☉浙江省舟山南海實驗初中 張宏政

整體設(shè)計、自主探究、拓展思維
——等腰三角形概念及性質(zhì)探究的教學(xué)實錄與說明

☉浙江省舟山南海實驗初中 張宏政

2014年9月25日，學(xué)校教研組要筆者開設(shè)一堂組內(nèi)觀摩課，借此來一起研究“學(xué)為中心”理念下數(shù)學(xué)課堂的組織形態(tài)問題.按照教學(xué)進(jìn)度是上浙教版八上教材第二章特殊三角形中第2節(jié)等腰三角形的概念.但筆者在仔細(xì)研讀教材后，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重組設(shè)計，并取得了較好的課堂教學(xué)效果.現(xiàn)將它整理出來，以饗讀者，也歡迎廣大同仁批評指正.

一、目標(biāo)定位與學(xué)情分析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過分類理解等腰三角形的概念，并能正確識別；

（2）探索并證明等腰三角形的性質(zhì)；

（3）應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)解決一些簡單的幾何證明問題.

2.教學(xué)重點(diǎn)

等腰三角形的概念與性質(zhì)探索是本節(jié)課的重點(diǎn)，其中性質(zhì)證明是本節(jié)課的難點(diǎn).

3.學(xué)情分析

筆者任教的八（1）班是年段10個平行班中的1個.我校從2002年開始就對八、九年級施行數(shù)學(xué)、科學(xué)間的A、B班分層教學(xué).本次開課的是八（1）班的A班25名學(xué)生，七年級（下）期末數(shù)學(xué)年段平均分為85.88分，八（1）班的平均分為87.56分，而A班學(xué)生的平均分為92.84分.一年多來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與熏陶，這些學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣普遍濃厚，思維活躍，學(xué)習(xí)能力也較強(qiáng)，同時，對幾何的整體框架與基本研究思路已有了初步的了解，小學(xué)里對等腰三角形的知識也有所涉及，這就為筆者整合教材提供了堅實的基礎(chǔ).

二、課堂實錄

1.開門見山，直指概念

（請學(xué)生朗讀）定義、性質(zhì)、判定——幾何研究的三個內(nèi)容；觀察、猜想、論證——幾何學(xué)習(xí)的基本途徑.

師：大家都知道，幾何是一門直觀與邏輯相結(jié)合的學(xué)科.下面就讓我們從觀察開始進(jìn)入到今天的學(xué)習(xí)之中（出示圖1與問題）.

圖1

觀察圖1中的6個三角形，你認(rèn)為是否存在特殊的三角形.若存在，是哪幾個？特殊在什么地方？

生1：我認(rèn)為②③⑥是一類，它們都有兩條邊相等；⑤也是一類，它的三邊相等.

師：大家都同意他的觀點(diǎn)嗎？

生2：三邊相等其實也可以包含在兩邊相等之內(nèi)，所以②③⑤⑥都可以算一類.

師（看到個別學(xué)生還有一點(diǎn)疑惑）：哦，看來個別學(xué)生還有疑惑.舉個例子吧，今天有很多老師來聽課，那么聽課的女老師是老師嗎？

生眾：那當(dāng)然是的.

師：所以，三邊都相等的三角形包含在兩邊相等的三角形中.好，為了研究方便，請給這一類三角形取個名字，并且下一個定義吧.

生眾：叫等腰三角形吧.它的定義是：至少有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.

師：非常好，這樣三角形按邊分類就是：

下面我們來了解等腰三角形的一些概念（PPT呈現(xiàn)）.

如圖2所示，已知△ABC中，AB=AC，則△ABC就是等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊.

兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.

圖2

師：大家是否理解了這些概念呢？讓我們從問題解決中來證實.

做一做：

（1）如圖3，點(diǎn)D在AC上，AB=AC，AD= BD.你能在圖中找到幾個等腰三角形？說出每個等腰三角形的腰、底邊和頂角.

生3：有兩個，分別是△ABC與△ABD.△ABC的腰是AB和AC，底邊是BC，頂角是∠A；△ABD的腰是AD和BD，底邊是AB，頂角是∠ADB.

圖3

師：這位同學(xué)回答得怎樣？別的同學(xué)是否有異議.生眾：回答正確.

師：同學(xué)們理解得都很好，圖中的△BDC并沒有條件支撐，故不能想當(dāng)然地認(rèn)為它也是等腰三角形.請看第（2）題.

（2）已知等腰三角形一邊的長為3，另一邊的長為5，求它的周長.

生4：若腰長為3，則底邊長為5，于是周長=3+3+5= 11；若腰長為5，則底邊長為3，于是周長=5+5+3=13.

師：哦，懂得用分類討論來解決問題，非常不錯.那把題目變一變又如何呢？

（3）已知等腰三角形一邊的長為3，另一邊的長為7，則它的周長又為多少？

生5：周長為17.當(dāng)三邊為7，7，3時，周長為17；當(dāng)三條線段長分別為3，3，7時，因為3+3＜7，所以不能組成三角形.

師：看來，就算是同種類型的問題，也要充分考慮條件不同所帶來的變化.下面就讓我們一起來研究等腰三角形的性質(zhì)吧.

2.操作實踐，自主探究

猜想、驗證、證明：

如圖4，已知△ABC中，AB=AC.

（1）通過觀察，你認(rèn)為等腰三角形有哪些性質(zhì)？

生眾：∠B=∠C.（師板書：猜想∠B=∠C）

（2）請你通過操作驗證你的猜想.

圖4

（3）由操作方法，你是否想到了證明的思路？請你完成證明.

給每個小組發(fā)兩張全等的等腰△ABC紙片，操作前提示學(xué)生：若用一張紙片如何驗證，用兩張紙片又該如何驗證？約7分鐘后，小組代表匯報.

生6：用一張紙片，可以通過對折驗證.若用兩張紙片，可以把第一個三角形的∠B與第二個三角形的∠C重疊在一起驗證.

師：那你們組是如何證明的呢？

生6：如圖5，作∠A的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.又因為AB=AC，AD=AD，故△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C.如圖6，因為AB=AC，AC=AB，BC=CB，所以△ABC≌△ACB，所以∠B=∠C.

圖5

圖6

生7（補(bǔ)充道）：也可以用SAS證明，因為還有∠A=∠A.

師：很不錯，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化.兩種方法都是把證明角相等的問題轉(zhuǎn)化成證明全等三角形的問題，可謂殊途同歸.但第一種是把三角形分割成一對全等三角形，第二種則是無中生有，復(fù)制出一對全等三角形，真是條條大道通羅馬啊.那么，通過第一種證明還能得到哪些副產(chǎn)品？

生8：因為△ABD≌△ACD，所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，所以等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高線與中線互相重合.

生9：因為△ABD≌△ACD，所以等腰三角形還是軸對稱圖形，角平分線AD所在直線是它的對稱軸.

師：非常好，這樣我們就從邊、角、重要線段、整體這四個視角分別詮釋了等腰三角形的定義與性質(zhì)（板書……）.下面我們把這些性質(zhì)來鞏固一下.

3.鞏固新知，內(nèi)化方法

用一用：

如圖7，已知△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：DE=DF.

生10：因為AB=AC，所以∠B=∠C.因為D為BC的中點(diǎn)，所以BD=CD.又因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠DFC=90°，所以△BED≌△CFD，所以DE=DF.

師：利用性質(zhì)來證明全等，思路很清晰，掌聲鼓勵一下.還有不同方法嗎？

圖7

生11：如圖8，連接AD，因為AB= AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD平分∠BAC.又因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

圖8

師：由距離相等聯(lián)想角平分線性質(zhì)，進(jìn)而聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，真不錯.看來，思路決定出路啊.還有不同的方法嗎，由兩條高線你還能聯(lián)想到什么？

生12：如圖8，連接AD，因為D為BC的中點(diǎn)，所以S=S.因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以AB·DE=AC·

△ABD△ACDDF.因為AB=AC，所以DE=DF.

師：面積法在幾何證明中有時會有很大用處，值得同學(xué)們好好品味.同時也告訴我們，具備良好的知識結(jié)構(gòu)是多么的重要.下面讓我們來練一練.

（1）如圖9，已知AB=AC，BD=CD，求證：①∠ABD=∠ACD；②AD⊥BC.

生13：①因為AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD，所以∠ABD=∠ACD.

圖9

②因為△ABD≌△ACD，所以∠BAD=∠CAD.因為AB=AC，所以AD⊥BC.

師：還有不同方法嗎？

生14：①的證明還可以由AB=AC得到∠ABC=∠ACB，由BD=CD得到∠ABD=∠ACD，再分別相減得到∠ABD=∠ACD，從而問題得證.

師：從上面的證明分析，大家已經(jīng)明白了證明邊（角）相等的方法，既可以考慮兩個三角形全等，也可以考慮用同一個三角形等邊對等角的方法，關(guān)鍵是要認(rèn)真分析題中的條件.讓我們再看下面的問題.

（2）如圖10，已知△ABC中，AB= AC，BD、CE分別為AC、AB邊上的高線，求證：BD=CE.

生15：因為BD、CE分別為AC、AB邊上的高線，所以∠AEC=∠ADB= 90°.又因為AB=AC，∠A=∠A，所以△AEC≌△ADB，故BD=CE.

圖10

師：能用△BEC≌△CDB來證明嗎？

生15（思考片刻后）：可以的，因為∠BEC=∠CDB= 90°，BC=CB，由AB=AC可得到∠ABC=∠ACB.

師：看來大家對全等的證明方法理解得非常好，還有不同方法嗎？

△ABCAC·BD，又AB=AC，所以BD=CD.

師：哦，如此說來，面積法也應(yīng)該成為求證線段相等的基本方法，大家同意吧.同時，同學(xué)們平時在解題的過程中不應(yīng)該僅僅滿足于完成任務(wù)，而應(yīng)該通過解題來優(yōu)化思維，總結(jié)經(jīng)驗，提煉方法.下面大家就來一起歸納一下本課學(xué)習(xí)的知識與方法吧……（余略）

三、對教學(xué)設(shè)計及課堂實踐的思考

1.對教材內(nèi)容重組的認(rèn)識

先讓我們看看教材的安排，等腰三角形從概念到性質(zhì)共設(shè)計3個課時進(jìn)行探索，其中第1課時是了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的軸對稱性（基于操作基礎(chǔ)之上的感性認(rèn)識）并應(yīng)用，第2課時先探究等腰（等邊）三角形角的性質(zhì)，第3課時再探索等腰三角形的三線合一性質(zhì).同時，教材對等腰三角形的概念是通過“在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過，有兩邊相等的三角形是等腰三角形”這樣一段文字直接給出的，缺少為什么要研究的動因，而教材對性質(zhì)探究的安排，又人為割裂了知識發(fā)生發(fā)展的過程與相互聯(lián)系，按照這樣的設(shè)計展開教學(xué)，容易讓學(xué)生只見樹木，不見森林，難以對幾何的基本研究套路形成清晰而完整的認(rèn)知.就像欣賞一首優(yōu)美的曲子時總是在動聽處嘎然而止，極不自然.于是便有了本課一氣呵成的重組：從若干三角形中尋求特殊（按邊特殊分類）→定義等腰三角形（提出課題）→研究性質(zhì)→觀察猜想→驗證解釋→分析證明→鞏固運(yùn)用→歸納小結(jié).這樣的設(shè)計，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既為后面直角三角形（按角特殊分類）的教學(xué)進(jìn)行了鋪墊，也為今后讓學(xué)生自主研究特殊平行四邊形奠定了必要的方法基礎(chǔ).

2.對等腰三角形性質(zhì)探究及內(nèi)化設(shè)計的說明

本課的教學(xué)重點(diǎn)是等腰三角形性質(zhì)的探究，因此，如何讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)證明思路就是本課的關(guān)鍵事件.事實上，多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗告訴筆者，第一種證明思路學(xué)生容易想到，而第二種證明思路學(xué)生確實不容易想到.于是，本設(shè)計借用了兩張全等的等腰三角形紙片，讓學(xué)生在自主驗證猜想的過程中發(fā)現(xiàn)兩種證明的思路，并在后面的方法對比環(huán)節(jié)讓學(xué)生從思想方法的高度體驗兩種證明思路的本質(zhì)是一致的.值得一提的是，這樣的設(shè)計是可行也是有效的，學(xué)生在后面探究勾股定理逆定理的時候，就比較自然地想到了復(fù)制一個直角三角形進(jìn)行證明.

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維活動的教學(xué)，這就要在課堂上給學(xué)生留下充裕的思考時間.而本課的容量又很大，為克服這對矛盾，就必須在問題的設(shè)計上做到典型、精煉且解法多樣，能滿足學(xué)生鞏固知識，領(lǐng)會方法的目標(biāo).于是筆者僅安排一道內(nèi)涵豐富的例題進(jìn)行鞏固，用兩個習(xí)題進(jìn)行內(nèi)化.課堂實踐表明，學(xué)生的思維空前活躍，有效達(dá)成了教學(xué)目標(biāo).

3.對課堂教學(xué)組織的思考

本課觀摩的初衷是研究“學(xué)為中心”理念下課堂教學(xué)的基本組織形態(tài)，這也是目前課堂教學(xué)變革的熱門話題.但不可否認(rèn)的是，目前的一些課堂變革存在庸俗化、功利化的傾向.特別是一些不管學(xué)科特點(diǎn)的模式化做法從一個極端走向了另一個極端.這里，筆者無意去評論這些現(xiàn)象.只是從數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，學(xué)生思維發(fā)展的目標(biāo)思考，我們的數(shù)學(xué)課堂既要不斷提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性，也要有效發(fā)揮教師啟發(fā)、引領(lǐng)的作用；既要重視學(xué)生的獨(dú)立思考，也要給學(xué)生的合作交流、思維碰撞提供機(jī)會.本課的實踐過程正是以此為指導(dǎo)思想而展開，探究時放開，交流時等待，介入時引導(dǎo)，自主時明確要求.以知識的發(fā)生發(fā)展為線索，以學(xué)生鞏固知識、內(nèi)化方法、體驗思想作為教學(xué)的根本與歸宿.正所謂，一節(jié)好課，其深厚之處一定在于教師對教學(xué)內(nèi)容獨(dú)到的解讀，在于對學(xué)生精準(zhǔn)的理解，在于對教育理念的深刻把握.故此，教學(xué)之美一定是在調(diào)動教與學(xué)雙方力量的過程中產(chǎn)生的.它既是規(guī)律之美，也是藝術(shù)之美.

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