李宏男， 宋建筑

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部海岸與近海工程國家重點實驗室， 遼寧 大連 116024)

應(yīng)用精細(xì)積分法的結(jié)構(gòu)MBC狀態(tài)方程求解

李宏男， 宋建筑

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部海岸與近海工程國家重點實驗室， 遼寧 大連 116024)

基于市場機(jī)制控制(Market-based control，MBC)屬于分散控制，以往求解狀態(tài)方程都采用差分類的近似，有時由于計算存在較大誤差，不能得到結(jié)構(gòu)真實狀態(tài)的精確響應(yīng)。精細(xì)積分法以其高精度、無條件穩(wěn)定等優(yōu)點被廣泛的應(yīng)用。引入兩種精細(xì)積分方法，將精細(xì)積分的思想運(yùn)用到基于市場機(jī)制(MBC)控制算法的求解中，推導(dǎo)了兩種基于MBC控制狀態(tài)方程的精細(xì)遞推格式，大大提高了計算的精度及算法的穩(wěn)定性，并且比較了兩種精細(xì)積分方法的優(yōu)缺點。最后通過算例，說明了采用精細(xì)積分方法計算MBC控制的必要性及有效性。

基于市場機(jī)制控制； 精細(xì)積分法； 加法定理； 增量存儲

引 言

Clearwater[1]講述了基于市場競爭體制的控制理論在各領(lǐng)域中的應(yīng)用，Lynch等[2]率先將MBC(Market-based control)控制算法用于振動工程中。李等[3]總結(jié)和探討了基于市場機(jī)制控制理論歷程及發(fā)展方向，將MBC控制理論應(yīng)用于安裝TLCD的結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)中，建立了多商品市場模型和計算理論等[4-5]。MBC策略的主要思想是將自由市場經(jīng)濟(jì)概念引入到系統(tǒng)控制技術(shù)中，通過模擬市場行為來完成控制系統(tǒng)中有限能量的Pareto最優(yōu)分配，使得虛擬市場中各經(jīng)濟(jì)個體的效用達(dá)到最大化[6-7]。

在結(jié)構(gòu)MBC算法中，如何精確地求解狀態(tài)方程一直是研究者們關(guān)注的熱點問題。以往人們往往采用差分類方法近似求解，如高斯積分[8]、龍格-庫塔及Simpson積分[9]等方法，這些方法對積分步長很敏感，有時會產(chǎn)生數(shù)值病態(tài)。鐘[10]提出了一種精細(xì)時程積分方法，該方法具有很高的精度，可認(rèn)為達(dá)到了計算機(jī)上的精確解，并且具有無條件穩(wěn)定等優(yōu)點，根據(jù)加法定理和增量存儲的原則已推導(dǎo)出相應(yīng)的精細(xì)積分遞推格式。但該方法需要矩陣求逆，這樣會增大計算量并且穩(wěn)定性會大大降低。改進(jìn)的精細(xì)積分方法[11]避免系統(tǒng)矩陣求逆，易于編程，提高了計算效率。

MBC理論作為一種典型的基于非經(jīng)典信息的控制方法，控制力的求解只需離散點的狀態(tài)信息?；谝陨暇?xì)積分方法的優(yōu)點，相比于其他全狀態(tài)反饋的控制算法，結(jié)構(gòu)MBC狀態(tài)方程采用精細(xì)積分方法求解具有在線計算時間短，控制系統(tǒng)反應(yīng)快等優(yōu)點。

本文采用精細(xì)積分方法推導(dǎo)了MBC控制計算公式的遞推格式，求解出結(jié)構(gòu)的狀態(tài)響應(yīng)，通過算例驗證了各工況下的計算效果。

1 動力方程精細(xì)積分方法

在外界干擾和控制力作用下，結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程可表示為

(1)

將式(1)運(yùn)動方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程

(2)

對式(2)采用精細(xì)積分下的直接積分法可表示為

(3)

式中

(4)

對于改進(jìn)的精細(xì)積分方法[9]，非齊次項的求解不需要矩陣的求逆運(yùn)算。當(dāng)非齊次項為多項式函數(shù)時，r(tk+1-τ)可表示為

r(tk+1-τ)=f0+τ·f1+τ·f2+…

(5)

將上式代入式(3)得

(6)

由上式可以看出，非齊次項積分重點是如何準(zhǔn)確地求解矩陣指數(shù)與多項式函數(shù)乘積的積分，即

(7)

對式(7)逐個進(jìn)行分部積分，并采用精細(xì)積分的加法定理和增量存儲原則求解，得

(8)

(9)

(10)

這里假定在每一個積分步內(nèi)對非齊次項做線性近似，譚述君和鐘萬勰[9]給出的精細(xì)積分的遞推格式為

Zk+1=φ0(η)Zk+φ1(η)rk+1-φ2(η)r1

(11)

式中

φ0(η)=eAη

(12)

采用精細(xì)積分方法[8]計算指數(shù)矩陣φ0(η)，可達(dá)到計算機(jī)精度的解。在實時控制中，r(t)為測量得到的等間距信號，故可假定r(t)在(tk，tk+1)線性變化，得

r(t)=rk+r1(t-tk),r1=(rk+1-rk)/η

(13)

鐘萬勰教授[12]給出了精細(xì)積分的遞推格式為

A-1(rk+A-1r1+ηr1)

(14)

將式(14)與(11)比較，改進(jìn)的精細(xì)積分方法遞推格式更為簡潔，更有利于提高遞推效率。

2 控制策略

精細(xì)時程積分方法的誤差來自冪級數(shù)展開式的截斷，截去的第1項是在τ5處，此誤差已在計算機(jī)浮點數(shù)表示精度之外，故可得到計算上的精確解。本文將上述兩種已有的精細(xì)積分方法應(yīng)用于MBC控制器的求解，可得到結(jié)構(gòu)精確的狀態(tài)響應(yīng)。

2.1 基于市場機(jī)制的控制(MBC)策略

結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)包括能量源系統(tǒng)和控制裝置，在這個虛擬市場中交易的商品是控制能量，自由經(jīng)濟(jì)市場包括生產(chǎn)者和消費者。因此，結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)和自由經(jīng)濟(jì)體系具有一定的相似性，它們都是在一定的價格準(zhǔn)則下實現(xiàn)稀缺資源的合理有效分配。本文采用線性供給-指數(shù)需求模型(Linear-supply&Exponential-demandModel，LEM)[13]驗證模擬結(jié)果，即供給函數(shù)

Qs,j=ηj·p

(15)

和需求函數(shù)

(16)

當(dāng)市場達(dá)到均衡時

(17)

通過平衡價格p可求得正比與需求能量的控制力

(18)

2.2 基于精細(xì)積分的MBC控制策略

由精細(xì)積分法[12]知，將基本區(qū)段η再劃分為2M步，M一般取20，即

τ=η/2M

(18)

此時的τ已經(jīng)非常小了，將φ0(τ),φ1(τ)和φ2(τ)進(jìn)行有限項的Taylor級數(shù)展開，即

(19)

(20)

(21)

由于τ很小，在τ5截斷已滿足精度要求。將上式代入到式(8)～(10)，再經(jīng)過M次的合并就可得φ0(η),φ1(η)和φ2(η)的解。以下給出了精細(xì)積分方法結(jié)合MBC控制得出的狀態(tài)方程的兩種精細(xì)遞推格式。

(1) 由鐘萬勰提出的精細(xì)積分方法結(jié)合本文MBC控制算法，可導(dǎo)出狀態(tài)方程的精細(xì)遞推格式為

(22)

式中

(23)

(2) 基于改進(jìn)精細(xì)積分的MBC控制策略，可導(dǎo)出狀態(tài)方程的精細(xì)遞推格式為

(24)

圖2給出了基于改進(jìn)精細(xì)積分的MBC控制流程圖。

圖1 基于精細(xì)積分的MBC控制流程圖Fig.1 The precise integration of control flow based on MBC

圖2 基于改進(jìn)精細(xì)積分的MBC控制流程圖Fig.2 Improved precise integration control flow based on MBC

3 數(shù)值算例

采用20層剪切型框架結(jié)構(gòu)[14]為算例，主要參數(shù)如表1所示；結(jié)構(gòu)阻尼采用Rayleigh阻尼，由前兩階振型阻尼比確定，前兩階阻尼比取0.02。采用MRD作為控制裝置對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動控制，在結(jié)構(gòu)第1～5層每層設(shè)置5個MRD，第8～12層各層設(shè)置4個，第 15～19層每層設(shè)置3個。MRD計算模型采用剪切閥式模型，參數(shù)采用文獻(xiàn)[13]提供的數(shù)據(jù)；單個最大出力約1 200kN，可調(diào)倍數(shù)為50，此處假設(shè)阻尼器支撐無限剛。結(jié)構(gòu)的外干擾為ElCentro(N69W，1979)地震波，加速度峰值調(diào)整為400gal。

控制器采用線性供給-指數(shù)需求模型，其中參數(shù)的確定方法根據(jù)文獻(xiàn)[13]所示求得。每一時刻供需相等時，可以求得該時刻的平衡價格，將價格代入需求函數(shù)中，可以得到正比于控制力的能量。

編制相應(yīng)的MATALB程序?qū)θN工況進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析：

(1)MBC控制下采用龍格-庫塔法計算結(jié)構(gòu)的反應(yīng)(工況1)；

(2)MBC控制下采用精細(xì)積分的方法計算結(jié)構(gòu)的反應(yīng)(工況2)；

(3)MBC控制下采用改進(jìn)的精細(xì)積分方法計算結(jié)構(gòu)的反應(yīng)(工況3)。

表1 結(jié)構(gòu)主要參數(shù)

表2 各工況在不同積分步長下算法的收斂性及耗時

這里以差分類計算所得的結(jié)果作為參照，定義相對誤差

式中x0表示采用差分類方法時結(jié)構(gòu)的反應(yīng)；x表示采用精細(xì)積分方法時結(jié)構(gòu)相應(yīng)的反應(yīng)。

表2給出了各工況在不同積分步長下控制算法的收斂性及耗時。對差分類而言，步長越小，截斷誤差越小，但隨著步長的減小，在一定范圍內(nèi)需要完成的步數(shù)就增加了，不但會引起計算量的增大，而且會導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重累積。因此，表中給出的最小步長是0.006 s。從表中可以看出，采用精細(xì)積分法計算耗時要比差分法耗時小。工況2的收斂步長與工況1的基本一致，但計算時間要比工況1少，工況3耗時最少，精度最高，且收斂步長要比工況1和工況2收斂步長大?？梢钥闯?，采用精細(xì)積分法計算MBC控制算法具有很大的優(yōu)勢。

圖3給出了各工況在不同積分步長下第10層位移峰值響應(yīng)。從圖中可以看出，工況1在步長為0.034 s時發(fā)散，工況2在步長為0.04 s時發(fā)散，工況3在步長為0.1 s時發(fā)散。因此，工況1的收斂步長最小，工況2次之，工況3最大。隨著步長的增大，3種工況計算所得的峰值也有較小的增大。說明改進(jìn)的精細(xì)積分法比前面兩種工況的收斂步長增大了。

圖4無控結(jié)構(gòu)在正弦激勵下各方法計算的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)與解析解的比較。從圖中可以看出，精細(xì)積分法計算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)接近解析解的結(jié)果。而龍格-庫塔法計算結(jié)構(gòu)的反應(yīng)與解析解相差較大。說明精細(xì)積分法的準(zhǔn)確性較好。

圖3 各工況在不同積分步長下第10層位移峰值響應(yīng)Fig.3 Response of the 10th story in different integration steps

圖4 無控結(jié)構(gòu)在正弦激勵下各方法計算的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)與解析解的比較Fig.4 Response of structure displacement of each method and compared with the analytical solution

表3給出了各工況在固定步長為0.006 s時結(jié)構(gòu)第10層反應(yīng)及相對誤差。從表中可以看出，采用精細(xì)積分方法計算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)均大于差分類方法計算所得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，工況2和工況3計算的相對地面位移峰值分別比工況1大7.77%和6.44%；相對誤差最大的是絕對加速度，分別比工況1大32.67%和12.93%。

表3 各工況下結(jié)構(gòu)第10層反應(yīng)及相對誤差

圖5給出了3種工況下受控結(jié)構(gòu)各層反應(yīng)峰值，圖5(a)為層間相對位移反應(yīng)峰值的比較，由圖可看出，工況2和工況3是采用精細(xì)積分計算所得的結(jié)構(gòu)的層間位移峰值，這兩種工況計算的結(jié)果基本吻合，并且均大于采用差分類計算所得的結(jié)果；圖5(b)為各層絕對加速度反應(yīng)峰值，工況3計算的結(jié)果最大，工況2次之，工況1最小，說明采用差分類方法計算所得的絕對加速度峰值偏??；圖5(c)為各層控制力峰值，由圖可看出，在結(jié)構(gòu)上部，工況1計算所得控制力峰值要大于精細(xì)積分計算所得峰值；在結(jié)構(gòu)底層，工況1計算所得的控制力峰值小于其它兩種工況。

圖5 LPM模型下受控結(jié)構(gòu)的反應(yīng)Fig.5 The response of the controlled structure under LPM model

4 結(jié) 論

基于MBC控制采用不同的方法求解所得結(jié)果是不同的。由于精細(xì)積分法的優(yōu)點，根據(jù)算例已驗證了結(jié)構(gòu)MBC算法采用精細(xì)積分方法求解狀態(tài)方程可獲得更為準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。MBC控制算法是基于離散點的信息，與全狀態(tài)反饋控制算法相比，具有在線計算時間短等優(yōu)點。而精細(xì)積分法要比差分類的算法計算時間要短，因此，結(jié)構(gòu)MBC狀態(tài)方程采用精細(xì)積分求解顯得尤為重要。在以后的研究中，可以將精細(xì)積分的思想應(yīng)用于主動控制器的設(shè)計中，這一步工作也正在進(jìn)行。

[1] Clearwater S. Market-based Control：A Paradigm for Distributed Resource Allocation[M]. World Scientific Publishing，Singapore，1996.

[2] Lynch J P，Law K H.A market-based control solution for semi-active structural control[A]. Computing in Civil and Building Engineering：Proceedings of the Eight International Conference[C].Stanford， CA，USA，Aug 14-16，2000.

[3] 李宏男，李學(xué)濤，霍林生.基于市場機(jī)制結(jié)構(gòu)控制策略的研究和應(yīng)用進(jìn)展[J].世界地震工程，2005， 21(4)：1—9.

Li Hongnan，Li Xuetao，Huo Linsheng. Research and application progress of structure control strategy based on Market-Based Control[J]. Earthquake Engineering，2005， 21(4)：1—9.

[4] 霍林生，李宏男.基于市場機(jī)制的TLCD 半主動控制方案[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2005，22(1)：71—75.

Huo Linsheng，Li Hongnan. Control law for market-based semi-active timed liquid column dampers [J].Journal of Applied Mechanics，2005，22(1)：71—75.

[5] 李宏男，李學(xué)濤，霍林生.多維結(jié)構(gòu)振動的改進(jìn)MBC控制策略[J].振動工程學(xué)報，2007，20(4)：317—323.

Li Hongnan，Li Xuetao，Huo Linsheng. Advanced market-based control applied in eccentric structure [J]. 2007，20(4)：317—323.

[6] Lynch J P， Law K H. Market-based control of linear structural systems[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 2002， 31(10)：1 855—1 877.

[7] Lynch J P, Law K H. Energy market-based control of linear civil structures[A]. In:Proceedings of the US-Korea Workshop on Smart Structural Systems[C].Pusan， Korea， August 2002:23—24.

[8] 汪夢甫，周錫元．結(jié)構(gòu)動力方程的更新精細(xì)積分方法[J]．力學(xué)學(xué)報，2004，36(2)：191—195.

Wang Mengfu，Zhou Xiyuan．Renewal precise time step integration method of structural dynamic analysis[J]．Acta Mechanica Sinica，2004，36(2)：191—195

[9] 張森文，曹開彬．計算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的狀態(tài)方程直接積分法[J]．計算力學(xué)學(xué)報， 2000，17(1)：94—97.

Zhang Senwen，Cao Kaibin．Direct integration of state equation method for dynamic response of structure[J]．Chinese Journal of Computational Mechanics，2000，17(1)：94—97.

[10]鐘萬勰．結(jié)構(gòu)動力方程的精細(xì)時程積分[J]．大連理工大學(xué)學(xué)報，1994，34(2)：131—136.

Zhong Wanxie．On precise time integration method for structural dynamics[J]．Journal of Dalian University of Technology，1994，34(2)：131—136.

[11]譚述君，鐘萬勰.非齊次動力方程Duhamel項的精細(xì)積分[J].力學(xué)學(xué)報，2007，39(3):374—381.

Tan Shujun，Zhong Wanxie. Precise integration method for Duhamel terms arising from non-homogenous dynamic systems[J]. Acta Mechanica Sinica，2007，39(3):374—381.

[12]鐘萬勰．暫態(tài)歷程的精細(xì)計算方法[J]．計算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用，1995，12(1)：1—6.

Zhong Wanxie. Precise computation for transient analysis[J]．Computational Structural Mechanics and Applications，1995，12(1)：1—6.

[13]李瀛. 應(yīng)用MBC策略的建筑結(jié)構(gòu)振動控制[D].大連：大連理工大學(xué)， 2007.

Li Ying. Structural vibration control using MBC strategy[D].Dalian：Dalian University of Technology， 2007.

[14]Kurino H，Tagami J，Shimizu K，et al. Switching oil damper with built-in controller for structural control[J]. ASCE，Journal of Structural Engineering，2003，129(7)：895—904.

The precise integration of state equation of structures with Market-based control

LIHong-nan，SONGJian-zhu

(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

Market-based control (MBC) belongs to decentralized control. Most of the existing method to solve state equations use differential approximation， which has large errors so that it is hard to obtain the accuracy results. The precise integration has been widely used due to its high accuracy and unconditional stability. In the present study， two precise integration are introduced to MBC computation and the recursive scheme of state equations are derived. This method improve the accuracy and stability， then the advantage as well as disadvantage of the two precise integration have been compared. The necessity and effectiveness of MBC method using precise integration are proved by examples.

MBC strategy； precise computation； addition theorem； incremental storage

2014-01-13；

2015-07-21

國家自然科學(xué)基金重大國際合作項目(51261120375)；國家重點基礎(chǔ)研究計劃(973計劃)(2011CB013605)和國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體資助項目(51121005)

TU311.3； TB535

A

1004-4523(2015)06-0896-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.006

李宏男(1957—)，男，長江學(xué)者特聘教授。電話：(0411)84709539；E-mail：hnli@dlut.edu.cn