靳紅玲， 陳建軍， 郭康權(quán)

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)機電工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100；2.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室， 陜西 西安 710071)

考慮附加質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)柔性梁的隨機動力學(xué)分析

靳紅玲1,2， 陳建軍2， 郭康權(quán)1

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)機電工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100；2.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室， 陜西 西安 710071)

研究了帶有附加質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)柔性梁系統(tǒng)在參數(shù)具有隨機性時的動力響應(yīng)問題?；诩僭O(shè)模態(tài)法和Lagrange方程建立了帶有附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)的一次近似耦合隨機動力學(xué)方程，利用混沌多項式結(jié)合高效回歸法將其轉(zhuǎn)化為完全隱式純微分方程，求解方程得到柔性懸臂梁變形響應(yīng)的數(shù)字特征。最后，通過數(shù)值仿真對物理參數(shù)和幾何參數(shù)具有隨機性的系統(tǒng)進行動力特性研究。仿真結(jié)果表明：利用隨機參數(shù)的動力學(xué)模型能客觀地反映出系統(tǒng)的動力學(xué)行為；部分隨機參數(shù)的分散性對柔性體動力響應(yīng)的影響不可忽視。

柔性懸臂梁； 隨機參數(shù)； 混沌多項式； 動力響應(yīng)； 附加質(zhì)量

引 言

隨著航天器、機器人、機械系統(tǒng)等向高速化、輕質(zhì)化、大型化和高精度方向發(fā)展，許多學(xué)者對進行大范圍運動柔性懸臂梁的動力學(xué)問題進行了深入研究[1-4]。文獻[5]考慮剛體作大范圍平面運動時柔性梁的橫向彎曲引起的縱向縮短，運用Lagrange方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程，建立了較零次近似模型更精確的一次近似模型。文獻[6]通過全物理仿真實驗驗證了動力剛化現(xiàn)象的存在以及一次近似耦合模型的合理性和正確性。

在傳統(tǒng)的柔體動力學(xué)研究中，通常認為研究對象的所有物理參數(shù)和幾何參數(shù)均是確定的或可精確測量的。事實上，由于多種隨機因素的存在，使得基于確定性參數(shù)的動力學(xué)建模和分析結(jié)果無法反映出隨機因素對系統(tǒng)動力特性的影響。因此，研究隨機參數(shù)柔體動力學(xué)問題將具有重要的理論意義和現(xiàn)實的工程背景。目前，關(guān)于含有不確定性參數(shù)的柔性懸臂梁系統(tǒng)，尤其對末端附有集中質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)的研究鮮有報道。文獻[7]利用蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo Simulation, MCS)對計及參數(shù)不確定性的柔性空間梁的動力學(xué)建模問題進行了研究，但該法需要樣本量大，計算效率較低。文獻[8]采用攝動法分析不確定的多體系統(tǒng)，該方法僅適合于小參數(shù)的情況。

混沌多項式(Polynomial Chaos，PC) 是一種非常嚴(yán)密的不確定分析方法，具有很強的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，該方法采用正交多項式對不確定變量進行展開，通過正交多項式的特性，將隨機變量的隨機特性轉(zhuǎn)移到多項式系數(shù)上。近年來，PC方法逐漸在復(fù)雜問題分析中取得了廣泛的應(yīng)用[9-11]，該方法與MCS相比，在保證計算精度的前提下，可以顯著減少模擬次數(shù)，提高計算效率。在PC的應(yīng)用過程中，首要的工作是如何選取配點以求解混沌多項式展開式中的待定系數(shù)?，F(xiàn)在常用的配點法是Isukapalli提出的高效回歸法(Regression Method with Improved Sampling, RIS)[12]，RIS建議配點數(shù)目取為待定系數(shù)的2倍以獲得比其它配點法更為穩(wěn)健和準(zhǔn)確的解。

本文在文獻[13]建立的考慮附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)的一次近似剛?cè)狁詈夏Ｐ偷幕A(chǔ)上，利用高效回歸法作為混沌多項式的配點求解展開式的待定系數(shù)，在系統(tǒng)大范圍運動已知的條件下，對參數(shù)具有隨機性的、考慮附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)的動力特性進行了研究，重點通過仿真計算揭示系統(tǒng)參數(shù)的隨機性及其分散性對動力特性的影響。

1 一次近似耦合動力學(xué)模型

文獻[13]采用假設(shè)模態(tài)法和第二類Lagrange方程建立了帶有附加質(zhì)量的柔性懸臂梁的一次近似剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程

(1)

本文在文獻[13]給出的一次近似剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程的基礎(chǔ)上，建立了大范圍運動規(guī)律為已知的系統(tǒng)動力學(xué)方程

(2)

為后續(xù)表述方便，式(2)可表示為

(6)

由文獻[13]可知，公式(6)中各變量M,G,K,Q均是系統(tǒng)幾何參數(shù)和物理參數(shù)的函數(shù)，若假設(shè)系統(tǒng)中的幾何參數(shù)和物理參數(shù)構(gòu)成了變量矢量，并用x=(x1,…,xn)表示，其中n表示系統(tǒng)中參數(shù)的個數(shù)，則式(6)可表示為

(7)

式中M(x)，G(x)，K(x)，Q(x)分別為廣義質(zhì)量陣、廣義陀螺陣、廣義剛度陣和廣義力陣。

2 隨機動力學(xué)模型

2.1 混沌多項式

混沌多項式的基本思想是用含獨立隨機變量的正交混沌多項式之和近似表示隨機過程。考慮一個隨機過程Y(θ)，其中θ為隨機事件，為了進行數(shù)值計算，取有限項來近似表示輸出響應(yīng)量。精度達到p階的PC可簡化表示為

(8)

式中ξ=(ξ1,…,ξn)是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量矢量，n為隨機變量個數(shù)；H(ξ)=(H0(ξ),…,HN-1(ξ))是Hermite多項式；y=[y0,y1,…,yN-1]是混沌多項式展開式的待定系數(shù)矢量，待定系數(shù)個數(shù)N的表達式為

(9)

研究顯示[12]，混沌多項式展開的階數(shù)越高，作為替代模型的PC將越接近原模型，但求解系數(shù)所需的方程個數(shù)也將隨之快速增加，計算成本顯著增加。通常情況下，取2階的PC即可獲得對Y較理想的近似，只有當(dāng)2階的PC不能滿足精度要求時才考慮更高階的混沌多項式展開。

2.2 隨機參數(shù)動力響應(yīng)分析

(10)

式中s為隨機解的維數(shù)。

將式(11)～(13)代入方程(10)中，則有

(i=1,…,s；k=0,…,N-1)

(14)

由于H已知，式(14)中M(H)，G(H)，K(H)，Q(H)為確定性矩陣。

利用Galerkin法對式(14)映射得

(15)

在得到混沌多項式系數(shù)yt之后，根據(jù)Hermite多項式的正交性，隨機變量響應(yīng)q的均值可通過下式求得[9]：

(16)

由式(16)可以看出，響應(yīng)函數(shù)q的均值為其多項式混沌展開式的0階項。歸納以上求解過程，給出求解隨機參數(shù)空間柔性梁動力響應(yīng)的流程如圖1，其中k為時間節(jié)點總數(shù)。

圖1 柔性梁動力響應(yīng)的求解流程圖Fig.1 Flowchart of solving the dynamic response of flexible beam

3 動力學(xué)仿真

對于帶有附加質(zhì)量的柔性懸臂梁結(jié)構(gòu)進行研究，如圖2所示[14]，取中心剛體半徑rA=0，梁長L=8 m。梁的橫截面寬度y、高度z、體積密度ρ、彈性模量E和附加質(zhì)量m均為服從正態(tài)分布的隨機變量，它們的均值分別為μ(y)=3.6×10-2m，μ(z)=2.0×10-3m，μ(ρ)=2.766 7×103kg/m3，μ(E)=6.895 2×1010N/m2，μ(m)=0.085 kg。

圖2 考慮附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)Fig.2 Flexible beam with tip mass

柔性懸臂梁由靜止開始作大范圍旋轉(zhuǎn)運動，角速度規(guī)律為

式中T為達到恒定轉(zhuǎn)速之前的加速時間，取T=15 s，ω0為t>T時的恒定轉(zhuǎn)速，分別取ω0=2,4和10 rad/s。

文中分別采用循環(huán)42次的二階PC(簡寫為PC-2nd)和循環(huán)112次的三階PC(簡寫為PC-3rd)求解該柔性懸臂梁末端的變形響應(yīng)。圖3給出了角速度ω0=4 rad/s，所有變異系數(shù)γall=0.05時，通過Matlab編程分別模擬42次PC-2nd和112次PC-3rd與模擬105次的MCS獲得梁端變形位移響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨時間變化的時程曲線。圖4給出了ω0=4 rad/s，變異系數(shù)分別為γall=0.05和γall=0.1時PC-3rd獲得梁端變形位移響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨時間變化的時程曲線。圖5給出了γall=0.05，角速度分別為ω0=2，4和10 rad/s時PC-3rd獲得梁端變形位移響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨時間變化的時程曲線。圖6給出了γall=0.05，角速度分別為

圖3 梁末端的位移響應(yīng)(ω0=4 rad/s,γall=0.05)Fig.3 Tip displacement response of flexible beam (ω0=4 rad/s,γall=0.05)

圖4 不同變異系數(shù)下梁末端的位移響應(yīng)(ω0=4 rad/s)Fig.4 Tip displacement response of flexible beam with different coefficient of variation (ω0=4 rad/s)

圖5 不同ω0下梁末端的位移響應(yīng)(γall=0.05)Fig.5 Tip displacement response of flexible beam with different ω0 (γall=0.05)

圖6 不同ω0下梁末端的速度響應(yīng) (γall=0.05)Fig.6 Tip velocity response of flexible beam with different ω0 (γall=0.05)

圖7 不同隨機參數(shù)時位移響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差(ω0=10 rad/s)Fig.7 Tip standard deviation of displacement with different probabilistic parameters (ω0=10 rad/s)

ω0=2，4和10 rad/s時PC-3rd獲得梁端變形速度響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨時間變化的時程曲線。圖7(a)給出了ω0=10 rad/s時，變異系數(shù)γall,γy,γz,γρ,γE,γm分別為0.05時梁端變形位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時程曲線，其中圖7(b)為圖7(a)在t=14 s附近位移響應(yīng)的局部放大圖。同時，表1給出了前20 s內(nèi)，不同隨機參數(shù)組合和不同角速度ω0時的隨機模型梁端變形位移響應(yīng)的絕對值的最大值。由圖3～7和表1可見：(1)角速度ω0和變異系數(shù)γall相同的前提下，本文PC-2nd和PC-3rd與MCS得到位移響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差高度一致，說明本文方法的正確性和有效性；(2)角速度ω0相同的前提下，變異系數(shù)γall越大，響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差越大，但響應(yīng)的均值基本不變；(3)變異系數(shù)γall相同的前提下，角速度ω0越大，柔性懸臂梁的變形位移響應(yīng)的均值的絕對值越大，位移響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也越大；(4)變異系數(shù)γall相同的前提下，角速度ω0越大，柔性懸臂梁的變形速度響應(yīng)的均值的絕對值越大，速度響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也越大；(5)幾何參數(shù)y的分散性對柔性梁變形位移響應(yīng)的分散性影響較大，而體積密度ρ和附加質(zhì)量m的分散性對變形位移響應(yīng)的分散性影響很小，可以忽略不計。

表1 不同隨機變量對柔性梁位移響應(yīng)數(shù)字特征的影響

4 結(jié) 論

本文對大范圍運動規(guī)律為已知和參數(shù)具有隨機性時的考慮附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)的動力學(xué)問題進行了分析研究，獲得了較好的效果，并得到以下結(jié)論：(1)混沌多項式可以應(yīng)用于含有多個隨機參數(shù)的帶有附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)動力響應(yīng)分析，與MCS相比，在隨機參數(shù)比較多時只需要很少次數(shù)的分析即可獲得系統(tǒng)變形響應(yīng)的主要數(shù)字特征，計算效率明顯提高；(2)在相同角速度ω0前提下，不同的變異系數(shù)γall僅對位移響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差有影響；在相同變異系數(shù)γall的前提下，不同的角速度ω0則對位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均有影響；(3)各參數(shù)的隨機性對末端具有附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)的動力響應(yīng)的影響不可忽略，故欲增強系統(tǒng)動力響應(yīng)的平穩(wěn)性，應(yīng)首先降低對系統(tǒng)動力響應(yīng)影響較大參數(shù)的分散性；(4)通過MCS的驗證表明，在考慮參數(shù)隨機性時，文中建立的帶有附加質(zhì)量的柔性懸臂梁系統(tǒng)模型是合理的，且該模型能客觀反映出實際工程中剛?cè)狁詈象w的動力學(xué)行為。

[1] Schiehlen W. Research trends in multibody system dynamics[J]. Multibody System Dynamics, 2007,18(1):3—13.

[2] 劉錦陽,崔麟.熱載荷作用下大變形柔性梁剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析[J].振動工程學(xué)報,2009,22(1):48—53.

LIU Jinyang, CUI Lin. Rigid-flexible coupling dynamics analysis for flexible beam with large deformation and applied with thermal load[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009,22(1):48—53.

[3] 和興鎖,鄧峰巖,王睿.具有大范圍運動和非線性變形的空間柔性梁的精確動力學(xué)建模[J].物理學(xué)報,2010,59(3):1 428—1 436.

HE Xingsuo, DENG Fengyan, WANG Rui. Exact dynamic modeling of a spatial flexible beam with large overall motion and nonlinear deformation[J]. Acta Physica Sinica, 2010,59(3):1 428—1 436.

[4] 戎保,芮筱亭,王國平,等.多體系統(tǒng)動力學(xué)研究進展[J].振動與沖擊,2011,30(7):178—187.

RONG Bao, RUI Xiaoting, WANG Guoping, et al. Developments of studies on multibody system dynamics[J]. Jounal of Vibration and Shock, 2011,30(7):178—187.

[5] 吳勝寶,章定國.大范圍運動剛體-柔性梁剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析[J].振動工程學(xué)報,2011,24(1):1—7.

WU Shengbao, ZHANG Dingguo. Rigid-flexible coupling dynamic analysis of hub-flexible beam with large overall motion[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011,24(1):1—7.

[6] 楊輝,洪嘉振,余征躍.動力剛化問題的實驗研究[J].力學(xué)學(xué)報,2004,36(1):118—124.

YANG Hui, HONG Jiazhen, YU Zhengyue. Exprimental investigation on dynamic stiffening phenomenon[J]. Acta Mechanica Sinica, 2004,36(1):118—124.

[7] 張海根,何柏巖,王樹新,等.計及參數(shù)不確定性的柔性空間曲線梁動力學(xué)建模方法[J].天津大學(xué)學(xué)報,2003,36(1):37—40.

ZHANG Haigen, HE Baiyan, WANG Shuxin, et al. Dynamic model of flexible spatial camber beam with uncertainty parameters[J]. Journal of Tianjin University, 2003,36(1):37—40.

[8] Wang S X, Wang Y H, He B Y. Dynamic modeling of flexible multibody systems with parameter uncertainty[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2008,36(3):605—611.

[9] Sandu A, Sandu C, Ahmadian M. Modeling multibody systems with uncertainties. Part I: Theoretical and computational aspects[J]. Multibody System Dynamics, 2006,15(4):369—391.

[10]Wei D, Cui Z, Chen J. Robust optimization based on a polynomial expansion of chaos constructed with integration point rules[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2009,223(5):1 263—1 272.

[11]趙軻,高正紅,黃江濤,等.基于PCE方法的翼型不確定性分析及穩(wěn)健設(shè)計[J].力學(xué)學(xué)報,2014,46(1):10—19.

ZHAO Ke, GAO Zhenghong, HUANG Jiangtao, et al. Uncertainty quantification and robust design of airfoil based on polynomial chaos technique[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2014,46(1):10—19.

[12]Isukapalli S S. Uncertainty analysis of transport-transformation models[D]. Rutgers: The State University of New Jersey, 1999.

[13]陳思佳.剛-柔耦合問題與空間多桿柔性機械臂的動力學(xué)建模理論研究[D].南京:南京理工大學(xué),2012.

CHEN Sijia. Researches on the rigid-flexible coupling problem and the dynamic modeling theory of multi-link spatial flexible manipulator arms[D]. Nanjing: Nanjing University of Science & Technology, 2012.

[14]Cai G P, Hong J Z, Yang S X. Dynamic analysis of a flexible hub-beam system with tip mass[J]. Mechanics Research Communications, 2005,32(2):173—190.

Stochastic dynamic analysis of rotating flexible beam with tip mass

JINHong-ling1,2，CHENJian-jun2，GUOKang-quan1

(1. School of Mechano-electronic Engineering, Northwest A & F University, Yangling 712100, China; 2. Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design, Ministry of Education, Xidian University, Xi′an 710071, China)

Dynamic response of rotating flexible beam with tip mass and uncertain parameters is investigated. Based on assumed modes method and Lagrange′s equations, the first-order approximation coupling stochastic dynamic equations are derived．The polynomial chaos method and a regression-based collocation method are applied to derive system of completely implicit differential equations. The resulting system of equations is then used to find the numerical characteristics of the response. As an illustrating example, dynamic modeling of flexible hub-beam system considering probabilistic geometric and physical parameters is presented. Simulation results demonstrate that probabilistic parameters have effect on the dynamic response of the flexible beam, and the dynamic modeling with probabilistic parameters can objectively reflect the actual dynamic response of flexible system.

flexible cantilever beam; probabilistic parameters; polynomial chaos; dynamic response; tip mass

2014-07-03；

2015-05-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375401)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項基金資助項目(2452015058)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2015M582709)

O326; O324

A

1004-4523(2015)06-0960-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.014

靳紅玲(1975—), 女, 講師。電話:15991270635；E-mail:jhl@nwsuaf.edu.cn

郭康權(quán)(1955—),男,教授。電話:15929317953；E-mail: jdgkq@nwsuaf.edu.cn