李善傾， 袁 鴻， 劉人懷

(暨南大學力學與土木工程系， 廣東 廣州 510632)

夾支扁球殼自由振動問題的準Green函數(shù)方法

李善傾， 袁 鴻， 劉人懷

(暨南大學力學與土木工程系， 廣東 廣州 510632)

將準Green函數(shù)方法應用于求解夾支任意形狀底扁球殼的自由振動問題。即利用問題的基本解和邊界方程構(gòu)造一個準Green函數(shù)，這個函數(shù)滿足了問題的齊次邊界條件。采用Green公式將夾支任意形狀底扁球殼自由振動問題的振型控制微分方程化為第二類Fredholm積分方程。通過邊界方程的適當選擇，克服了積分方程核的奇異性。最后通過離散化方程求得數(shù)值結(jié)果。數(shù)值算例表明：該方法具有較高的精度、計算量小、收斂速度快，是一種新型有效的數(shù)學方法。

夾支扁球殼； 自由振動； Green函數(shù)； 積分方程； R-函數(shù)

引 言

扁球殼的最大矢高和底面直徑之比一般應小于1/5。扁球殼在土木、水利、機械、船舶、航空航天等工程中都有著廣泛的應用。扁球殼作為工程結(jié)構(gòu)的主要部件，在進一步的設計與研究中需考慮其動力問題，而自由振動作為扁球殼動力問題的基礎應首先予以分析。 扁球殼的自由振動問題，最重要的是求固有頻率，尤其是最低階固有頻率。力學工作者對小撓度扁球殼振動問題已經(jīng)做了大量的研究工作，并取得了許多研究成果。本文應用準Green函數(shù)方法分析夾支任意形狀底扁球殼的自由振動問題。Green函數(shù)方法廣泛用來解決各種邊值問題，然而，對于二維或高維問題，建立Green函數(shù)是極其復雜的，只有在極其簡單的區(qū)域上(如圓、球)，可以找到Green函數(shù),困難在于雖然易于找到滿足基本方程的函數(shù)(基本解)，卻難以滿足問題的齊次邊界條件。如果以基本解代替Green函數(shù)，將得到邊界積分方程，它一般是一個在邊界上具有奇異性的積分方程。針對邊界積分方程存在的問題，準Green函數(shù)方法采用了另一條途徑推導積分方程。應用準Green函數(shù)、邊界方程及Green公式可將雙調(diào)和算子方程化為積分方程。用有限元法或有限差分法求解板殼問題時，需對整個研究區(qū)域劃分單元網(wǎng)格，前處理工作量大，數(shù)據(jù)準備麻煩，花費大量機時。邊界元法則克服了區(qū)域型數(shù)值方法的缺點，只在邊界上劃分單元，通過基本解把域內(nèi)未知量化為邊界未知量來求解，使自由度數(shù)目大大減少，但這種方法卻存在大量奇異積分，而且在邊界及其附近區(qū)域上解的精度較低。

本文應用Rvachev[1]提出的R-函數(shù)理論和準Green函數(shù)方法，分析了夾支任意形狀底扁球殼的自由振動問題。利用問題的基本解構(gòu)造一個準Green函數(shù)。這個函數(shù)滿足了問題的齊次邊界條件，但沒能滿足基本微分方程，而建立準Green函數(shù)的關鍵在于將問題的邊界用規(guī)范化方程ω=0表示出來，問題的區(qū)域由不等式ω>0表示出來。ω將存在多種選擇，經(jīng)過適當?shù)臄?shù)學處理，積分方程核的奇異性可以被克服。R-函數(shù)理論保證了對于任何復雜的區(qū)域，總可以找到函數(shù)ω，從而可將原問題化為無奇異性的第二類Fredholm積分方程。使用這一方法，袁鴻等已成功求解了簡支及固支各向同性薄板、簡支扁球殼自由振動及彎曲問題[2-7]。準Green函數(shù)方法是一種新穎的數(shù)學思想，是一種值得研究的新數(shù)值方法。與有限元法或有限差分法相比，準Green函數(shù)方法在解決的板殼問題方面，對整個研究區(qū)域劃分單元網(wǎng)格很少，前處理工作量相對小很多，收斂速度快，計算量小，可求得很高精度的結(jié)果。本文將準Green函數(shù)方法應用于求解夾支任意形狀底扁球殼的振動問題。通過夾支矩形底、梯形底扁球殼的數(shù)值結(jié)果證明了本文方法的有效性和可行性。

1 基本方程

扁球殼的自由振動微分方程組為：

▽2w(x,t)=0，x∈Ω

(1)

x∈Ω

(2)

滑動夾支邊界條件為

(3)

由式(1)和(3)，可得

(4)

把表達式(4)代入式(2)，可得w所單獨滿足的微分方程為

(5)

設

(6)

將表達式(6)代入式(5)可得夾支扁球殼的振型控制微分方程及邊界條件為

x∈Ω

(7)

(8)

2 積分方程的推導

設ω=0是邊界Γ的一階規(guī)范化方程，即滿足[8]：

(9)

ω(x)>0,x∈Ω

(10)

構(gòu)造準Green函數(shù)如下

G(x,ξ)=-r2lnr-e(x,ξ)

(11)

e(x,ξ)=-r2lnR1+2ω(x)ω(ξ)

(12)

其中

(13)

r=(ξ1-x1)i+(ξ2-x2)j

(14)

(15)

式中 i和j分別表示x1和x2方向的單位向量，x=(x1,x2)，ξ=(ξ1,ξ2)。

顯然準Green函數(shù)G(x,ξ)滿足條件

(16)

(17)

為了將邊值問題(7)和(8)化為積分方程，應用C4(Ω)函數(shù)類的Green公式，對所有的U，V∈C4(Ω∪Γ)有

用式(8)中的W和式(11)中的G分別代替式(18)中的U和V，并注意到(1/8π)r2lnr是雙調(diào)和算子的基本解[8]，利用式(7)，(8)，(16)和(17)可得

(19)

式中

(20)

將表達式(12)代入式(20)中，進行推導，可以得到K(x,ξ)的具體表達式。

(21)

式中ω=ω(ξ)，▽=▽ξ。

當R=0時，即x=ξ，且ω=0時，表達式(21)中K(x,ξ)才可能出現(xiàn)不連續(xù)性。實際上，當x=ξ時，式(21)為

▽4ω-

(22)

為了使積分核K(x,ξ)∈C(Ω∪?Ω)，將式(22)的分子1+ω▽2ω-(▽ω)2展開成ω的冪級數(shù)后，冪級數(shù)的常數(shù)項和1次項的系數(shù)必須等于0。 下面通過構(gòu)造一個新的邊界規(guī)范化方程來保證K(x,ξ)的連續(xù)性，為此假設

φ

(23)

式中ω0=0是邊界Γ的一階規(guī)范化方程，即滿足式(9)和(10)。顯然，ω=0也是一階規(guī)范化方程。容易證明。 只要選取

(24)

就能保證K(x,ξ)在積分域內(nèi)處處連續(xù)，將表達式(24)代入式(23)中，可得

(25)

因此，可以通過任意選擇一個邊界規(guī)范化方程ω0=0，就可以根據(jù)式(25)建立一個新的邊界規(guī)范化方程ω=0，從而就可以保證積分核K(x,ξ)的連續(xù)性。

3 積分方程的離散

夾支扁球殼自由振動問題的等效積分方程(19)進行離散化。將積分域Ω劃分為若干子域Ωi(i=1,2,…,N)，在各子域中分別應用中矩形公式進行數(shù)值求積。則積分方程(19)可化為齊次線性代數(shù)方程組

BN×N[W(x1) …W(xN)]T=0

(26)

BN×N=(bij)N×N，

(i=1,2,…,N;j=1,2,…,N),

Aj表示第j個子域的面積。

齊次線性方程組(26)有非平凡解的條件是其系數(shù)行列式等于零，即

(27)

4 數(shù)值算例

圖1 夾支扁球殼Fig.1 Slip clamped shallow spherical shell

圖2 矩形積分域劃分Fig.2 Division of rectangular integral domain

圖3 梯形積分域劃分Fig.3 Division of trapezoidal integral domain

表1 夾支矩形底扁球殼不同半徑R值的固有頻率f

Tab.1 Natural frequency f of slip clamped rectangular shallow spherical shell with different R

R模態(tài)階數(shù)12345本文方法有限元法本文方法有限元法本文方法有限元法本文方法有限元法本文方法有限元法351．21250．33872．02871．89696．23095．494112．90111．41120．63118．15446．35945．39168．66368．52493．73892．982110．78109．27118．65116．13543．93242．90967．04766．90592．56191．795109．79108．26117．72115．18642．55541．49866．15466．00991．91591．144109．24107．71117．21114．66741．70340．62465．60965．46391．52490．750108．91107．37116．91114．35

表2 夾支梯形底扁球殼不同半徑R值的固有頻率f

Tab.2 Natural frequency f of slip clamped trapezoidal shallow spherical shell with different R

R模態(tài)階數(shù)12345本文方法有限元法本文方法有限元法本文方法有限元法本文方法有限元法本文方法有限元法369．24269．08685．02085．487114．95115．92159．89160．13162．21161．41465．73465．57282．18982．674112．87113．86158．40158．64160．75159．94564．04663．88080．84481．339111．89112．89157．71157．95160．06159．25663．10962．94280．10480．604111．36112．37157．33157．57159．69158．88762．53762．37079．65580．158111．04112．05157．10157．35159．47158．65

5 結(jié) 論

本文應用R-函數(shù)理論和準Green函數(shù)方法，研究了夾支任意形狀底扁球殼的自由振動問題。通過將本文方法的計算結(jié)果跟ANSYS有限元法的結(jié)果進行比較，計算量小，收斂速度快，有其優(yōu)越性，表明本文方法是可行有效的、合理的。其為研究復雜邊界形狀扁球殼問題提供了一種新型有效的計算手段。準Green函數(shù)方法是一種新的數(shù)值方法，提高其計算精度及開拓其應用領域，有待進一步研究。R-函數(shù)理論還可用來構(gòu)造滿足邊界條件的試函數(shù)，與Ritz法、變分法和樣條函數(shù)近似法等[9-15]數(shù)值方法結(jié)合起來，有效地解決各種具有復雜邊界形狀的板殼力學問題。

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Quasi-Green′s function method for free vibration of slip clamped shallow spherical shell

LIShan-qing,YUANHong,LIURen-huai

(Department of Mechanics and Civil Engineering, Jinan University, Guangzhou 510632, China)

The quasi-Green′s function method is employed to solve the free vibration of slip clamped shallow spherical shell with arbitrary boundary shape. A Green quasi-function is established by using the fundamental solution and boundary equation of the problem. This function satisfies the homogeneous boundary condition of the problem. The mode shape differential equation of the free vibration problem of slip clamped shallow spherical shell with arbitrary boundary shape is reduced to Fredholm integral equation of the second kind by Green′s formula. Irregularity of the kernel of integral equation is overcome by choosing a suitable form of the normalized boundary equation. Finally, the numerical results can be obtained from the discretization equations. Numerical examples demonstrate that the method has high precision, small amount of calculation, and fast convergence rate, and it is a new kind of effective mathematical methods.

clamped shallow spherical shell; free vibration; Green function; integral equation; R-function

2013-05-19；

2015-06-29

國家自然科學基金重點資助項目(11032005)；國家自然科學基金青年基金資助項目(11402099)；廣東省自然科學基金博士啟動項目(S2013040015146)；廣東省科技計劃項目(2012A030200003)；廣州市科技計劃項目(201510010013)

O241.8

A

1004-4523(2015)06-0865-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.002

李善傾(1982—),男,講師。電話:15975638598；E-mail: lishanqing09@163.com

袁鴻(1963—),男,教授。電話:13660265906；E-mail: tyuanhong@jnu.edu.cn