姬秀, 胡傳峰，崔艷麗

(1.長(zhǎng)江大學(xué) 文理學(xué)院, 湖北 荊州 434000; 2．防空兵學(xué)院 訓(xùn)練部，河南 鄭州 450052)

仿射K?hler-Scalar曲率為零的緊致仿射K?hler流形

姬秀1, 胡傳峰1，崔艷麗2

(1.長(zhǎng)江大學(xué) 文理學(xué)院, 湖北 荊州 434000; 2．防空兵學(xué)院 訓(xùn)練部，河南 鄭州 450052)

仿射K?hler-Scalar曲率; Hessian流形; 仿射K?hler流形;

0 引言及主要結(jié)果

眾所周知,J-C-P定理(n=2[1],n≤5[2],n≥2[3])陳述了Monge-Pogorelov方程(1)的任意嚴(yán)格凸光滑解一定是二次多項(xiàng)式.

det(fij)=1.

(1)

設(shè)x:M→An+1是由定義在凸域Ω?An上的某局部嚴(yán)格凸函數(shù)xn+1=f(x1,...,xn)給出的超曲面.李安民和許瑞偉在文獻(xiàn)[4]中證明了:若f滿足(2),則函數(shù)f一定是二次多項(xiàng)式.

(2)

本文我們研究下面的方程

(3)

易知,若f滿足(1)或(2),則函數(shù)f一定滿足(3).方程(2)意味著K?hler-Ricci曲率為零,而(3)意味著K?hler-Scalar曲率為零.

主要定理 設(shè)x:M→An+1是由定義在凸域Ω?An上的某局部嚴(yán)格凸函數(shù)xn+1=f(x1,...,xn)給出的超曲面,若(M,g)是具有0仿射K?hler-Scalar曲率的2維緊致Hessian流形,則函數(shù)f一定是二次多項(xiàng)式.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)f(x1,...,xn)是定義在凸域Ω?An上的局部嚴(yán)格凸函數(shù),考慮圖超曲面

M={(x,f(x))|xn+1=f(x1,...,xn)，(x1,…,xn)∈Ω}

對(duì)M選取古典相對(duì)法Y=(0,0,...,1).則Calabi度量

是相對(duì)于Y的相對(duì)度量.對(duì)位置向量y=(x1,...,xn,f(x1,...,xn)) 有

(4)

余法場(chǎng)

U=(-f1,...,-fn,1)

(5)

下面給出一些基本公式[1]相應(yīng)于度量G的聯(lián)絡(luò)有Chistoffel符號(hào)

(6)

Fubini-Pick張量Aijk和Weingarten張量滿足

(7)

因此有相對(duì)Pick不變量

(8)

Gauss積分條件和Codazzi方程是

Rijkl=∑fmh(AmjkAhil-AikmAhjl),

(9)

Aijk,l=Aijl,k,

(10)

由(9)得Ricci張量

Rik=∑fmhflj(AmliAhjk-AikmAhjl),

(11)

定義函數(shù)

為了證明主要定理,我們先需證明Φ=0,,再利用J-C-P定理.

2 主要定理的證明

由(3)得

(12)

(13)

任取p∈M, 在點(diǎn)p的鄰域取局部正交標(biāo)架場(chǎng), 利用(13)得

設(shè)Φ≠0取局部正交標(biāo)架場(chǎng)使得

ρ1(p)=|gradρ|(p)>0,ρi(p)=0,?i>1

則有

(14)

利用(13)及不等式

可得

利用Ricci恒等式得

由上述等式及(14)得

由下述方程

可得

又因?yàn)?/p>

所以

當(dāng)n=2時(shí)

兩邊同時(shí)積分得

∫MΔΦ≥7∫MΦ2

由M緊致得

Φ=0,

利用J-C-P定理得到f一定是二次多項(xiàng)式.證畢

[1]J?rgens:K.überdieL?sungenderDifferentialgleichungrt-s2=1[J].Math.Ann.,1954,127:130-134.

[2]CalabiE.ImproperaffinehyperspheresofconvextypeandageneralizationofatheorembyK[J].J?rgens,MichiganMath.J,1958(5):105-126.

[3]PogorelovAV.OntheImproperconvexaffinehyperspheres[J].Geom.Dedicata, 1972(1):33-46.

[4]LiAnming,XuRuiwei.ArigiditytheoremforanaffineK?hler-Ricciflatgraph[J].ResultMath.,2009,56:141-164.

[5]LiAM,JiaF.OntheBernsteinPropertyofAffineMaximalHypersurfaces[J].AnnalsofGlobalAnalysisandGeometry, 2003, 23:359-372 .

[6] 秦華軍.仿射完備極大曲面的一個(gè)結(jié)果[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào), 2003(4):637-640.

[7]LiAM,SimonU,ZhaoG.GlobalAffineDifferentialGeometryofHypersurfaces,WalterdeGrayter[M].Berlin,NewYork, 1993.

[責(zé)任編輯：王軍]

On compact affine K?hler manifolds with zero affine K?hler-Scalar curvature

JI Xiu1, HU Chuanfeng1, CUI Yanli2

(1.Yangtze University College of Arts and Science,Jingzhou 434000, China; 2.Department Training of the Air Defense College, Zhengzhou 450052, China)

affine K?hler-Scalar curvature; hessian manifold; affine K?hler manifolds

2015-07-17;

2015-08-09

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(B2014281)；長(zhǎng)江大學(xué)文理學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(201303，201304)

姬秀(1979-)，女，河南信陽(yáng)人，長(zhǎng)江大學(xué)文理學(xué)院副教授，主要從事微分幾何的研究.

O174.2

A

1672-3600(2015)12-0013-03