.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.合作學(xué)習(xí)，在操作和交流中引入新知

活動(dòng)1：將一副三角板按如圖1所示擺放，觀察并思考.

問題1：∠1和∠2、∠3和∠4分別有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖2

問題2：隱去三角板，將其中兩個(gè)角經(jīng)過一定位置移動(dòng)后，如圖2，∠1和∠2、∠3和∠4又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？你是怎樣判斷的？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平和以往教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生可能會(huì)提出，用量角器量出這四個(gè)角，然后計(jì)算∠1+∠2、∠3+∠4，從“數(shù)”的角度來描述互余、互補(bǔ)的概念；學(xué)生也有可能會(huì)提到，可以把角轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、拼一拼看是否能得到直角或平角，從“形”的角度來解釋互余或互補(bǔ)的數(shù)量關(guān)系.教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)，并板書互余、互補(bǔ)的概念，并將圖形語言和文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，將數(shù)量關(guān)系進(jìn)行板書.

若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余；反之，若∠1與∠2互余，則∠1+∠2=90°.

若∠3+∠4=180°，則∠3與∠4互補(bǔ)；反之，若∠3與∠4互補(bǔ)，則∠3+∠4=180°.

設(shè)計(jì)思考：概念的引入，借用學(xué)生最熟悉的學(xué)習(xí)工具三角板，低起點(diǎn)，可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，為精彩課堂熱身.通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷余角、補(bǔ)角概念的發(fā)生、形成過程.余角、補(bǔ)角的數(shù)量關(guān)系采用正反兩反面來敘述，滲透幾何定義，既可以作為性質(zhì)又可以作為判定的基本說理方式.讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，感受數(shù)學(xué)來源于生活的道理.

2.及時(shí)反饋，在練習(xí)和反思中加深理解

活動(dòng)2：（1）填一填.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：填表時(shí)可能出現(xiàn)75°的余角為25°，137°的補(bǔ)角為33°的情形，提醒學(xué)生從概念出發(fā)，強(qiáng)調(diào)互余兩角和為90°，互補(bǔ)兩角和為180°，通過求直角或鈍角的余角，讓學(xué)生體會(huì)只有銳角才有余角.

（2）議一議.

問題1：90°的角叫余角，180°的角叫補(bǔ)角？

問題2：如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2與∠3互補(bǔ)？

問題3：同一個(gè)銳角的余角和補(bǔ)角有什么關(guān)系？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生回答問題1和2可能會(huì)出錯(cuò)，該兩問讓學(xué)生模糊，使錯(cuò)誤的想法暴露出來，師生共同探討，共同理清概念中“互為”的本質(zhì).最后從特殊角到一般角的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生歸納一個(gè)銳角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角加90°.

（3）算一算.

問題1：已知一個(gè)角是這個(gè)角的余角的2倍，則這個(gè)角的度數(shù)為___________.

問題2：已知一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù).

問題3：已知一個(gè)角的補(bǔ)角加上20°后是這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角的度數(shù).

活動(dòng)預(yù)設(shè)：表格的設(shè)計(jì)讓數(shù)據(jù)變得更為直觀，便于觀察比較，因此，前兩個(gè)問題都可以從表格中找答案，也可以用算術(shù)方法解答，但第三個(gè)問題學(xué)生用算術(shù)方法遇到困難，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用方程解題.具體解答過程中，可以直接設(shè)這個(gè)角為x°，列出方程求解；也可以利用上一題歸納的結(jié)論，設(shè)這個(gè)角的余角為x°，則這個(gè)角的補(bǔ)角是（90+x）°，列出方程求解.

設(shè)計(jì)思考：新概念的學(xué)習(xí)需要及時(shí)鞏固，適當(dāng)?shù)木毩?xí)有助于概念的內(nèi)化.通過填一填、議一議、算一算三個(gè)環(huán)節(jié)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)互余、互補(bǔ)概念的理解.通過填表的形式，可以使問題更簡(jiǎn)明，求解更方便，驗(yàn)證更直觀.從特殊角度的計(jì)算，再到一般余角、補(bǔ)角的計(jì)算，不斷將學(xué)生的思維引向深刻，可謂一表三用.“算一算”中第二小題是書本例2的原題，本題可用方程，也可用算術(shù)方法進(jìn)行求解，也可以用表中的角嘗試檢驗(yàn).因此，筆者增設(shè)第三小題，在解法開放的情景中，讓學(xué)生體驗(yàn)方程的思想.

3.開放探究，在探索和思辨中構(gòu)建新知

探究1：畫一畫，已知∠1（如圖3），請(qǐng)畫出它的余角.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：每位同學(xué)都有一張圖3操作紙，學(xué)生可能會(huì)畫出圖4~圖7這四種情形.教師將學(xué)生的作品一一展示在黑板上，如果畫不全，教師補(bǔ)充.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

探究2：比一比.

問題1：將你畫出的角和你的同桌比較一下，所畫∠1的余角大小又有什么關(guān)系呢？以圖4為例，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

問題2：如圖8，已知∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1=∠3，問：∠2與∠4相等嗎？你們又有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

圖8

活動(dòng)預(yù)設(shè)：?jiǎn)栴}1引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：同角的余角相等，因?yàn)椤?+∠2=90°，∠1+∠3=90°，所以，∠2=∠3.問題2引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：等角的余角相等，因?yàn)椤?+∠2=90°，∠3+∠4=90°，又因?yàn)椤?=∠3，所以∠2=∠4.

探究3：小組合作，歸納交流.

如果把剛才性質(zhì)中的“余角”改為“補(bǔ)角”，你又能提出什么問題？請(qǐng)結(jié)合圖形，說說你的理由.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生可以根據(jù)探究1畫圖得出同角的補(bǔ)角相等，類比探究2得出等角的補(bǔ)角相等，即同角或等角的補(bǔ)角相等，并將該性質(zhì)的說理過程寫在黑板上.

設(shè)計(jì)思考：數(shù)學(xué)家斯托利亞爾說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)與其說是數(shù)學(xué)結(jié)果的教學(xué)，不如說是數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的教學(xué).”因此，通過活動(dòng)3的預(yù)設(shè)，讓學(xué)生不但獲取余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，而且讓學(xué)生體會(huì)性質(zhì)的產(chǎn)生、形成過程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、類比思想，積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).開放探究環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)體現(xiàn)“做中學(xué)”的理念，探究過程始終圍繞“形”和“數(shù)”兩方面展開，讓學(xué)生通過畫一畫、算一算，經(jīng)歷觀察、猜想、計(jì)算、驗(yàn)證的過程，再一次體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，也體驗(yàn)到“歸納—演繹—類比”模式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.

4.運(yùn)用提高，在實(shí)踐和創(chuàng)新中形成能力

例1如圖9，已知∠AOC=∠COD=90°，作∠2的余角∠3，問：圖中除了直角外，還有哪些角相等？并說明理由.

圖9

設(shè)計(jì)思考：課堂的有效性首先是雙基的落實(shí).本題是書本例1的一種延伸，借用黑板上的圖7，由易到難逐步突破難點(diǎn)，此題的價(jià)值是鞏固性質(zhì)，學(xué)習(xí)說理，強(qiáng)化基本圖形.

例2如圖10，射線OA表示北偏西30°（一般不說成“西偏北60°”）方向，你能用類似的方法畫圖表示下列各方向嗎？

圖10

（1）北偏東40°.

（2）南偏西50°（一般不說成“西偏南40°”）.

（3）東南方向（即南偏東45°）.

在圖中畫出上述方向后，請(qǐng)用數(shù)字標(biāo)注圖中互余或互補(bǔ)的角，并把它們列舉出來（只需分別列舉出兩對(duì)）.

設(shè)計(jì)思考：本題原是書本中的探究活動(dòng)，考慮到象限角是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，作為課堂中備選的例題，看時(shí)間而定.由于象限角表示方位時(shí)，常會(huì)涉及角的互余和互補(bǔ)，所以給出書本中表示方位的探究活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.

5.歸納小結(jié)，在回顧與反思中鞏固新知

填表：

設(shè)計(jì)思考：小結(jié)以表格的形式出現(xiàn)，由學(xué)生自主完成.目的是通過整理，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

四、設(shè)計(jì)反思

1.多重理解，凸顯本質(zhì)

教學(xué)設(shè)計(jì)要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體思考，站在知識(shí)系統(tǒng)的高度去理解.首先，在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).整節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)都是圍繞著“數(shù)”與“形”這兩個(gè)基本概念展開，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).如“余角和補(bǔ)角”概念的形成，先出現(xiàn)通過一副三角板，構(gòu)造出一對(duì)余角、一對(duì)補(bǔ)角，然后引導(dǎo)學(xué)生通過度量和疊合得出兩對(duì)角的度數(shù)和分別為90°和180°.其次，在理解教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).原教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)是先學(xué)習(xí)概念，再學(xué)習(xí)性質(zhì)，最后是應(yīng)用.如果這樣去設(shè)計(jì)教學(xué)流程，發(fā)現(xiàn)教學(xué)展開不流暢、不自然，尤其是最后的應(yīng)用，是為應(yīng)用而應(yīng)用，因此，才有以上的教學(xué)設(shè)計(jì).最后，在理解數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)思考.有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的和諧統(tǒng)一.這節(jié)課中，教師始終是組織者、引導(dǎo)者，學(xué)生在教師的活動(dòng)安排下有序展開思考、探究等活動(dòng)，經(jīng)歷概念的發(fā)生、形成及應(yīng)用，以及性質(zhì)的歸納與應(yīng)用的全過程.

2.突出活動(dòng)，側(cè)重體驗(yàn)

《義務(wù)教務(wù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“活動(dòng)是體現(xiàn)過程的載體之一，活動(dòng)的基本特征之一是‘動(dòng)’，手動(dòng)、體動(dòng)、腦動(dòng)；另一個(gè)是‘活’，多樣才能活，對(duì)比才能活.”本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)有兩條主線，一明一暗.明線顯然是學(xué)生的“活動(dòng)”，總體上設(shè)計(jì)了四個(gè)大的母活動(dòng)，每個(gè)母活動(dòng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序及數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯順序，又設(shè)計(jì)一些子活動(dòng).如“活動(dòng)2”中的（1）填一填；（2）議一議；（3）算一算.通過這些活動(dòng)，讓學(xué)生去經(jīng)歷、體驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、討論、交流.數(shù)學(xué)的體驗(yàn)不僅在小組合作、動(dòng)手操作中，也蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)問題的分析、思考解決的過程中.如：“同一個(gè)銳角的余角和補(bǔ)角有什么關(guān)系？”“已知∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1=∠3，問：∠2與∠4相等嗎？”通過這些問題，引發(fā)學(xué)生的思考，通過思考，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值，培育學(xué)生的理性精神和創(chuàng)新意識(shí).暗線就是整節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)都是圍繞著“數(shù)”與“形”這兩個(gè)基本概念展開.

3.靈動(dòng)設(shè)計(jì)，注重細(xì)節(jié)

教學(xué)是技術(shù)，技術(shù)的關(guān)鍵詞是設(shè)計(jì)，因此，教師預(yù)設(shè)學(xué)生探究活動(dòng)的路徑顯得尤為重要.如學(xué)習(xí)“余角和補(bǔ)角的性質(zhì)”，實(shí)施一個(gè)活動(dòng)，分三步探究的靈動(dòng)設(shè)計(jì).由此層層遞進(jìn)、逐步理解，課堂的有效性得到了保障.在把握整體教學(xué)結(jié)構(gòu)的情況下，筆者也對(duì)教學(xué)流程中的細(xì)節(jié)也給予足夠的關(guān)注.如求一個(gè)角的余角與補(bǔ)角，采用填表的形式，這樣能幫助學(xué)生更直觀地歸納出“一個(gè)銳角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大90°”，體現(xiàn)圖表有助于數(shù)學(xué)理解的功效；表中設(shè)計(jì)中，角度的設(shè)置了75°和137°兩個(gè)非特殊角，因?yàn)檫@樣的角的余角和補(bǔ)角是學(xué)生最容易求錯(cuò)的.還有將原來在性質(zhì)后的學(xué)習(xí)例2調(diào)整到“活動(dòng)2”中的“算一算”，這種細(xì)微的調(diào)整.使教學(xué)流程更自然連貫，并且在它前面加一個(gè)相對(duì)容易的問題（即搭一個(gè)腳手架），在后面再追加一個(gè)數(shù)量關(guān)系更復(fù)雜的問題，目的是體現(xiàn)方程思想的重要性.這樣的細(xì)節(jié)處理，是為整體服務(wù)，為有效課堂服務(wù).

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級(jí)上冊(cè)）［M］.杭州：浙江教育出版社，2012.

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