錢震杰， 章定國

(南京理工大學理學院， 江蘇 南京 210094)

含摩擦碰撞柔性機械臂動力學研究

錢震杰， 章定國

(南京理工大學理學院， 江蘇 南京 210094)

研究了由柔性桿、柔性鉸構成的機械臂的斜碰撞動力學問題。首先，采用高次剛柔耦合理論、應用Lagrange方程得到系統(tǒng)的遞推動力學模型。然后，引入碰撞力勢能，運用連續(xù)法建模獲得碰撞力所對應的廣義力，得到系統(tǒng)的碰撞動力學方程。采用Hertz接觸模型和Coulomb摩擦光滑修正模型分別建立法向和切向碰撞模型，提出碰撞/分離切換準則。通過光滑化處理摩擦接觸，提高了大型復雜柔性多體系統(tǒng)含摩擦碰撞全局動力學的計算效率。最后對國際空間站機械臂Canadarm2的簡化模型斜碰撞過程進行仿真，驗證了所提模型和算法的有效性。

斜碰撞； 摩擦； 柔性多體系統(tǒng)； 動力學仿真

引 言

摩擦與碰撞振動是導致大型柔性機構動力學非光滑、高度非線性問題的主要因素。柔性多體系統(tǒng)變形描述、接觸模型、stick-slip現(xiàn)象分析、接觸/分離切換、碰撞檢測、以及碰撞算法等都是研究的重點和難點。

針對多體系統(tǒng)的碰撞模型問題，Whittaker[1]最早對多剛體系統(tǒng)的斜碰撞進行研究，提出單向滑動和黏滯兩種接觸模式，利用Coulomb摩擦定律描述法向和切向沖量之間的關系。Kane[2]發(fā)現(xiàn)前者方法會導致碰撞后系統(tǒng)能量的增加，提出Kane 動力學之謎。研究發(fā)現(xiàn)：該現(xiàn)象出現(xiàn)的主要原因是忽略了切向滑動方向轉換和黏滯帶來的摩擦力大小、方向的變化。Stronge[3]以自由物體與平面斜碰撞為對象分析了斜碰撞過程的能量變化及碰撞前后速度關系，建立了黏滯/滑動摩擦接觸的動力學模型。Brach[4]和Keller[5]研究了斜碰撞中切向微滑動，以及法向變形與切向變形的同步和耦合關系。Glocker 和Pfeiffer[6]基于Poisson假設建立了多剛體系統(tǒng)的含摩擦多點碰撞模型，研究了不同接觸狀態(tài)的切換問題。趙振[7]等針對三維含摩擦的多剛體碰撞問題，以Poisson恢復系數(shù)判斷碰撞狀態(tài)，分析了切向運動和法向沖量的耦合關系。劉才山等[8]針對柔性單桿碰撞問題，提出了滿足邊界條件的法向非線性彈簧阻尼模型和切向接觸模型。劉錦陽等[9]運用Hertz接觸和Coulomb摩擦定律建立法向和切向碰撞模型，研究了柔性梁斜碰撞問題。閻紹澤等[10]建立了含間隙空間可展機構考慮經(jīng)典碰撞和接觸變形的動力學模型，并分析比較了四類間隙鉸模型。齊朝暉等[11]對多體系統(tǒng)鉸內摩擦接觸問題進行了詳細研究。胡海巖等[12]對大型網(wǎng)架式空間結構展開過程中的多柔體系統(tǒng)動力學建模、運動副內碰撞等非線性動力學問題進行了詳細的分析和總結。

根據(jù)不同的碰撞過程假設，目前含碰撞非光滑系統(tǒng)的建模主要有沖量-動量法、連續(xù)碰撞力法、附加約束法等。連續(xù)碰撞力法是一種以彈簧阻尼力元代替接觸區(qū)域復雜變形的近似方法。此法不僅解決了剛性碰撞理論中切向摩擦引起的數(shù)值不穩(wěn)定和能量不一致問題，而且能簡易地求解撞擊力，碰撞速度以及接觸時間等。雖然其計算結果的準確性受到模型參數(shù)選擇的影響，但在處理低速碰撞時仍有較高的精度，因此在航天器對接等領域廣泛應用。Khulief和Shabana[13]將線性彈簧阻尼模型引入到多體系統(tǒng)碰撞動力學的研究中。王琪等[14]針對多剛體系統(tǒng)研究了雙面約束多點摩擦問題，總結了非光滑多體系統(tǒng)動力學的數(shù)值算法[15]。姚文莉等[16]提出一種滑動模式步進算法，解決含鉸摩擦的多剛體系統(tǒng)的碰撞前后能量不協(xié)調問題。金棟平等[17]基于步進沖量法，深入研究了兩彈性體含摩擦斜碰撞中的法向壓縮/恢復、切向微滑正向/逆向等問題。洪嘉振等[18]詳細總結了柔性多體系統(tǒng)碰撞動力學建模理論、數(shù)值算法和實驗方面的進展情況。

常規(guī)數(shù)值方法處理含摩擦接觸的非光滑系統(tǒng)時，存在降階和精度較低的問題，黏滯時數(shù)值易發(fā)生不穩(wěn)定。為此學者們提出了光滑化方法[19]、黏著區(qū)判斷法[20]、事件驅動法[21]等解決方案。其中光滑化方法將不可微的函數(shù)轉化為一個可微函數(shù)，利用反正切、雙曲正切或樣條函數(shù)等光滑函數(shù)逼近干摩擦定律，進而采用一般的光滑優(yōu)化算法求解。此法無需額外方程或變量，通過適當?shù)墓饣幚?，解決了模型奇異性導致的數(shù)值不穩(wěn)定問題，起到了平滑振蕩的數(shù)值效果。雖然此法有一定的近似性，但如將光滑化參數(shù)取得足夠小，便可得到充分精確的解。因此，光滑化方法不失為一種工程應用的有效方法。 Kikuchi[22]和Wriggers等[23]研究了光滑化接觸算法，給出了插值函數(shù)。Mostaghel 和Davis[24]提出了運用4種連續(xù)函數(shù)分段近似描述摩擦力的建模方法。李興斯等[25]基于凝聚函數(shù)法的光滑化技術研究了摩擦接觸問題。

針對柔性多體系統(tǒng)的含摩擦碰撞問題，需要解決碰撞、摩擦引起的變邊界、高瞬態(tài)、數(shù)值穩(wěn)定性問題，因此建立數(shù)值性能較好、合理的接觸模型和算法至關重要。本文采用高次剛柔耦合理論建立柔性多體系統(tǒng)動力學模型。通過Lagrange方程得到遞推動力學方程。引入碰撞力勢能的概念，通過連續(xù)法建模得到碰撞動力學方程。采用Hertz接觸模型建立法向接觸模型，給出切向Coulomb摩擦的光滑修正模型，以及碰撞/分離切換準則。最后對國際空間站機械臂Canadarm2的簡化模型斜碰撞問題進行了仿真分析。

1 動力學方程

柔性機械臂由n個柔性桿和n個轉動鉸構成(見圖1)。設基座坐標系為O-XYZ，碰撞面ΓB坐標系為O'-X'Y'Z'。運用4×4齊次變換矩陣和Denavit-Hartenberg (D-H)坐標法來描述系統(tǒng)的運動和變形。

圖1 柔性機器人碰撞示意圖Fig.1 The flexible system collision schematic

柔性機械臂桿k上一點P與接觸面ΓB發(fā)生點-面碰撞接觸。點P在基座坐標系O-XYZ中表示為

hk=Wkkhk

(1)

式中Wk為基座坐標系到第k桿坐標系的齊次變換矩陣，khk表示點P在k桿連體坐標系中的位置矢量，

(2)

(3)

(4)

式中xkj,ykj,zkj分別表示k桿的x,y,z三個方向的第j階模態(tài)的變形位移，Nk為第k桿的模態(tài)截斷數(shù)，δkj為桿k的第j階模態(tài)坐標，xkjf表示由橫向彎曲引起的軸向縮短項，即高階幾何非線性耦合項，下劃線項表示高次耦合項或由其產(chǎn)生的導出項。

采用連續(xù)接觸力法建立碰撞過程模型，引入碰撞力勢能

(5)

進入碰撞階段后，由于碰撞力強度大且變化劇烈，迅速激發(fā)高頻模態(tài)，動力學方程易不穩(wěn)定，求解步長需要縮小，求解速度明顯下降。因此，問題的多尺度性和非連續(xù)性要求系統(tǒng)的耦合變形描述和方程數(shù)值求解有更高的精度。這里，柔性桿為細長桿，采用Euler-Bernoull梁假設，考慮軸向拉伸變形、軸向高階幾何非線性耦合變形、橫向彎曲變形、以及扭轉變形；鉸計入柔性和質量效應。

運用第二類Lagrange方程描述系統(tǒng)含摩擦的斜碰撞過程，歸納總結得到非碰撞階段和碰撞階段的動力學方程分別為：

(6)

(7)

式中J為系統(tǒng)的廣義質量陣，RI為除碰撞力外的所有主動力、部分慣性力產(chǎn)生的廣義力，z為廣義坐標列陣，見文獻[26]。通過碰撞力勢能，求得對應的碰撞廣義力RII為：

(8)

(9)

(10)

2 接觸模型

針對多體系統(tǒng)斜碰撞動力學問題，學者們對切向摩擦、法向接觸是否同步和耦合關系進行了大量研究。Johnson[27]認為切向變形對法向變形的影響很小，尤其是當碰撞物體的材料相同時，切向變形的影響甚微，即正碰撞的法向撞擊力模型適用于斜碰撞問題。Lewis和Rogers的研究[28]表明，對單向微滑動而言，斜碰撞過程中法向與切向碰撞力的時間變化歷程是同步的。目前現(xiàn)有的研究中，通常認為切向摩擦系數(shù)與法向恢復系數(shù)是相互獨立的。

2.1 法向接觸模型

在Hertz接觸理論和非線性彈簧阻尼模型[29]的基礎上，Lankarani-Nikravesh建立了L-N連續(xù)接觸力模型[30]，提出通過物體碰撞前后動能損失來確定接觸阻尼，其法向碰撞力與變形的非線性關系為

(11)

2.2 切向摩擦模型

系統(tǒng)摩擦所產(chǎn)生的stick-slip涉及動摩擦和靜摩擦狀態(tài)的切換，經(jīng)典庫侖摩擦定律將引起數(shù)值困難。在不考慮系統(tǒng)的stick-slip運動狀態(tài)切換時，即不考慮摩擦的靜態(tài)特性時，可以將切向摩擦力光滑化處理，把黏滯階段處理為一個相對速度為零的小鄰域，去掉表征摩擦力方向的符號函數(shù)。修正之后摩擦力僅與相對切向速度有關，與相對切向加速度無關。

聯(lián)邦、州和地方多個部門設立基金和針對再生水資金支持項目計劃的外生融資主要用于項目建設，運行維護和更替費用則主要依賴使用費、物業(yè)稅、用戶付費、公共設施稅收返還、特種稅、增容費等收入渠道的內生融資體系。這使得再生水項目在得到必要外部支持的同時，通過努力改善經(jīng)營而獲得充足的收入。由于原則上要求用戶承擔全部運營更替成本，其內生融資的費率體系充分體現(xiàn)了清晰的商業(yè)原則。

(12)

式中cf為摩擦系數(shù)，cd為一個動態(tài)的校正系數(shù)，是關于vT的分段函數(shù)。這里考慮3種摩擦修正模型，具體情況如下：

Ⅰ.Coulomb摩擦分段函數(shù)模型[31]：為解決摩擦力方向改變后出現(xiàn)切向速度為空值的問題，將動態(tài)校正因子cd視為關于切向速度公差的函數(shù)

(13)

式中 兩個臨界速度v0,v1為常值，當相對切向速度的絕對值在0～v0范圍內時，摩擦力為零，接觸處于粘滯狀態(tài)；其值在v0～v1范圍內時，靜摩擦系數(shù)隨之變化；其值大于v1時，接觸處于滑動狀態(tài)。

Ⅱ. 近似Coulomb摩擦光滑模型[31]：此模型避免了摩擦力與相對切向加速度的耦合給數(shù)值計算帶來的困難

(14)

其中cT為切向碰撞恢復系數(shù)，vr1,α為大于0 的常值，α的值越大，曲線越陡。

Ⅲ. 1902年Stribeck觀察到：當克服靜摩擦力后摩擦力不是連續(xù)地下降，而是在低速下隨著速度的增加而減小，呈現(xiàn)為速度的連續(xù)函數(shù)，即負斜率摩擦現(xiàn)象。這里，考慮Stribeck效應的近似Coulomb摩擦模型[32]

(15)

其中

(16)

(17)

2.3 狀態(tài)切換準則及算法實現(xiàn)

柔性機械臂桿k上一點P與接觸面ΓB發(fā)生點-面碰撞接觸，如圖2所示。WB為基座坐標系至接觸面ΓB坐標系的齊次變換矩陣，rk表示接觸點Q在接觸面ΓB坐標系中的位置矢量。

圖2 點-面碰撞接觸示意圖Fig.2 The node-to-surface collision schematic

因此，接觸對法向和切向距離gN和gT為：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

3 數(shù)值仿真

圖3 空間機械臂Canadarm2簡化模型Fig.3 A simplified model of Canadarm2

表1 機械臂柔性桿參數(shù)

由程序實時計算得到，碰撞初始速度為vx=-0.516 46 m/s,vy=-6.401 82 m/s,vz=-0.003 78 m/s。

在第 Ⅰ 種Coulomb摩擦分段函數(shù)模型中：摩擦系數(shù)cf=0.1，校正系數(shù)cd中常數(shù)參數(shù)v0=0.001 m/s，v1=0.05 m/s。法向碰撞力和切向滑動速度由程序實時計算獲得。圖4是碰前桿2末端加速度。

圖4 碰前桿2末端加速度Fig.4 Acceleration of Link-2 tip before impact

在碰撞前，隨著運動速度的增加，沿桿連體坐標系x向和z向振動幅值較小，而沿y向由于考慮了高階剛柔耦合變形項，振動幅值較大。

圖5 法向碰撞力和切向碰撞力Fig.5 The normal and the tangential impact forces

法向碰撞力和切向摩擦力如圖5所示。在tstart=0.646 663s碰撞開始，結束時間tend=0.650 660s，持續(xù)時間為0.003 997s。在1次碰撞內有3次法向和切向沖擊力峰值，碰撞激發(fā)柔性構件的高次剛柔耦合振動，1次碰撞內發(fā)生多次顫振。圖6是碰撞中桿2末端變形量，顯見沖擊力使得柔性桿變形量超過20%，達到大變形狀態(tài)。圖7是碰撞中桿2末端變形速度。沿桿連體坐標系y向的振幅峰值與沖擊力3次峰值一一對應。

圖6 碰撞中桿2末端的變形量Fig.6 Deformation at Link-2 tip during impact

圖7 碰撞中桿2末端的變形速度Fig.7 Deformation speed of Link-2 tip during impact

圖8 碰撞中接觸點切向速度Fig.8 Tangential velocity of contact point

在第Ⅲ種考慮Stribeck效應的近似Coulomb摩擦模型中：靜、動摩擦臨界速度為vs=0.04 m/s,vd=0.05 m/s，靜、動摩擦系數(shù)為μs=0.95,μd=0.85。法向碰撞力和切向滑動速度由程序實時計算獲得。通過仿真可以得到，碰撞開始時間為tstart=0.646 663 s，結束時間為tend=0.650 203 s，持續(xù)時間為0.003 540s。法向沖擊力和切向摩擦力如圖9所示。在1次碰撞過程中，切向和法向沖擊力形成3次峰值，一次碰撞內發(fā)生多次顫振。圖10 為碰撞中桿1末端變形加速度。在重力場中，柔性系統(tǒng)的高階耦合變形和碰撞激發(fā)了柔性構件的劇烈振動響應。

圖9 法向碰撞力、切向碰撞力Fig.9 The normal and tangential impact forces

圖10 碰撞中桿1末端加速度Fig.10 Acceleration of Link-1 tip during collision

4 結 論

本文研究了柔性機械臂系統(tǒng)的含摩擦斜碰撞動力學問題。采用高次剛柔耦合理論通過Lagrange方程得到系統(tǒng)的遞推動力學模型。引入碰撞力勢能，連續(xù)法處理碰撞狀態(tài)，光滑化處理摩擦接觸，提高了柔性多體碰撞動力學的計算精度。數(shù)值仿真表明，碰撞力激發(fā)了柔性桿變形的高階振動模態(tài)；在一次碰撞過程中，發(fā)生了多次碰撞，滑動摩擦力多次發(fā)生正、逆向的改變。通過連續(xù)法處理碰撞過程以及光滑化處理摩擦接觸，縮短了已有非光滑力學理論與工程實際應用之間的距離，提高了大型復雜柔性多體系統(tǒng)含摩擦碰撞的全局動力學的計算效率。

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Frictional impact dynamics of flexible manipulator arms

QIANZhen-jie,ZHANGDing-guo

(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In this paper, frictional impact dynamics is proposed for the flexible manipulator arms with high-order rigid-flexible coupling effect. Firstly, the system here is an assembly ofnflexible links connected bynrotary joints. All link flexibility, namely transversal, longitudinal, torsional and high-order flexible-rigid coupling deformation are included in this model. The 4×4 homogeneous transformation matrices are used to describe the kinematics of system and the recursive strategy for kinematics is adopted. Secondly, the contact/detachment is developed in a consistent manner by introducing the concept of impact force potential energy. The Hertz contact model is utilized to obtain the normal impact force. The tangential impact force is carried out in a smooth processing by modified Coulomb’s friction laws. The continue approach for contact/detachment and smoothed contact model are implemented as an explicit formulation which is suitable for real-time applications and improving the global dynamics computational efficiency for complex multi-body systems with frictional impact. Finally, a simplified model of Canadarm2 is illustrated to demonstrate the accuracy and efficiency of the presented approach and algorithms.

oblique impact; friction; flexible multi-body system; dynamics simulation

2014-08-29；

2015-05-12

國家自然科學基金資助項目(11272155, 11132007)；江蘇省“333”工程資助項目(BRA2011172)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目(30920130112009)

O313; O322

A

1004-4523(2015)06-0879-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.004

錢震杰 (1985—)，女，博士研究生。E-mail: qianzhenjie19851125@gmail.com

章定國(1967—)，男，教授。電話: (025)84315185；E-mail: zhangdg419@njust.edu.cn