李雄軍，廖日軍，李金龍，冼建標(biāo)，徐健杰，黃 培，何小雨

深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060

圖像Arnold變換中的準(zhǔn)對(duì)稱性問(wèn)題與半周期現(xiàn)象

李雄軍，廖日軍，李金龍，冼建標(biāo)，徐健杰，黃 培，何小雨

深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060

從廣義Arnold變換的周期性及標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換與Fibonacci的關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)k步Arnold變換的一次性等效變換矩陣，特別是半周期處的一次性變換矩陣，并分析其特點(diǎn)，證明圖像經(jīng)廣義Arnold變換位置置亂后在置亂周期內(nèi)呈現(xiàn)圖像置亂度的準(zhǔn)對(duì)稱性，討論當(dāng)置亂周期為偶數(shù)時(shí)的半周期現(xiàn)象和置亂周期為奇數(shù)時(shí)的各種不同情況.研究結(jié)果表明，無(wú)論置亂周期為奇數(shù)還是偶數(shù)，圖像亂度存在前半周期和后半周期的準(zhǔn)對(duì)稱性;對(duì)偶數(shù)周期情況，標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下，在置亂次數(shù)等于周期的一半時(shí)，一次性置亂變換矩陣為單位矩陣的整數(shù)倍;半周期處置亂圖像更易呈現(xiàn)與原圖相似的結(jié)構(gòu)或內(nèi)容信息;對(duì)于某些維數(shù)的圖像，半周期處的一次性置亂變換為負(fù)的單位矩陣，此時(shí)圖像為原圖的水平加垂直鏡像圖像;廣義Arnold變換下，偶數(shù)置亂周期變換的半周期處的一次性變換矩陣可能是標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換的結(jié)果，或在此基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)位移量為圖像維數(shù)一半的水平或垂直平移，因而仍然存在較明顯的半周期現(xiàn)象.對(duì)于奇數(shù)周期，半周期現(xiàn)象雖然存在但一般不如偶數(shù)周期情況明顯，更不易出現(xiàn)鏡像或提前恢復(fù)原圖的情況.該研究可用于指導(dǎo)圖像加密預(yù)處理中置亂次數(shù)選擇和置亂亂度計(jì)算方法的評(píng)價(jià)與比較.

計(jì)算機(jī)應(yīng)用;Arnold變換;準(zhǔn)對(duì)稱性;置亂變換;置亂度;半周期現(xiàn)象;Fibonacci變換;圖像加密

Arnold變換因其簡(jiǎn)捷、周期性和非線性［1-5］，一直是圖像加密、信息隱藏和數(shù)字版權(quán)保護(hù)中普遍采用的置亂技術(shù)之一［6-8］.由于置亂效果的好壞直接關(guān)系到后續(xù)加密或隱藏處理的加密性、隱蔽性及抗檢測(cè)性，因此，針對(duì)圖像置亂度評(píng)價(jià)和影響置亂效果的因素分析的研究具有重要意義.近年來(lái)，圖像亂度評(píng)價(jià)準(zhǔn)則與置亂度計(jì)算方法引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注［9-17］，而影響圖像置亂效果的因素分析并未受到足夠重視.實(shí)踐證明，Arnold置亂變換的效果不僅與原圖結(jié)構(gòu)內(nèi)容有關(guān)，且與置亂變換參數(shù)和置亂次數(shù)密切相關(guān).如圖1所示，包括灰度圖像和二值圖像在內(nèi)的圖像，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換位置置亂后，在整個(gè)變換周期內(nèi)，其置亂圖像的亂度呈現(xiàn)前半周期和后半周期之間一定的對(duì)稱性 (非嚴(yán)格對(duì)稱，即準(zhǔn)對(duì)稱性)，且在半周期處，置亂圖像與原圖有較大相似性.對(duì)有一定規(guī)則性且亂度較低的原圖，隨著變換次數(shù)增加，圖像亂度雖然有所波動(dòng)，但總體趨勢(shì)是越來(lái)越亂，當(dāng)置亂次數(shù)k接近半周期次數(shù)時(shí)，圖像亂度又明顯下降，甚至隱約可見(jiàn)原圖的信息;繼續(xù)置亂，圖像亂度又會(huì)增加并伴隨輕微波動(dòng)，當(dāng)置亂次數(shù)接近置亂周期次時(shí)亂度明顯下降，直到等于置亂周期時(shí)恢復(fù)為原圖.標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換的這種俗稱“半周期”現(xiàn)象已被普遍察覺(jué)，并依圖像內(nèi)容結(jié)構(gòu)的不同和置亂變換周期的不同，出現(xiàn)明顯程度或強(qiáng)或弱的變化.那么，廣義Arnold變換是否具有與標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換同樣的準(zhǔn)對(duì)稱性和半周期現(xiàn)象?能否從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明準(zhǔn)對(duì)稱性呢?排除原圖對(duì)置亂圖像亂度的影響，圖像亂度與變換參數(shù)和置亂次數(shù)之間是否存在更明顯和直接的關(guān)系?當(dāng)置亂周期為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)，半周期現(xiàn)象在明顯程度上有何不同?目前，這些問(wèn)題都沒(méi)有很好的解釋，這也帶來(lái)了Arnold變換在亂度研究和圖像加密應(yīng)用中的局限性:在圖像亂度研究領(lǐng)域，Arnold變換一個(gè)變換周期內(nèi)的置亂圖像常常被用來(lái)定性測(cè)試某置亂度指標(biāo)的合理性.但一般只限于標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換，并且只考察圖像亂度大概趨勢(shì)的反映.由于半周期現(xiàn)象的明顯程度與所選原圖及置亂周期有關(guān)，使這樣的測(cè)試帶有一定主觀性和片面性.在圖像加密和信息隱藏領(lǐng)域，選擇置亂次數(shù)時(shí)人們往往會(huì)首先人為確定變換參數(shù) (最典型的是直接采用標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換)，然后常用兩種方法確定置亂次數(shù):一是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)υ瓐D進(jìn)行置亂測(cè)試，依據(jù)視覺(jué)觀察結(jié)果來(lái)選擇，其缺點(diǎn)是此選擇存在一定主觀性和隨意性，且結(jié)果依賴于原圖，一旦原圖改變則必須重新測(cè)試;二是采用某種亂度指標(biāo)隨時(shí)計(jì)算置亂圖像的置亂度來(lái)選擇置亂次數(shù).雖然這種方法能實(shí)現(xiàn)置亂過(guò)程中自動(dòng)選擇亂度較高的置亂次數(shù)，但由于至今尚無(wú)一種普遍適用且與人類視覺(jué)效果吻合的圖像亂度評(píng)價(jià)方法，影響了結(jié)果的可靠性.

鑒于以上理論和應(yīng)用兩方面的原因，本研究從Arnold變換及其與Fibonacci數(shù)列的關(guān)系入手，分置亂周期為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，來(lái)深入探討這些問(wèn)題，并討論此結(jié)論在應(yīng)用方面的啟示.

圖1 圖像經(jīng)Arnold變換置亂情況Fig.1 Images scrambled by Arnold transformation and their scrambling degree curves during a scrambling cycle

1 準(zhǔn)對(duì)稱性問(wèn)題

1.1 基本概念

1.1.1 廣義Arnold變換與標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換

大小為N×N的圖像經(jīng)Arnold變換后，位置置亂可表示為

其中，x、y、x1、y1∈［0，N-1］，(x，y)和(x1，y1)分別為原圖像坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的置亂圖像坐標(biāo).

廣義Arnold變換形式為

其中，b和c為整數(shù).滿足A的行列式值det A=A=1.當(dāng)b=c=1，即為Arnold變換的標(biāo)準(zhǔn)形式［1］為

1.1.2 一次性等效變換矩陣

對(duì)原圖進(jìn)行k次Arnold變換后，有

其中，(xk，yk)是像素(x，y)經(jīng)整數(shù)k次Arnold變換后的新坐標(biāo)，k∈［1，N］.若存在Ak，對(duì)所有(x，y)圖像坐標(biāo)滿足

其中，ak、bk、ck、dk∈［0，N-1］的整數(shù)，則稱 Ak為對(duì)維數(shù)為N×N的圖像進(jìn)行k次Arnold變換的一次性等效變換矩陣［18］.那么

為求取任意次置亂變換的一次性等效變換的公式.同時(shí)，求Ak時(shí)要注意，計(jì)算矩陣乘方時(shí)要及時(shí)取模，以免元素太大而溢出，造成結(jié)果錯(cuò)誤［18］.

1.1.3 模N逆矩陣

設(shè)I為單位矩陣，對(duì)變換矩陣T和R，若

則稱T和R互為模N逆矩陣.

1.2 準(zhǔn)對(duì)稱性的推導(dǎo)

依據(jù)式(1)至式(3)，由det Akmod N=det Akmod N=(det A)kmod N=1可得

當(dāng)k=mN，其中mN為置亂周期，滿足

原圖經(jīng)mN次置亂后恢復(fù)為原圖，對(duì)照式(7)與式(8)，則有

將式(9)兩邊分別乘以dm和bm，得

由式(10)移項(xiàng)得

將(15)式分別代入式(13)和式(14)，可得

根據(jù)式(6)得到(amdm-bmcm)mod N=1，則有

類似地，由式(11)和式(12)可得

式(17)至式(18)的結(jié)論對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換和廣義Arnold變換都成立.

設(shè)大小為N×N的原圖像I上的某個(gè)像素(x，y)，分別經(jīng)m次和mN-m次Arnold變換后，得到置亂圖像 I'和I″上對(duì)應(yīng)像素的位置(x'，y')和(x″，y″)分別為

顯然，Am與AmN-m(Rm)互為模N逆矩陣.

式(21)說(shuō)明，原圖經(jīng)mN-m次Arnold正變換與原圖經(jīng)m次Arnold逆變換是等效的.式(23)反映了原圖經(jīng)m次Arnold正變換的一次性等效變換Am與原圖經(jīng)m次Arnold逆變換的一次性等效變換Rm之間的準(zhǔn)對(duì)稱關(guān)系.

若將式(19)和式(20)兩邊分別乘以Rm和 Am，則可得

圖2用示意圖方式對(duì)準(zhǔn)對(duì)稱性做出解釋，其中k為置亂次數(shù).

圖2 準(zhǔn)對(duì)稱性解釋示意圖Fig.2 Schematic sketch for explanation of quasi-symmetry

由圖2可見(jiàn)，Am與AmN-m使原圖同一像素被映射到不同位置上，但置亂后的位置不是毫無(wú)關(guān)聯(lián)，而是通過(guò)這兩個(gè)互為模N逆變換矩陣呈現(xiàn)一定對(duì)稱相關(guān)性.

通過(guò)比較兩個(gè)坐標(biāo)乘積x'y'與x″y″還發(fā)現(xiàn)，若

成立，則存在x'y'=x″y″，使得置亂圖像I'和I″上的像素(x'，y')和(x″，y″)存在更密切的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

以上證明在置亂周期內(nèi)，經(jīng)廣義Arnold變換(包括標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換在內(nèi))，進(jìn)行像素位置置亂的圖像在圖像亂度上存在準(zhǔn)對(duì)稱性.

2 半周期現(xiàn)象討論

2.1 置亂周期為偶數(shù)時(shí)的情況

若周期mN為偶數(shù)，則半周期s=mN/2為整數(shù).在m=s時(shí)，由式(16)得as=ds.由式(17)得bs=-bsmod N，那么，若N為奇數(shù)，則唯一解bs=0;若N是偶數(shù)，則bs=0或N/2.同理，由式(18)可得，若N是奇數(shù)，有cs=0;若N是偶數(shù)，cs=0或N/2.因此，原圖被廣義Arnold變換位置置亂半周期次的一次性變換矩陣有4種可能的形式，即

式(27)至式(29)同時(shí)必須滿足

式(31)可等效為

式 (30)同時(shí)需滿足

下面針對(duì)以上4類As，分析原圖像像素(x，y)被置亂到置亂圖像像素(xs，ys)的具體情況.首先，對(duì)于I類情況有

式(27)說(shuō)明，半周期處的As是單位矩陣的整數(shù)倍，相當(dāng)于把圖像在模N內(nèi)進(jìn)行拉伸，使置亂圖像與原圖有較大相似性.同時(shí)，原圖對(duì)角線和反對(duì)角線的點(diǎn)被映射到置亂圖像上的對(duì)角線和反對(duì)角線上.關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的原圖像像素映射到置亂圖像后，仍關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱.因此，當(dāng)原圖亂度較低時(shí)，半周期處的置亂圖像便相應(yīng)呈現(xiàn)較低亂度.

對(duì)于II、III和IV類的As有

式(35)說(shuō)明，經(jīng)As置亂后坐標(biāo)在I類情況的拉伸變換基礎(chǔ)上，對(duì)原圖奇數(shù)列的像素，其變換后的橫坐標(biāo)還疊加N/2(若y≤N/2)或 -N/2(若y＞N/2)的平移.同理，式(36)說(shuō)明，置亂后坐標(biāo)在I類拉伸變換基礎(chǔ)上，對(duì)原圖奇數(shù)行的像素其縱坐標(biāo)還要疊加N/2(x≤N/2)或-N/2(x＞N/2)的平移量.式(37)說(shuō)明，置亂后坐標(biāo)在I類拉伸變換的基礎(chǔ)上，對(duì)原圖奇數(shù)行和/或奇數(shù)列的像素其縱坐標(biāo)和/或橫坐標(biāo)都要分別疊加N/2或-N/2的平移量.以上3種情況，雖然會(huì)使置亂圖像與原圖的相似性不如I類情況，但因?yàn)樽鴺?biāo)變換都只是多了固定的N/2或-N/2平移量，所以與半周期處附件其他置亂圖像比較，在半周期處置亂圖像仍呈現(xiàn)相對(duì)較大的與原圖的相似性.

進(jìn)一步討論I類情況的兩個(gè)As特例.

1)as=N-1的情況.

此時(shí)，As實(shí)質(zhì)上是將原圖像進(jìn)行了水平鏡像加垂直鏡像變換.

由于滿足式(27)和式(31)的解as并非唯一，當(dāng)N是素?cái)?shù)時(shí)，解得as=N-1，式(34)恒成立;當(dāng)N為非素?cái)?shù)時(shí)，式(34)也可能成立.此時(shí)，原圖置亂半周期次后得到水平加垂直鏡像圖像，暴露了原圖信息.

2)對(duì)某些為4的倍數(shù)的N，當(dāng)as=N/2+1時(shí)的情況.

當(dāng)N為4的倍數(shù)時(shí)，N/2是偶數(shù).當(dāng)as=N/2+1時(shí)，因?yàn)?(as+1)mod 2=0，(as-1)×mod(N/2)=0，使式(32)成立.

對(duì)x和y的奇數(shù)和偶數(shù)情況分別有4種解的形式，即

1)x和y都為奇數(shù)

2)x奇數(shù)，y為偶數(shù)

3)x偶數(shù)，y為奇數(shù)

4)x和y都為偶數(shù)

如果原圖由4個(gè)大小為原圖1/4，內(nèi)容完全相同的圖像上下左右拼接而成，即

則在置亂變換半周期處有I(xs，ys)≡I(x，y)，即置亂圖像提前恢復(fù)為原圖，使該圖像置亂周期為置亂變換周期的1/2.這進(jìn)一步說(shuō)明，文獻(xiàn)［6］提出的置亂圖像置亂周期與置亂變換周期是兩個(gè)不同概念的結(jié)論，適用于包括二值圖像在內(nèi)的所有圖像.

所以，當(dāng)置亂周期為偶數(shù)時(shí)，不管原圖結(jié)構(gòu)內(nèi)容如何，該圖像經(jīng)過(guò)廣義Arnold變換 (包括標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換)置亂半周期次后，置亂圖像與原圖有較大相似性，呈現(xiàn)較明顯的半周期現(xiàn)象.置亂變換周期除了與變換本身的參數(shù)有關(guān)外，還與圖像維數(shù)N有關(guān).但事實(shí)上，置亂周期為偶數(shù)的情況更普遍，因此半周期現(xiàn)象也很普遍.

2.2 置亂周期為奇數(shù)時(shí)的情況

說(shuō)明As和As+1具備準(zhǔn)對(duì)稱性關(guān)系，對(duì)應(yīng)置亂周期里呈準(zhǔn)對(duì)稱性的兩個(gè)置亂圖像.雖然As和As+1不完全相同，但有一定相關(guān)性，使對(duì)應(yīng)的置亂圖像亦有一定相似性.

因As+1=AAsmod N，有

由式(47)至式(50)解得

考慮到det Asmod N=1，因此得到

顯然，bs≠0.將式(52)與偶數(shù)置亂周期的式(27)至式(30)中任一公式比較可知，偶數(shù)變換周期的半周期處一次性變換矩陣相對(duì)簡(jiǎn)單得多，置亂過(guò)程中像素橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y交錯(cuò)影響小;相比之下，奇數(shù)周期的半周期處的一次性變換矩陣有As和As+1兩個(gè)，只有當(dāng)變換參數(shù)b=c時(shí)，它們才為對(duì)稱陣，且變換過(guò)程中像素橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y同時(shí)對(duì)變換坐標(biāo)交錯(cuò)產(chǎn)生影響，使置亂圖像相對(duì)較亂;因bs≠0，則As和As+1兩者對(duì)任何原圖都不會(huì)出現(xiàn)類似偶數(shù)變換周期時(shí)的I類As的形式，使半周期處的置亂圖像一般不會(huì)出現(xiàn)為原圖或其鏡像的情況.

2.3 標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下的半周期現(xiàn)象

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換，置亂周期內(nèi)任意次Arnold變換所對(duì)應(yīng)的一次性等效變換矩陣可寫(xiě)成

因此對(duì)于mN為偶數(shù)時(shí)，在半周期處m=s，由式(16)可得as=ds.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換的bs=cs，由式(54)得bs=cs=0.那么，式(27)至式(30)這4類情況只剩下I類，即標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下偶數(shù)置亂周期情況的半周期處對(duì)應(yīng)的一次性等效變換為

進(jìn)一步推導(dǎo)當(dāng)mN為奇數(shù)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下半周期處As和As+1的具體形式.

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換，把b=c=1代入式(52)，得

由式(60)求bs，即可得到奇數(shù)置亂周期里半周期處的兩個(gè)一次性等效變換矩陣.

從式(58)至式(60)可得，在標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下，奇數(shù)置亂周期的半周期處，一次性變換矩陣的形式與廣義Arnold變換下的結(jié)論類似，即與偶數(shù)置亂周期的情況相比，奇數(shù)置亂周期的半周期處的置亂圖像與原圖的相似性小得多.

奇數(shù)置亂周期的半周期處也常見(jiàn)亂度有一定下降趨勢(shì)的半周期現(xiàn)象，甚至對(duì)于對(duì)稱性強(qiáng)或某種結(jié)構(gòu)的原圖，類似圖1(b)的情況，也會(huì)出現(xiàn)置亂圖像亂度顯著下降的情況.產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因有兩方面:①在整個(gè)置亂周期內(nèi)，亂度較低的原圖逐步被置亂成較亂的圖像，最后又回到原圖.鑒于存在前述所說(shuō)的準(zhǔn)對(duì)稱性，使半周期處往往成為分水嶺;②置亂圖像的最終亂度不僅與變換矩陣有關(guān)，而且與原始圖像的結(jié)構(gòu)內(nèi)容關(guān)系密切.在原圖亂度較低的大前提下，與原圖結(jié)構(gòu)與內(nèi)容有一定相似性，則亂度較低;但圖像亂度較低并非完全等效與原圖相似.然而，從一次性變換矩陣的形式可見(jiàn)，奇數(shù)周期與原圖的相似度不如偶數(shù)周期情況下的明顯.

3 實(shí)驗(yàn)與討論

表1給出不同情況下置亂變換參數(shù)與特性對(duì)照.由表1可見(jiàn)，Arnold變換周期的大小和奇偶性由變換參數(shù)和被置亂圖像維數(shù)大小共同決定;Arnold變換的一次性等效置亂變換不僅與置亂次數(shù)和置亂周期有關(guān)，還與圖像大小有關(guān).

表1 典型Arnold變換參數(shù)與特性Table 1 Some typical Arnold transforms for scrambling and their characteristics

通過(guò)改變圖像維數(shù)和內(nèi)容、置亂變換參數(shù)并進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了前述準(zhǔn)對(duì)稱性和半周期現(xiàn)象的結(jié)論.下面給出3個(gè)有代表性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)中的原圖 (包括大小和內(nèi)容)與置亂變換及其參數(shù)作為實(shí)驗(yàn)條件，置亂圖評(píng)價(jià)指標(biāo)仍采用文獻(xiàn)［9］介紹的基于灰度差和信息熵的GLD＆IE法.

實(shí)例1 原圖為4個(gè)完全相同的由128×128的baboon圖像壓縮到64×64后拼接而成 (如圖3(a))，N=128，采用標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換，并設(shè)b=1，c=1.

由表1可查得，置亂周期mN=96，半周期處一次性變換矩陣 As的參數(shù)as=65=N/2+1.與圖1(a)比較，此測(cè)試只改變了原圖，二者從置亂圖像和置亂度曲線均可見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下當(dāng)置亂周期為偶數(shù)時(shí)出現(xiàn)比較明顯的準(zhǔn)對(duì)稱性與半周期現(xiàn)象.圖1(a)的半周期處隱約可見(jiàn)原圖，而實(shí)例1的半周期處(k=48)置亂圖像恢復(fù)為原圖 (圖3(b))，使圖像置亂周期為置亂變換周期96的一半.此時(shí)出現(xiàn)最明顯的半周期現(xiàn)象，從置亂度曲線 (如圖3(c))和置亂圖像還可以看到置亂周期的1/4處新的明顯類似半周期性現(xiàn)象.

實(shí)例2 將大小為256×256的Lena圖像縮放成122×122(N=122)的圖像作為原圖 (圖4(a))，采用廣義Arnold變換，并設(shè)b=2，c=3.

圖3 圖像在半周期處恢復(fù)原圖的特例(b=c=1，N=128，mN=96)Fig.3 Image recovery at the half scrambling cycle for the original image with specific symmetry(b=c=1，N=128，mN=96)

圖4 實(shí)例2的部分置亂圖像(b=2，c=3，圖像大小為122×122，mN=12)Fig.4 Some scrambled images by a general Arnold transformation with b=2 and c=3 for Test 2(N=122，mN=12)

由表1可查得，置亂周期mN=12，其半周期處一次性變換矩陣As的參數(shù)as=121.圖4給出了整個(gè)置亂周期內(nèi)的部分置亂圖像.圖5為對(duì)應(yīng)的置亂度曲線.從置亂圖像和置亂度曲線均可見(jiàn):廣義Arnold變換下，偶數(shù)周期情況下，同樣能觀察到準(zhǔn)對(duì)稱性和明顯的半周期現(xiàn)象.而且由于as=121=N-1，在半周期處出現(xiàn)了原圖的水平加垂直鏡像圖像.

實(shí)例3 將大小為256×256的Lena圖像縮放大小為124×124(N=124)的圖像作為原圖 (圖6(a))，采用標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換，并設(shè)b=1，c=1.

圖5 實(shí)例2的置亂度曲線Fig.5 The scrambling degree curve for Test 2

由表1可查得，標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換下N=124時(shí)，置亂周期mN=15，為奇數(shù).除了原圖內(nèi)容不同外，實(shí)例3的其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)與圖1(b)的相同.其半周期處的一次性變換矩陣可從式(60)求得.式(60)又可寫(xiě)作

滿足式(61)的解為r=1，bs=5.由此可得與Matlab計(jì)算結(jié)果吻合.

圖6 實(shí)例3的部分置亂結(jié)果和置亂曲線(b=c=1，N=124，mN=15)Fig.6 Some scrambled images for Test 3(b=c=1，N=124，mN=15)

圖6和圖7分別給出實(shí)例3的部分置亂結(jié)果和置亂度曲線，同樣可見(jiàn)準(zhǔn)對(duì)稱性和半周期現(xiàn)象.但如果將實(shí)例3與圖1(a)實(shí)驗(yàn)比較可發(fā)現(xiàn)，二者原圖內(nèi)容結(jié)構(gòu)基本一致而圖像大小稍有偏差，置亂變換相同，置亂周期差異大而且奇偶有別.結(jié)果半周期現(xiàn)象的顯著性差異較大，偶數(shù)變換周期下的半周期現(xiàn)象明顯得多.

圖7 實(shí)例3的置亂度曲線Fig.7 The scrambling degree curve for Test 3

對(duì)圖1(b)對(duì)應(yīng)的置亂度曲線，即圖1(d)，同樣可見(jiàn)半周期性現(xiàn)象，分析原因我們認(rèn)為:由于原圖具有強(qiáng)對(duì)稱性而且是二值圖像，雖然置亂圖像與原圖相似性不太強(qiáng)，但亂度度較低，在整個(gè)置亂周期內(nèi)半周期處成為亂度由高到低再由低到高的分水嶺，與視覺(jué)評(píng)判結(jié)果基本吻合，說(shuō)明該亂度評(píng)價(jià)指標(biāo)設(shè)置合理.這也表明，置亂圖像亂度由一次性等效置亂變換和原圖內(nèi)容兩者共同決定.

為了定量比較奇數(shù)周期和偶數(shù)周期下半周期現(xiàn)象的顯著性，表2給出了關(guān)鍵次數(shù)置亂情況對(duì)照表，并特別定義一個(gè)半周期現(xiàn)象顯著性指標(biāo)

其中，SD0為原圖像亂度;SD為半周期處圖像亂度，置亂周期內(nèi)最亂圖像亂度SDm.對(duì)于奇數(shù)周期情況，取半周期處兩幅置亂圖像中較亂的那幅圖像亂度作為SD來(lái)計(jì)算.rs越大，說(shuō)明半周期現(xiàn)象越顯著;反之亦然.極限狀態(tài)時(shí)，SD=SD0，則rs=∞，對(duì)應(yīng)半周期處置亂圖像恢復(fù)為原圖或?yàn)樵瓐D鏡像.

從表2可見(jiàn)，當(dāng)兩幅內(nèi)容基本相同而圖像維數(shù)稍有不同的原圖經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換時(shí)，出現(xiàn)偶數(shù)置亂周期情況的rs大于出現(xiàn)奇數(shù)置亂周期情況的rs，前者的半周期現(xiàn)象更明顯.這與理論分析結(jié)果吻合.

表2 亂度對(duì)照表與半周期顯著性Table 2 Contrast of scrambling degrees and salience test of the half-cycle phenomenon for Fig.1(a)and Fig.5

以上實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，在圖像亂度指標(biāo)的評(píng)價(jià)方法上，除了與分析人類視覺(jué)評(píng)判結(jié)果的吻合程度作為依據(jù)外，Arnold變換圖像也可成為圖像亂度計(jì)算方法或指標(biāo)的性能評(píng)價(jià)與測(cè)試數(shù)據(jù).亂度曲線能否反映Arnold變換的準(zhǔn)對(duì)稱性和半周期現(xiàn)象可成為亂度指標(biāo)評(píng)判的重要依據(jù).在評(píng)判過(guò)程中，為消除評(píng)判結(jié)果對(duì)所選被置亂圖像的依賴性，讓結(jié)果更客觀可靠，建議首先選擇偶數(shù)置亂周期的置亂變換一周期內(nèi)的置亂圖像進(jìn)行測(cè)試，但要避開(kāi)在半周期處恢復(fù)為原圖或產(chǎn)生鏡像的情況，考察亂度指標(biāo)對(duì)準(zhǔn)對(duì)稱性和較明顯的半周期現(xiàn)象的檢測(cè)能力.然后用奇數(shù)周期的置亂變換圖像來(lái)測(cè)試，考察亂度檢測(cè)靈敏度.經(jīng)以上測(cè)試，若亂度指標(biāo)技能反映準(zhǔn)對(duì)稱性，且能檢測(cè)到半周期現(xiàn)象，說(shuō)明該亂度指標(biāo)具有一定合理性;否則，存在不合理性.

在多種亂度計(jì)算指標(biāo)的性能比較上，可采用類似表2對(duì)圖1(a)與圖6對(duì)照的方法.首先取某偶數(shù)置亂周期的Arnold變換置亂同一原圖，分別計(jì)算不同亂度評(píng)價(jià)方法的半周期現(xiàn)象顯著性指標(biāo)rs.rs越高，說(shuō)明該亂度指標(biāo)對(duì)圖像亂度檢測(cè)越靈敏.如果偶數(shù)周期情況下的rs指標(biāo)差別不大，再取內(nèi)容相同但維數(shù)稍有不同的具有奇數(shù)變換周期的Arnold置亂變換圖像進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步考察各亂度指標(biāo)對(duì)半周期現(xiàn)象的靈敏度.以上方法不依賴原圖內(nèi)容與結(jié)構(gòu)，可避免選擇特定結(jié)構(gòu)和內(nèi)容圖像作為原圖而對(duì)評(píng)判結(jié)果造成影響，克服了傳統(tǒng)視覺(jué)吻合程度的主觀性 (因人而異)和模糊性，為亂度評(píng)價(jià)指標(biāo)評(píng)判與比較提供一種比較客觀的定量方法.

同時(shí)，Arnold置亂變換是圖像加密或信息隱藏的預(yù)處理中常見(jiàn)的方法，其置亂效果，直接關(guān)系后續(xù)加密或隱藏處理的加密性、隱蔽性以及抗檢測(cè)性能.而不同置亂變換置亂效果不同，即使同一置亂變換，置亂次數(shù)不同置亂效果也不一樣.本文研究的一次性變換求取方法和有關(guān)半周期現(xiàn)象的討論，通過(guò)對(duì)一次性置亂變換的形式分析以可以指導(dǎo)置亂次數(shù)的選擇.

結(jié) 語(yǔ)

圖像經(jīng)多步置亂變換的效果可通過(guò)對(duì)一次性等效變換的形式分析基本得出.本研究從Arnold變換的周期性出發(fā)，證明了包括廣義Arnold變換在內(nèi)的準(zhǔn)對(duì)稱性，推導(dǎo)和分析了廣義Arnold變換下置亂周期為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的半周期處的一次性置亂變換矩陣及其置亂特征，深入討論了半周期現(xiàn)象的不同表現(xiàn).研究發(fā)現(xiàn)，在原圖亂度較低的大前提下，無(wú)論是廣義Arnold變換，還是標(biāo)準(zhǔn)Arnold變換，都會(huì)出現(xiàn)程度不同的“半周期”現(xiàn)象;偶數(shù)置亂周期情況與奇數(shù)置亂周期比較，前者的半周期處的置亂圖像與原圖更相似，一般半周期現(xiàn)象更明顯，甚至?xí)霈F(xiàn)原圖鏡像甚至恢復(fù)為原圖的現(xiàn)象.以上結(jié)論既可通過(guò)計(jì)算一次性變換矩陣來(lái)指導(dǎo)加密處理置亂次數(shù)的選擇，且可用于圖像亂度評(píng)價(jià)方法的評(píng)估測(cè)試與比較，通過(guò)亂度算法對(duì)準(zhǔn)對(duì)稱性以及半周期現(xiàn)象的檢測(cè)能力與敏感性，判斷亂度評(píng)價(jià)方法的合理性與性能優(yōu)劣.

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2015-10-22;

2015-10-31

Quasi-symmetry and the half-cycle phenomenon in scrambling degrees for images with pixel locations scrambled by Arnold transformation

Li Xiongjun?，Liao Rijun，Li Jinlong，Xian Jianbiao，Xu Jianjie，Huang Pei，and He Xiaoyu

College of Physics Science and Technology，Shenzhen University，Shenzhen 518060，P.R.China

By referring to the periodicity of the general Arnold transformation and the relationship between standard Arnold transformation and Fibonacci transformation，we deduce the equivalent one-step transformation matrix for k times of Arnold transformation with pixel position scrambled，especially the one at the half-cycle of the scrambling period.We analyze their characteristics and provide a proof of the quasi-symmetry in scrambling degrees for images in one cycle.We discuss the half-cycle effect in scrambling degrees in scrambled images with even and odd scrambling periods respectively.Results show that there exists a quasi-symmetry in scrambling performance between the two half cycles regardless of the period being even or odd.In a standard Arnold transformation with a commonly even period，the one-step transform is equivalent to a simple scaling matrix transform which leads to the scrambled image at the half period with an obvious lower scrambling degree，where being the minus unitary matrix as a special case results in the scrambled image being the horizontal mirror image with an overlying vertical mirror image of the original image.For any general Arnold transformation with an even scrambling period，the one-step transformation at half cycle may be the same as the one-step transform for standard Arnold transform or with a translation of half of the image dimension superimposed，thus leading to a little less salient half-cycle phenomenon.For an Arnold transformation with an odd scrambling period，no such situation happens in general unless for images with very special contents and structure.The results can be applied in choice of scrambling time for the pre-processing in image encryption and the evaluation and comparison of image scrambling degree criteria.

computer application;Arnold transformation;quasi-symmetry;scrambling transform;scrambling degree;half-cycle phenomenon;Fibonacci transformation;image encryption

U 491.1

A

10.3724/SP.J.1249.2015.06551

Foundation:UniversityStudent'sInnovation and Entrepreneurship TrainingProgram Foundation ofShenzhen University(201510590079);2015 Foundation for College Students'Science and Technology Innovation Training Program(“Climbing”P(pán)rogram)of Guangdong Province(201510590079)

?

Associate professor Li Xiongjun.E-mail:lixj@szu.edu.cn

:Li Xiongjun，Liao Rijun，Li Jinlong，et al.Quasi-symmetry and the half-cycle phenomenon in scrambling degrees for images with pixel locations scrambled by Arnold transformation［J］.Journal of Shenzhen University Science and Engineering，2015，32(6):551-562.(in Chinese)

廣東省“攀登計(jì)劃”資助項(xiàng)目 (201560020006);深圳大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目 (20151059 0079)

李雄軍 (1966—)，女 (漢族)，湖南省雙峰縣人，深圳大學(xué)副教授、博士.E-mail:lixj@szu.edu.cn

引 文:李雄軍，廖日軍，李金龍，等.圖像Arnold變換中的準(zhǔn)對(duì)稱性問(wèn)題與半周期現(xiàn)象 ［J］.深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2015，32(6):551-562.

【中文責(zé)編:英 子;英文責(zé)編:雨 辰】