劉 睿，張 蒙，張 政

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710049)

創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計

劉 睿，張 蒙，張 政

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710049)

研究創(chuàng)意平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計方案。首先，針對給定折疊桌的平板尺寸、木條高度與折疊后桌高的情況，對折疊桌動態(tài)變化過程、桌腳邊緣線、開槽長度等問題進(jìn)行研究。其次，在已知桌子高度和桌面直徑的情況下，按照折疊桌的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。最后，將此種優(yōu)化設(shè)計方案推廣到一般情況。

直紋曲面；最優(yōu)化模型；優(yōu)化設(shè)計

0 引言

創(chuàng)意平板折疊桌，其桌腿由若干根木條組成，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。相比普通折疊桌，創(chuàng)意平板桌，既可以伸展成平板，又可以折疊為桌子，不但輕巧方便，而且美觀大方。本文研究其優(yōu)化設(shè)計方案，使其具備穩(wěn)定性好、加工方便、用材少等特點。

首先，給定設(shè)計要求：長方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，并給出其設(shè)計加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。其次，本文針對折疊桌任意高度和桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。最后，本文需要根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，進(jìn)行設(shè)計方案的一般性推廣。

1 給定設(shè)計要求的平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計

設(shè)計要求：長方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。

1.1 折疊桌的動態(tài)變化過程

1.1.1 無扶手時, 最外端的木條向下旋轉(zhuǎn)角度為θ時,任一木條的直線方程

(1)建立直角坐標(biāo)系(見圖1)

圖1 直角坐標(biāo)系

(2)確定θ的取值范圍

由對稱性，只考慮一、四象限中的木條(即右側(cè)木板)，設(shè)最外側(cè)木條鋼筋到桌沿的距離為L(0.3m),桌面半徑為R(0.25m)，選取任意一根木條，即令y=y0(-Ry0R)。假設(shè)最外端木條向下旋轉(zhuǎn)角度為θ，則鋼筋與該木條的交點坐標(biāo)為(Lcosθ,y0,Lsinθ)，該木條與桌面交點坐標(biāo)為，y0，0)。

該木條的方向向量為:

(1)

該木條的直線參數(shù)方程為：

(2)

求得：θ∈(0,62.043°)。

(3)角度θ所對應(yīng)的直紋曲面方程

直紋面[1]由兩個要素決定：導(dǎo)線r=a(u)以及沿導(dǎo)線定義的一個非零向量場l(u)。本文選取鋼筋所在直線為導(dǎo)線，則導(dǎo)線方程為：

r=a(u)=(x,y,z)=(Lcosθ,u,Lsinθ)

故直紋面的方程為：

r(u,v)=(x,y,z)

Lsinθ+vLsinθ)

(3)

1.1.2 有扶手時,最外端的木條向下旋轉(zhuǎn)角度為θ時,任一木條的直線方程

1.1.1討論的狀況為理想狀況，實際情況見圖2，桌面兩邊有扶手，致使L的長度比平板長度的一半要小，本文規(guī)定扶手部分長度為0.4R。

圖2 平板折疊桌打開后的平面圖

對此情形，首先展示折疊過程中四個狀態(tài)(見圖3)。

圖3 平板折疊桌折疊過程示意圖

下面求上述情況下每根木條的直線方程。

x>0,y>0,z>0，任取一木條研究，初始狀態(tài)見圖4。

如圖5所示，最外側(cè)木條從桌沿到鋼筋的長度為L，木板長度的一半為L1=L+R/5，最外端的木條向下旋轉(zhuǎn)角度為θ，考慮y=y0處的木條。

圖4 平板折疊桌初始狀態(tài)示意圖

(a)

(b)

(4)

1.2 求解折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)

1.2.1 桌腳邊緣線

分析某一桌腳邊緣線AB的底端軌跡(圖6)：

圖6 桌腳邊緣線AB的底端軌跡

(6)

由上式得到：

(7)

1.2.2 開槽長度

圖7中為最終穩(wěn)定位置，右側(cè)陰影部分即為槽的位置。初始位置時鋼筋距離圓面的距離為d1，最終位置時鋼筋距離圓面的距離為d2,槽深為d3?？芍?/p>

(8)d2=

(9)

d3=d2-d1

(10)

計算，得：

圖7 平板折疊桌穩(wěn)定位置示意圖

由上式計算得由外向內(nèi)木條開槽長度依次為：

表1 槽的長度表

2 無設(shè)計要求的折疊桌優(yōu)化設(shè)計方案

2 .1 建立模型

2.1.1 給定折疊桌高度和圓桌面直徑，計算平板尺寸、鋼筋位置、開槽位置及長度

圖8 平板折疊桌簡易圖

如圖8所示，設(shè)圓形桌面半徑為R,高度為h,兩邊扶手的長度規(guī)定為0.4R。L=AC為平板尺寸，d=AB為鋼筋位置，最中間木條左端開槽位置距桌沿距離為l1,右端開槽位置距桌沿距離為l2，開槽長度l=l2-l1。由圖9，知：

(11)

圖9為穩(wěn)定后桌子形狀，此時鋼筋滑到最中間木條槽的最右端，即：

l2=FH

(12)

所以槽的長度為：

a=l2-l1=FH-d+0.8R

(13)

圖9 平板折疊桌

2.1.2 平板尺寸、鋼筋位置、開槽位置應(yīng)該滿足的條件

圖10 鋼筋位置的約束

開槽位置滿足的約束條件：

由圖10得鋼筋位置的約束條件，即：

為保持桌子的穩(wěn)固性，要求折疊成型后鋼筋的中點位置在桌面的下方：

2.2 當(dāng)桌腿長度一定時，鋼筋位置對桌腳邊緣線的影響

圖11 桌腳輪廓線

3 推廣方案

本文把上述方案推廣，要求：桌面形狀的邊緣曲線為x=f(y)，高度為H，木條寬度為b。

3.1 分析

未知參數(shù)：鋼筋的位置d，工作狀態(tài)下的θ，如圖12所示。

圖12 平面直角坐標(biāo)系

當(dāng)桌子下翻過程中，最外側(cè)木條旋轉(zhuǎn)任意角θ時(見圖13)：

圖13 平板折疊桌折疊示意圖

其中，A為桌面邊緣點，B處為鋼筋與木條的交點。則過A,B的直線方程為：

對于任意給定的桌腳邊緣線形狀，當(dāng)木桌桌面形狀已定時，僅是桌腳邊緣曲線距地面高度h0的分布。如圖14所示:

圖14 桌腳邊緣曲線距地面高度分布示意圖

不妨設(shè)高度分布曲線為z=g(y)，如圖15所示。

圖15 高度分布曲線

圖16 平板折疊桌簡易圖

則L(y)=LDA+LAC

其中

參數(shù)總表具體如表2所示(見文后)。

3.2 建立模型

如圖17所示：

桌子能夠站穩(wěn)一定要滿足以下約束[4-6]：

壓不塌：對鋼筋的扭矩一定要能夠保持平衡,即當(dāng)桌子立穩(wěn)后鋼筋的x坐標(biāo)小于桌面邊緣線的最大值，即：

圖17 平板折疊桌站穩(wěn)示意圖

支撐腿的長度要大于高度：

當(dāng)桌子穩(wěn)定的放在地面上時要保證鋼筋不能露出來，即：

dcos(θ)

目標(biāo)函數(shù)：

材料最省，即面積最小

公式太過復(fù)雜，故只考慮中間位置的木條，令y=0，可得：

模型如下：

min(L(0))

表2 參數(shù)總表

[1] 陳維桓.微分幾何初步[M].北京：北京大學(xué)出版社，1990：102-114.

[2] 姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1993：135-170.

[3] 葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材(三)[M].長沙：湖南教育出版社，1998:90-110.

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[5] 吳翊，吳夢達(dá)，成禮智.數(shù)學(xué)建模的理論與實踐[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，1999:85-115.

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[責(zé)任編輯、校對：周 千]

Creative Design Scheme Optimization of Flat Folding Table

LIURui,ZHANGMeng,ZHANGZheng

(Faculty of Science, Xi'an Aeronautical University, Xi'an 710049, China)

This paper studies the optimization design scheme of creative flat folding table.At first, if the plate size, wood height and table height after folding are given, we study dynamic change process, edge-line of table-foot and slot length of the table.Then, when the height and diameter of table are given, we study the optimal design of machining parameters of the flat-plate and table.At last, the optimization design scheme is generalized.

ruled surface; optimization model; optimization design

2015-03-26

劉睿(1984-)，女，陜西西安人，講師，從事數(shù)學(xué)建模方面的研究。

O221.2

A

1008-9233(2015)03-0065-07