卞慶龍

課改前小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)十分重視數(shù)量關(guān)系的分析，但第一輪課改后，數(shù)量關(guān)系教學(xué)有被弱化和邊緣化的傾向。不少教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生過(guò)多地關(guān)注信息的收集、整理，對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析往往一帶而過(guò)，使學(xué)生感到無(wú)從下手，不知道怎樣去思考，學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題常常是在生活經(jīng)驗(yàn)或者直覺(jué)的支持下完成的。雖然他們把問(wèn)題解決了，但對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程與方法缺少有意識(shí)的體驗(yàn)，不利于學(xué)生形成解題策略、提煉解題經(jīng)驗(yàn)?！墩n標(biāo)》修訂時(shí)，明確指出：“了解分析和解決問(wèn)題的一些基本方法”，“在具體情境中，了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題?！币虼?，在解決問(wèn)題教學(xué)中，我們必須高度重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。

下面筆者粗淺地談一談新課標(biāo)背景下的數(shù)量關(guān)系教學(xué)，與諸君商榷。

一、 結(jié)合運(yùn)算意義，建立基本模型

重視數(shù)量關(guān)系分析是傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的重要經(jīng)驗(yàn)，但是傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)輕視數(shù)量關(guān)系概括、歸納、提煉的過(guò)程，而重視運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用過(guò)程。教師分類型介紹關(guān)系式，學(xué)生找類型套模型，生搬硬套是課堂上常見(jiàn)的現(xiàn)象。

張奠宙教授說(shuō)過(guò)：應(yīng)用題的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是重要的數(shù)學(xué)思想，我們不妨把傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中的數(shù)量關(guān)系式看作新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生充分經(jīng)歷分析、積累、抽象、歸納、概括、建模、用模的過(guò)程。

在教學(xué)過(guò)程中，我們要加強(qiáng)運(yùn)算意義教學(xué)，以運(yùn)算意義的理解為基礎(chǔ)，進(jìn)行積累和歸納，溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題與運(yùn)算的聯(lián)系，建立最基本的數(shù)量關(guān)系模型，提升學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的能力。

新課標(biāo)背景下的解決問(wèn)題教學(xué)不再分類型，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)考慮的是情境中的問(wèn)題與運(yùn)算意義的聯(lián)系，運(yùn)算意義是否理解對(duì)能否有效分析數(shù)量關(guān)系起著至關(guān)重要的作用。因此，教師應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)算意義的教學(xué)、創(chuàng)設(shè)具體情境，結(jié)合每一種運(yùn)算逐步滲透每一種基本的數(shù)量關(guān)系，充分經(jīng)歷思考和體驗(yàn)的過(guò)程，幫助學(xué)生理解每個(gè)具體情境中的數(shù)量關(guān)系。史寧中說(shuō)：“小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)只有兩種類型，一種是加法，一種是乘法?！弊罨镜臄?shù)量關(guān)系就是反映加、減、乘、除意義的數(shù)量關(guān)系。比如，在一年級(jí)認(rèn)識(shí)加法運(yùn)算的意義時(shí)，教師可以幫助學(xué)生結(jié)合具體的情境理解加法意義：要求總數(shù)是多少，就是把兩個(gè)部分?jǐn)?shù)合在一起的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫做加法。

這是蘇教版一年級(jí)下冊(cè)的一道習(xí)題：

教師在學(xué)生審題后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行最基本的數(shù)量關(guān)系分析：上午賣的臺(tái)數(shù)+下午賣的臺(tái)數(shù)=全天賣出臺(tái)數(shù)。在具體情境中多次體驗(yàn)、感悟、積累“數(shù)學(xué)模型”實(shí)例的基礎(chǔ)上，理解、建立它們之間的數(shù)量關(guān)系模型是“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”，但不一定要高度概括，抽象為程式化的關(guān)系式。

在教學(xué)認(rèn)識(shí)減法運(yùn)算的意義時(shí)，教師可以幫助學(xué)生結(jié)合具體的情境理解減法意義，它們之間數(shù)量關(guān)系模型是：“總數(shù)—一部分?jǐn)?shù)=另一部分?jǐn)?shù)”。

如蘇教版一年級(jí)下冊(cè)的一道習(xí)題：

在對(duì)兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行大小比較時(shí)，教師可以幫助學(xué)生借助具體情境，用減法運(yùn)算比出它們的大小，也就是從較大數(shù)中去掉與較小數(shù)同樣多的部分，余下的部分即是較大數(shù)比較小數(shù)多的部分，也就是較小數(shù)比較大數(shù)少的部分，也是較大數(shù)與較小數(shù)相差的部分，數(shù)量關(guān)系模型是：“大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)”。

到了二年級(jí)，結(jié)合乘除法意義，在具體情境中，理解建立乘除法基本數(shù)量關(guān)系模型：“每份數(shù)×份數(shù)=總量”“大數(shù)÷小數(shù)=倍數(shù)”。

在學(xué)生結(jié)合加減法運(yùn)算意義，建立最基本的數(shù)量關(guān)系模型后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)加、減、乘、除各部分間的關(guān)系進(jìn)行變式練習(xí)，讓他們體驗(yàn)不同運(yùn)算間的內(nèi)在聯(lián)系。如在蘇教版二年級(jí)教學(xué)“認(rèn)識(shí)除法”后教材讓學(xué)生練習(xí)：

在練習(xí)中讓學(xué)生體悟到乘、除法之間的互逆關(guān)系，既加深了學(xué)生對(duì)乘、除法意義的理解，又有利于學(xué)生舉一反三、觸類旁通。

掌握基本數(shù)量關(guān)系是解決常規(guī)問(wèn)題的核心，也是以后解決非常規(guī)問(wèn)題的基礎(chǔ)。當(dāng)然，在加強(qiáng)運(yùn)算意義教學(xué)時(shí)教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)多元化的問(wèn)題情境，多積累一些實(shí)例，為學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系以及順利實(shí)現(xiàn)“化歸”提供大量的必要的原型支撐，防止情境定勢(shì)。

在解決具體問(wèn)題時(shí)，要溝通情境中的問(wèn)題與四則運(yùn)算數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系，潛移默化地滲透、理解數(shù)量關(guān)系，順利實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解和歸納，為學(xué)生解決問(wèn)題能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

二、 結(jié)合問(wèn)題情境，建立常見(jiàn)模型

在用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系分析的指導(dǎo)，注重常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的抽象、概括與應(yīng)用，以數(shù)量關(guān)系的有效構(gòu)建提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

修訂后的教材同實(shí)驗(yàn)稿教材相比，已經(jīng)明確指出部分最常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要加以抽象、概括、內(nèi)化、應(yīng)用，最終形成自己的認(rèn)識(shí)。這樣，不僅能為以后解決同類型問(wèn)題提供方法和策略，也為今后學(xué)習(xí)列方程解決問(wèn)題打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，為算術(shù)思想向代數(shù)思想轉(zhuǎn)變打下伏筆。

以上是蘇教版四年級(jí)教材中的內(nèi)容，都是在相同情境中解決相同的問(wèn)題。教材中，很多運(yùn)用常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題大量地以表格的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。筆者認(rèn)為，學(xué)生在解決問(wèn)題之后，教師必須總結(jié)出數(shù)量關(guān)系式：“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”。除此之外，還有不少數(shù)量關(guān)系式，如：“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”“存款金額×利率=利息”等，在日常教學(xué)中要逐步接觸、逐步滲透。這些基本關(guān)系式具有高度的概括性和廣泛的應(yīng)用性，教師可以用概括的語(yǔ)言和符號(hào)表示出來(lái)，建立數(shù)學(xué)模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的思維能力，感受數(shù)學(xué)抽象的美。

三、 依據(jù)基本關(guān)系，掌握復(fù)合結(jié)構(gòu)

小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系教學(xué)，既有簡(jiǎn)單的基本數(shù)量關(guān)系教學(xué)，也有復(fù)雜的復(fù)合數(shù)量關(guān)系教學(xué)。復(fù)合數(shù)量關(guān)系教學(xué)是小學(xué)中、高年級(jí)的重要內(nèi)容，也是整個(gè)小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系教學(xué)的重點(diǎn)和核心。

由于復(fù)合數(shù)量關(guān)系是由基本數(shù)量關(guān)系組合而成的，學(xué)生要正確解決問(wèn)題，必須了解復(fù)合數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)。學(xué)生對(duì)復(fù)合數(shù)量關(guān)系的形成過(guò)程、結(jié)構(gòu)的把握是解決復(fù)雜問(wèn)題的前提。只有學(xué)生在把握了復(fù)合數(shù)量關(guān)系是如何構(gòu)成的，才能進(jìn)行有意義的問(wèn)題解決。

比如，學(xué)生在解決“王大伯家養(yǎng)鵝48只，養(yǎng)雞144只，王大伯家養(yǎng)鵝和雞一共多少只？”這一問(wèn)題時(shí)，讓其分析出數(shù)量關(guān)系式：雞的只數(shù)+鵝的只數(shù)=養(yǎng)雞鵝總只數(shù)。再對(duì)題目進(jìn)行變化：“王大伯家養(yǎng)鵝48只，養(yǎng)雞只數(shù)是鵝的3倍，王大伯家養(yǎng)鵝和雞一共多少只？”讓學(xué)生對(duì)兩題數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較，找出簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系與復(fù)合數(shù)量關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系，觀察變化后題目中條件與問(wèn)題中的另一條件有怎樣的聯(lián)系，讓學(xué)生明白簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系變換成復(fù)合數(shù)量關(guān)系的路徑與方法，再進(jìn)一步讓學(xué)生嘗試對(duì)雞的只數(shù)進(jìn)行不同的變換，讓學(xué)生把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單的問(wèn)題改變成數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的問(wèn)題，從而掌握數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。

學(xué)生在分析、解題與編題的過(guò)程中，明白簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系如何轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而進(jìn)一步提升他們思考與解決問(wèn)題的能力。

四、 理性看待數(shù)量關(guān)系式，避免不良作用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》背景下的數(shù)量關(guān)系教學(xué)，顯然要區(qū)別于《九年制義務(wù)教育大綱》時(shí)代的數(shù)量關(guān)系教學(xué)，對(duì)原來(lái)的數(shù)量關(guān)系教學(xué)繼承優(yōu)點(diǎn)，拋棄缺點(diǎn)。在新課標(biāo)時(shí)代背景下，我們必須注意以下幾點(diǎn)：

一是防止無(wú)論解決什么實(shí)際問(wèn)題都唯數(shù)量關(guān)系論。教師只管拋給學(xué)生數(shù)量關(guān)系式或者讓學(xué)生抽象出數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行記憶，讓學(xué)生像背公式、法則似的背誦數(shù)量關(guān)系式。這不僅增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也不利于培養(yǎng)學(xué)生具體情況具體分析的能力。除了記憶一些特殊的數(shù)量關(guān)系式（如行程問(wèn)題、購(gòu)物問(wèn)題等）外，多數(shù)問(wèn)題可以根據(jù)具體情境來(lái)具體分析，不少問(wèn)題的解決還可以通過(guò)畫(huà)圖、列表等策略加以解決。

二是避免抽象出的數(shù)量關(guān)系過(guò)多過(guò)細(xì)。雖然新課標(biāo)教材不再將問(wèn)題分類，而是將問(wèn)題解決貫穿于教材各部分內(nèi)容之間。但是有教師見(jiàn)題就抽象、提取數(shù)量關(guān)系式，使學(xué)生面對(duì)的數(shù)量關(guān)系式過(guò)多，只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林。我們必須緊緊依靠四則運(yùn)算的意義，建立最基本的數(shù)量關(guān)系模型，找出各種數(shù)量關(guān)系與最基本的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，讓學(xué)生感悟到不同的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)上是一致的，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系都是由基本的數(shù)量關(guān)系組合而成的。

例如，許衛(wèi)兵老師執(zhí)教“常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系”時(shí)，借助行程問(wèn)題實(shí)例啟發(fā)學(xué)生悟出并建立“速度×?xí)r間=路程”的模型。在抽象出數(shù)量關(guān)系模型后，進(jìn)一步學(xué)會(huì)變式運(yùn)用，得出：“路程÷時(shí)間=速度”“路程÷速度=時(shí)間”。在此基礎(chǔ)上再提升，使學(xué)生悟出“速度×?xí)r間=路程”實(shí)則為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，再進(jìn)一步變式：“總數(shù)÷份數(shù)=每份”“總數(shù)÷每份=份數(shù)”。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶二年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將一系列“一乘兩除”的問(wèn)題歸之于乘法，對(duì)眾多具體的模型進(jìn)行適度的生成、拓展與重塑，高度概括為一個(gè)模型：“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)量”。做到了數(shù)量關(guān)系越教越簡(jiǎn)單，一通百通。

三是避免大量套模型的機(jī)械訓(xùn)練。由于有些問(wèn)題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，教師為了讓學(xué)生形成熟練的解題技巧和技能，進(jìn)行大量題型式訓(xùn)練，祈盼學(xué)生能熟練地解決問(wèn)題，忽視了數(shù)量關(guān)系分析過(guò)程對(duì)于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要價(jià)值。我們應(yīng)該讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)了解條件與問(wèn)題的關(guān)系，了解復(fù)雜數(shù)量關(guān)系是如何生成的，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能。

在問(wèn)題解決教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生在書(shū)本知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系的過(guò)程中，在從具象到抽象的過(guò)程中，讓學(xué)生根據(jù)四則運(yùn)算的意義、問(wèn)題結(jié)構(gòu)，分析數(shù)量關(guān)系。用等式、符號(hào)、語(yǔ)言、圖形、模擬等形式表示數(shù)量關(guān)系，其關(guān)鍵在于讓學(xué)生經(jīng)歷建立數(shù)量關(guān)系模型的抽象過(guò)程，經(jīng)歷提煉、運(yùn)用的過(guò)程，在經(jīng)歷建模、應(yīng)用過(guò)程中提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平，幫助學(xué)生積累直接思考的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把豐富的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為自身數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展和思維品質(zhì)的提升，進(jìn)而有效地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

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【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】