陳鵬　鄧飛　劉思廷

摘要：論文對(duì)三維空間屬性建模的插值方法進(jìn)行研究，主要以反距離加權(quán)插值算法和基于B樣條函數(shù)插值算法作為研究對(duì)象，從三維空間的角度，詳細(xì)的介紹了兩種插值方法的基本原理，實(shí)現(xiàn)了在三維空間中的屬性插值，并通過(guò)體繪制和切片的形式來(lái)顯示插值效果，通過(guò)對(duì)插值效果的分析比較來(lái)說(shuō)明兩種插值算法的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：屬性插值；反距離加權(quán)；B樣條；控制點(diǎn)網(wǎng)格

中圖分類號(hào)：TP39 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）07-0235-05

Abstract： Modeling for three-dimensional space attribute interpolation method are studied， mainly by the inverse distance weighted interpolation algorithm and the interpolation algorithm based on b-spline function as the research object， from the Angle of three dimensional space， detailed introduces the basic principle of two kinds of interpolation methods， realized in attribute interpolation in 3D space， and through the volume rendering and sliced to display in the form of interpolation effect， through the analysis of interpolation effect compared to illustrate both the advantages and disadvantages of the interpolation algorithm.

Key words： attribute interpolation； inverse distance weighted； B-spline； control point grid

現(xiàn)在三維建模絕大多數(shù)是對(duì)真三維空間中實(shí)體進(jìn)行幾何形態(tài)的建模，而對(duì)實(shí)體內(nèi)部屬性的建模還有一定的欠缺，然而三維空間的屬性建模是非常重要的，它是三維建模重要的組成部分，所以對(duì)于它的研究是具有一定的意義的。三維空間屬性參數(shù)的建模就是求解空間內(nèi)部物理、化學(xué)屬性參數(shù)的模型。而對(duì)三維空間中的屬性進(jìn)行插值則是用來(lái)求解屬性值的一種很普遍的方法。由于在三維空間中不可能對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，只能得到一定數(shù)量的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可以反映出部分或者全部的空間特征，利用這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，據(jù)此預(yù)測(cè)未知數(shù)據(jù)的屬性特征。測(cè)量到的三維空間數(shù)據(jù)往往是分布不均勻的離散數(shù)據(jù)，為了方便進(jìn)行插值與繪制，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化是有必要的。所謂網(wǎng)格化是指通過(guò)一定的插值方法，將稀疏的、不規(guī)則分布的數(shù)據(jù)插值加密為規(guī)則分布的數(shù)據(jù)，以適合繪圖的需要[1]。空間插值的方法有很多，常見(jiàn)的有反距離加權(quán)插值算法，克里金（kriging）插值法[2]，自然鄰近點(diǎn)插值法[3]，泰森多邊形插值法[4]，樣條函數(shù)插值法等插值方法。

傳統(tǒng)的二維空間插值數(shù)據(jù)點(diǎn)為xy坐標(biāo)加上屬性值p，即[x，y，p]，本文主要是以反距離加權(quán)插值算法和B樣條函數(shù)插值算法作為研究對(duì)象，在傳統(tǒng)二維空間插值的基礎(chǔ)上，對(duì)兩種算法進(jìn)行修改，使其能在三維空間中實(shí)現(xiàn)插值，此時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)變?yōu)閤yz坐標(biāo)加上屬性值p，即[x，y，z，p]，同時(shí)分析兩種算法的插值效果，對(duì)比兩種算法的優(yōu)點(diǎn)和不足。

1 反距離加權(quán)插值算法

從圖（1）可以看出，當(dāng)[μ]小于2時(shí)數(shù)據(jù)效果很集中，當(dāng)[μ]大于2時(shí)會(huì)細(xì)致很多。IDW是一種常用的空間插值方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，插值效率高，在已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻的情況下插值效果最好。當(dāng)插值數(shù)據(jù)較多的時(shí)候，IDW方法計(jì)算插值速度較慢，這種情況下對(duì)控制點(diǎn)的作用范圍進(jìn)行限制，當(dāng)點(diǎn)[（xi，yi，zi）]到某一點(diǎn)[x，y，z]的距離大于某一范圍就令它的權(quán)值為零，這樣可以使插值速度加快，同時(shí)又不會(huì)對(duì)效果有太大的損害，因?yàn)榭刂泣c(diǎn)與待插值點(diǎn)的距離太大對(duì)待插值點(diǎn)的影響就比較小。

2 基于B樣條的插值算法

上面提到在數(shù)據(jù)量較大的時(shí)候，反距離加權(quán)的效率會(huì)變低，同時(shí)它的插值效果容易受外界因素的影響，使得效果不太理想，在這樣的情況下，本文進(jìn)一步的對(duì)基于B樣條函數(shù)插值方法進(jìn)行了研究，B樣條插值算法效率快，且插值效果能很好的逼近散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)。

基于B樣條的大規(guī)模插值方法是一種比較有效的大規(guī)模插值方法，該方法無(wú)法保證插值曲面能夠完全通過(guò)所有插值控制點(diǎn)，只能產(chǎn)生在一定誤差范圍內(nèi)的擬合曲面。

設(shè)在三維空間中（如圖2所示），有一離散點(diǎn)集合[P=x，y，z，p]，在坐標(biāo)系XOYOZ中有一數(shù)據(jù)體Ω，[xd，yd，zd]是其中的離散點(diǎn)。為了能近似的表示離散點(diǎn)集P，可以構(gòu)造[m×n×k]個(gè)雙三次B樣條曲面片集合來(lái)逼近，m表示沿X方向?qū)ⅵ阜殖蒻等分，n表示沿Y方向?qū)ⅵ阜殖蒼等分，k表示沿Z方向?qū)ⅵ阜殖蒶等分。這個(gè)[m×n×k]個(gè)雙三次B樣條曲面片由控制點(diǎn)網(wǎng)格體Φ來(lái)定義，Φ為[m+3×n+3×k+3]的控制點(diǎn)網(wǎng)格體，均勻的覆蓋在數(shù)據(jù)體Ω中。

圖3中是使用不同規(guī)模的控制點(diǎn)網(wǎng)格對(duì)相同散亂數(shù)據(jù)插值的效果圖。對(duì)比兩切片（c）（d）可以明顯地觀察到，控制點(diǎn)網(wǎng)格越密則構(gòu)造的屬性曲面越細(xì)致，越能更好地逼近散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)，但是在實(shí)際使用中控制點(diǎn)網(wǎng)格也不可以太密，首先高密度的控制點(diǎn)網(wǎng)格增大了計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)當(dāng)網(wǎng)格控制點(diǎn)的密度達(dá)到一定程度后，會(huì)造成屬性插值曲面嚴(yán)重畸變[7]。

如圖4所示，是使用層次 B 樣條方法對(duì)前面離散數(shù)據(jù)的插值結(jié)果對(duì)比圖，從切片（c）（d）的圖中可以看出在采用了層次 B 樣條后所得到的屬性曲面既有良好的光滑程度，又有很高的逼近程度。另外對(duì)于不均勻的散亂數(shù)據(jù)使用層次 B 樣條方法可以在數(shù)據(jù)點(diǎn)稀疏的地方保持屬性曲面的大體趨勢(shì)，又能夠在數(shù)據(jù)點(diǎn)密集的地方更好地逼近散亂數(shù)據(jù)，因而具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。

如圖5所示，分別為反距離加權(quán)插值和層次B樣條插值的效果圖，根據(jù)圖（c）（d）切片效果，可以看到層次B樣條插值效果明顯比反距離插值效果要更光滑一些。反距離加權(quán)插值的概念簡(jiǎn)單，易于在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)，但是它受觀察點(diǎn)的影響太大，如圖（c）所示，會(huì)出現(xiàn)圍繞觀察點(diǎn)位置的“牛眼”，而層次B樣條插值雖然在概念上要復(fù)雜一點(diǎn)，但是它同樣易于實(shí)現(xiàn)，且所需的信息量不大，同時(shí)能保證產(chǎn)生高精度的近似擬合屬性曲面，誤差范圍很小。同時(shí)對(duì)兩種算法的實(shí)現(xiàn)程序效率作對(duì)比，在用層次B樣條插值和反距離加權(quán)插值對(duì)相同的大規(guī)模三維數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值的情況下，層次B樣條插值的效率會(huì)更快一些。

3 結(jié)束語(yǔ)

論文研究了關(guān)于在三維空間中利用反距離加權(quán)插值算法和基于B樣條插值算法進(jìn)行屬性插值建模的原理和方法，并且對(duì)兩種

算法都予以了實(shí)現(xiàn)。根據(jù)三維數(shù)據(jù)屬性插值處理的結(jié)果可知，B樣條插值在插值效果上比反距離插值算法更加的光滑，而且在效率上，B樣條插值也會(huì)更快一些。同時(shí)，在B樣條的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)了層次B樣條，從插值結(jié)果可知，層次B樣條比B樣條具有更好地近似度和逼近程度。

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