☉江蘇省海門中學(xué)張婕

新課程理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施與思考

☉江蘇省海門中學(xué)張婕

數(shù)學(xué)概念教學(xué)課是數(shù)學(xué)教學(xué)最本質(zhì)、最根本的部分，它長久以來一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本·中科院院士王元對于數(shù)學(xué)概念早有這樣的認(rèn)知：數(shù)學(xué)，說到底就是玩概念，很多數(shù)學(xué)問題在初等階段解決起來非常煩瑣甚至根本解決不了，但是隨著數(shù)學(xué)概念的深入和發(fā)展，到了更高層次，這些問題根本談不上是問題，所以數(shù)學(xué)說到底就是學(xué)習(xí)概念！舉一個例子：初中的學(xué)生對于函數(shù)的認(rèn)知是非常淺薄的，又受限于解決問題工具的局限性，所以對于很多函數(shù)是無法認(rèn)知和解決的，到了高中系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)概念之后，回頭看初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)（主要是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等），才覺得這些函數(shù)僅僅是一小部分，隨著指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等的學(xué)習(xí)，加之復(fù)合函數(shù)的引進(jìn)，函數(shù)越來越豐富·到了高中后期，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)概念及其相關(guān)性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)前面所學(xué)的基本初等函數(shù)又不過云云，更復(fù)雜的函數(shù)問題也可以在導(dǎo)數(shù)這個工具的運(yùn)用下得到輕松的解決·

筆者引用上述主要想說明數(shù)學(xué)概念的重要性，數(shù)學(xué)概念教學(xué)如何才能深入人心和高效、有效才是概念教學(xué)的關(guān)鍵·從我們數(shù)學(xué)優(yōu)良的傳統(tǒng)雙基教學(xué)來看，概念教學(xué)不可謂不扎實(shí)，其中將概念的內(nèi)涵和外延教授得非常扎實(shí)一直是雙基教學(xué)的特點(diǎn)和傳統(tǒng)，筆者認(rèn)為可以將這些優(yōu)良的部分繼續(xù)傳承下去，另一方面新課程力主踐行學(xué)生自主通過探索，在頭腦中建立起所學(xué)知識的數(shù)學(xué)概念雛形，進(jìn)而完善概念自身建立的能力，這正是傳統(tǒng)概念教學(xué)所缺失的·筆者認(rèn)為，將傳統(tǒng)啟發(fā)式在概念教學(xué)中進(jìn)行合理的引導(dǎo)有助于課堂教學(xué)效率的提高，將積極探索、主動建構(gòu)的新課程理念在概念教學(xué)中有效實(shí)施有助于概念在學(xué)生腦海中深深扎根，

兩者的有機(jī)整合有利于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的完美融合·本文以立體幾何中“直線與平面垂直”內(nèi)容為相關(guān)課例，談?wù)劰P者自身對新課程下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)施和一些思考，與大家交流·

一、課題引入

師：從前階段對直線和平面的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，我們知道了兩者之間存在三種不同的位置關(guān)系·

生：是平行、包含和相交·

師：對，直線和平面的平行我們已經(jīng)做了比較深入的研究，從中總結(jié)了相關(guān)的判斷方式和性質(zhì)定理，請同學(xué)們回顧一下·

（請學(xué)生回顧，并將相關(guān)定理進(jìn)行板書，這是化歸思想的體現(xiàn)）

師：本節(jié)課將從直線和平面的另一種位置關(guān)系——相交入手研究，并且首先研究其中的一種特殊情形——直線和平面垂直，同學(xué)們想一想，生活中有哪些給你線面相交的直觀感覺呢？能否舉例？

生：有很多！升國旗時(shí)，旗桿與地面是相交的；種在地面上的樹和地面是相交的；路燈桿子和地面是相交的；電扇桿子和天花板是相交的等·

（教師給出投影，將學(xué)生所描述的情形給予直觀感受）

師：我們將地面、墻面等抽象為平面，將樹、桿子、旗桿等抽象成為直線，今天我們要研究的正是直線和平面相交的位置關(guān)系，首先研究它們最特殊的情形，即垂直關(guān)系·

二、建構(gòu)雛形

師：請同學(xué)們利用手邊的文具進(jìn)行自我感知·

（學(xué)生自我感知直線與平面垂直·如：擺放筆與本子）

師：請同學(xué)給我們舉個具體的實(shí)例·

生：圓錐·圓錐的軸和底面感覺是垂直的，其母線與底面感覺是不垂直的·

師：好，請同學(xué)思考：我們應(yīng)該如何定義直線與平面的垂直？線面平行是如何實(shí)現(xiàn)判斷的？

（引導(dǎo)學(xué)生利用類比思想，將垂直關(guān)系引導(dǎo)到線面平行關(guān)系的判斷解決中）

生：還沒有完全想象清楚·

師：那好，請看看我利用幾何畫板給出的分析（展示圓錐形成的過程，通過動態(tài)變化思考軸與底面內(nèi)直線的關(guān)系）·

（軸SO與這個平面垂直）

生：軸SO不動時(shí)，使垂直于SO的直線OC運(yùn)動起來時(shí)，我發(fā)現(xiàn)平轉(zhuǎn)OC形成了一個平面·所以軸SO垂直于底面內(nèi)過點(diǎn)O的所有直線·

師：為什么平面內(nèi)的其他直線與軸SO也是垂直的？

（停頓思考）

生：這個可以通過異面直線所成角知道，將直線平移過來就可以解決了·

師：通過直觀感受，同學(xué)們可以清楚地認(rèn)知這樣的結(jié)論，請甲同學(xué)總結(jié)下·

甲生：任意直線可以平移經(jīng)過點(diǎn)O，SO垂直于底面內(nèi)的所有直線·

意圖：教師引導(dǎo)下的，積極探索、主動建構(gòu)概念的雛形·

三、形成定義

師：通過演示和同學(xué)們自主的工具演示，我們發(fā)現(xiàn)這種垂直其實(shí)并非偶然，那么這種并非偶然的背后存在著怎樣的必然呢？甲同學(xué)幫我們總結(jié)了，這里的軸SO垂直于底面內(nèi)的所有直線，因此軸SO垂直于這些所有直線所在的平面·

圖1

（形成定義，并板書）

定義：若直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線均垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作a⊥α·（如圖1所示，P為垂足，a為垂線，α為垂面）

師：對線面垂直的概念了解之后，我們來看看概念的延伸，你是否真正讀懂了概念？概念中有個關(guān)鍵的詞語，你能找出來嗎？

生：任意·

師：好，請看定義辨析·

（給出3個定義辨析，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解）

①若一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直于平面外的一條直線，那么這個平面就與這條直線垂直·

②若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線·

③若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線·

對①分析無數(shù)條與任意一條的區(qū)別·（指出反例中的無數(shù)條平行直線與平面外的直線垂直可以轉(zhuǎn)化為其中一條直線與平面外的直線垂直，原因是異面直線所成的角相等）

師：一般來說定義都有兩個方面（兩重性）·從兩個方面來認(rèn)識定義（充要條件）·

四、探索判定

師：有了這個定義，我們就可以知道直線和平面的關(guān)系是否是垂直的了·大家試想：用定義如何去判定線面垂直呢？是不是要一條一條直線去判定？

生：顯然不可能·我覺得和線面平行比較類似，定義是一種理想化的抽象，用于實(shí)際判定必須找到一個新的方式、方法，類似于線面平行的判定定理·

師：請同學(xué)想一想，用手中的筆去試試，要判定線面垂直需要使用平面中的幾條直線呢？

（學(xué)生開始嘗試）

生：通過嘗試，我發(fā)現(xiàn)只需要兩條直線就可以判定·

師：這兩條直線位于平面內(nèi)任意位置都可以嗎？

生：我用鉛筆搭建了一下，發(fā)現(xiàn)這兩條直線是相交的才可以·

師：好！那么這位同學(xué)到底說的對不對呢？老師設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)，請同學(xué)們試試·

（辨別得到相交直線的過程，可以要求學(xué)生擺出反例模型進(jìn)行說明）

（教師準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)操作（折紙實(shí)驗(yàn)）：準(zhǔn)備一張白紙，隨后將白紙進(jìn)行折疊，得到折痕AD，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上·引導(dǎo)學(xué)生分析后得到結(jié)論：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面）

圖2

師：我們把這個結(jié)論叫做直線和平面垂直的判定定理，事實(shí)上在幾何中除了公理，其他的定理都是要求嚴(yán)格證明的·現(xiàn)在新課程對于同學(xué)們定理證明的要求降低了，新課改后很多定理不要求證明了，只要求先進(jìn)行直觀的感知·比如這里，這個定理的證明方法較多，留給大家課后查閱相關(guān)資料思考·老師相信同學(xué)們有能力把它解決掉·

（引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納）

師：直線和平面垂直的判定定理即：文字語言：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面；符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b=A?l⊥α；圖形語言：（略）·用關(guān)鍵語句可以說：線不在多兩條就行，位置關(guān)系相交就靈·

五、定理運(yùn)用

例題：已知：a∥b，a⊥α·求證：b⊥α·

（由學(xué)生上黑板板演并分析求證過程）

生1：在平面α內(nèi)作任意一條直線m，因?yàn)橹本€a⊥α，根據(jù)直線與平面垂直的定義知：a⊥m·又因?yàn)閎∥a，所以b⊥m·又因?yàn)閙是平面α內(nèi)任意一條直線，所以b⊥ α·

生2：在平面α內(nèi)作兩條相交直線m、n，因?yàn)橹本€a⊥α，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a⊥m，a⊥n·又因?yàn)閎∥a，所以b⊥m，b⊥n·又因?yàn)閙?α，n?α，m、n是兩條相交直線，所以b⊥α·

圖3

設(shè)計(jì)說明：設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生對定理的初步使用有一定的感受，加深學(xué)生對定理的理解·

六、反演辨析

師：對于判定定理，我們都有了一定的了解，若將上述例題中的條件和結(jié)論進(jìn)行對換，請同學(xué)們思考這個結(jié)論正確與否，即：若b⊥α，a⊥α，則a∥b·

考慮到證明并不是重點(diǎn)，因此采用投影的方式給予學(xué)生課后思考和探索·分析直接證明較困難，采用反證法·（板書）

證明：設(shè)b不平行于a，設(shè)b∩α=O，b′是經(jīng)過點(diǎn)O與直線a平行的直線·直線b與b′確定平面β，設(shè)α∩β=c·因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c·又因?yàn)閎′∥a，所以b′⊥c·因此在平面內(nèi)經(jīng)過直線c上同一點(diǎn)，就有兩條直線b和b′與c垂直，顯然不可能·因此a∥b·

師：這個命題的已知條件為線面垂直（線面關(guān)系），結(jié)論為線線平行（線線關(guān)系），我們把這個命題叫做直線與平面垂直的性質(zhì)定理·

思考：通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識線面“垂直”，并指出這就叫直線與平面垂直，引出課題·類比研究線面平行的方法，通過圓錐的動畫演示來使學(xué)生理性認(rèn)識線面垂直與線線垂直的關(guān)系，以及線面垂直存在的必然性·通過展示實(shí)例，多媒體演示，使學(xué)生感受l與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納出直線與平面垂直的定義·通過直觀感知、操作確認(rèn)，從兩個角度“相交”“兩垂直”認(rèn)識歸納出線面垂直的判定定理，運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題·完成兩個例題的研究，由學(xué)生根據(jù)定理的內(nèi)容進(jìn)行判定·按照研究數(shù)學(xué)問題的一般模式，給出性質(zhì)定理的猜想，并通過分析引導(dǎo)學(xué)生給予證明·最后對本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，從知識和方法兩個層面認(rèn)識線面垂直·

總之，從案例實(shí)施和案例分析，我們可以看出教師是將啟發(fā)式教學(xué)孕育在新課程理念中，既通過合理的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、折紙等將學(xué)生帶進(jìn)動手操作的地步，又引導(dǎo)學(xué)生積極自主探索、合理建構(gòu)線面垂直的定義形成和判斷定理的成形，并為性質(zhì)定理的出現(xiàn)做出了合理的設(shè)計(jì)鋪墊，正所謂數(shù)學(xué)概念教學(xué)比較完善地融合了啟發(fā)式教學(xué)與新課程理念，既發(fā)揚(yáng)了傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢也滲透了新課程提倡的探索、建構(gòu)的理念·懇請讀者做出指正·

圖4

1·羅成·談數(shù)學(xué)概念教學(xué)的挖掘和運(yùn)用［J］·中國數(shù)學(xué)教育，2013（2）·

2·沈先禮·數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考［J］·中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（12）·

3·展國培·有效教學(xué)，從關(guān)注學(xué)生開始［J］·中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2013（1）·A