馮麗霞

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心，陜西 西安 710127；2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾 041004)

Dirichlet空間上Toeplitz算子的乘積

馮麗霞1，2

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心，陜西 西安 710127；2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾 041004)

給出了Dirichlet空間上一個(gè)Toeplitz算子的共軛算子與另一個(gè)Toeplitz算子的乘積仍為Toeplitz算子的刻畫.并得到了Dirichlet空間上一個(gè)Toeplitz算子的共軛算子與另一個(gè)Toeplitz算子的乘積為零算子的充要條件.

Dirichlet空間；Toeplitz算子；共軛算子；乘積

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)D是復(fù)平面C上的單位開圓盤，dA表示D上正規(guī)化的面積測(cè)度.稱D上光滑函數(shù)f在范數(shù)

下，取閉包所得到的空間為Sobolev空間，記為S，則S是一個(gè)Hilbert空間，定義其上內(nèi)積為

由S中所有滿足f(0)=0的解析函數(shù)構(gòu)成的閉子空間稱為Dirichlet空間，記為D.

D上的一個(gè)非負(fù)測(cè)度μ稱為D-Carleson測(cè)度，如果存在非負(fù)常數(shù)c，使得

∫D|f|2dμ≤c‖f‖2，f∈D.

令

設(shè)φ∈M，則φ定義的D上Toeplitz算子Tφ為

Tφ(f)=P(φf)，f∈D，

其中P是從S到D上的正交投影.容易驗(yàn)證Tφ是D上的有界算子.一直以來，各種積分算子的有界性也是函數(shù)空間上算子理論的研究課題之一[1].

(1)φ=0，且ψ=0；

2 定理證明

下面引理表明，由S中的調(diào)和函數(shù)φ定義的Toeplitz算子Tφ在D上有界，當(dāng)且僅當(dāng)φ∈M.

引理1 設(shè)φ是S中的調(diào)和函數(shù).如果Tφ在D上是有界的，則φ∈M.

證明 令

容易驗(yàn)證：

〈φ′rw，kw〉2+〈φkw，kw〉2=(1-|w|2)φ′(w)rw(w)+φ(w)=

w(1-|w|2)φ′(w)+φ(w)≤ω〈φ′，kw〉2+φ(w).

對(duì)任意f，ɡ∈D，

〈Tφf，ɡ〉=〈φf，ɡ〉=〈φ′f+φf′，ɡ′〉2=〈φ′f，ɡ′〉2+〈φf′，ɡ′〉2.

因?yàn)棣沼薪缜襎φ有界，所以

|〈φ′f，ɡ′〉2|≤|〈Tφf，ɡ〉|+|〈φf′，ɡ′〉2|≤(‖Tφ‖+‖φ‖∞)‖f‖‖ɡ‖，

(1)

定理1的證明 充分性易驗(yàn)證，我們只給出必要性的證明.

設(shè)

由(1)式，對(duì)于i，j≥1，

(2)

(3)

(4)

同理可得

即

(5)

利用(4)和(5)式可知

即

(6)

同時(shí)也有

即

(7)

或

利用(4)與(6)式計(jì)算得

(8)

或

再由(8)式，

這表明eiθφ(eiθ)λ(eiθ)=0或e-iθφ(eiθ)λ(eiθ)=0，對(duì)幾乎處處的θ∈[0，2π]成立.由F.Riesz和M.Riesz定理[7]得φ=0或λ=0.

[1] 周淑娟.Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間的有界性[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(2)：21-24.

[2] CHEN Y，NGUYEN Q D.Toeplitz and Hankel operators with symbols on Dirichlet space[J].J Math Anal Appl，2010，369(1)：368-376.

[3] LEE Y.Algebraic properties of Toeplitz operators on the Dirichlet space[J].J Math Anal Appl，2007，329(2)：1316-1329.

[4] LEE Y.Finite sums of Toeplitz products on the Dirichlet space[J].J Math Anal Appl，2009，357(2)：504-515.

[5] LEE Y，ZHU K.Sums of products of Toeplitz and Hankel operators on the Dirichlet space[J].Intergr Equ Oper Theory，2011，71(2)：275-302.

[6] YU T.Toeplitz operators on the Dirichlet space[J].Integr Equ Oper Theory，2010，67(2)：163-170.

[7] DOUGLAS R G.Banach algebra techniques in operator theory.2nd ed[M].New York：Springer-Verlag，1998：137.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Product of Toeplitz operators on the Dirichlet space

FENG Li-xia1，2

(1.Center for the History of Mathematics and Science，Northwest University，Xi’an 710127，China；2.School of Mathematics and Computer Sciences，Shanxi Normal University，Linfen 041004，China)

It is studied that the product of the adjoint of a Toeplitz operator and another Toeplitz operator can be a Toeplitz operator on the Dirichlet space under some conditions.As a corollary，we show that on the Dirichlet space，the zero product of the adjoint of a Toeplitz operator and another Toeplitz operator holds only for trivial symbols.

Dirichlet space；Toeplitz operators；conjugate operator；product

1000-1832(2015)04-0042-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.009

2014-03-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201274).

馮麗霞(1978—)，女，博士，講師，主要從事泛函分析，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.

O 177.1 [學(xué)科代碼] 110·57

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