明 鋒，楊元喜，曾安敏，3

測站坐標時間序列隨機模型的解析表達

明 鋒1，2，楊元喜2，曾安敏2，3

(1.信息工程大學 地理空間信息學院，鄭州 450001；2.地理信息工程國家重點實驗室，西安 710054；

3.西安測繪研究所，西安 710054)

利用最大似然估計法分析測站坐標時間序列時，需根據(jù)時間序列的噪聲特性構造相應的協(xié)方差陣。由于冪律噪聲除包含白噪聲，閃爍噪聲和隨機漫步噪聲等譜指數(shù)為整數(shù)的噪聲外，還包含譜指數(shù)為實數(shù)的噪聲，且其統(tǒng)計特性各不相同。除白噪聲和隨機漫步噪聲外，已有研究并沒有詳細給出其它冪律噪聲隨機模型的構造方法。本文針對有色噪聲中冪律噪聲類型的時間相關特性，基于分數(shù)階差分的理論和性質，詳細給出了時間域上平穩(wěn)和非平穩(wěn)冪律噪聲的隨機模型的解析表達式，并給出了相應元素之間的遞推關系。該解析表達式對于研究冪律噪聲時間相關性或模擬相應特征的有色噪聲有一定的參考價值。

坐標時間序列；冪律噪聲；有色噪聲；協(xié)方差陣；分數(shù)階差分

0 引言

近二十年來，以全球定位系統(tǒng)(global position system，GPS)為代表的空間大地測量技術的快速發(fā)展，特別是連續(xù)運行基準站的全球或區(qū)域廣泛布設，已累積了大量的坐標時間序列。隨著空間大地測量數(shù)據(jù)日益豐富，使得研究其坐標時間序列的噪聲特性成為可能。目前，國內外已有很多研究證實，全球或局部尺度的GPS觀測網(wǎng)所得到的測站坐標時間序列均包含時間相關性和空間相關性，且若忽略時間相關性則會導致測站速度不確定估計顯著低估[1-6]。很多學者對GPS坐標時間序列的最優(yōu)噪聲模型進行了深入的分析。文獻[1-2]最早給出了閃爍噪聲協(xié)方差陣的近似公式，但對于非整數(shù)冪的有色噪聲則采用周期圖法進行求解。文獻[7]系統(tǒng)地研究了有色噪聲對測站速度和速度不確定度估計的影響，并給出了不同有色噪聲的隨機模型和以及對速度不確定度的近似表達式。文獻[8]不僅給出冪律噪聲協(xié)方差模型的通用構造公式，還給出了Gauss-Markov噪聲、帶通噪聲的協(xié)方差表達式。由于采用最大似然法估計測站速度及其不確定度、周期項以及噪聲振幅和譜指數(shù)等參數(shù)時，計算需迭代進行，因而噪聲協(xié)方差陣需要多次構造并求逆，當時間序列跨度較長時，求解非常耗時。文獻[9-10]利用所構造的噪聲協(xié)方差陣為Toeplitz矩陣這一特點，采用Cholesky分解顯著性提高了計算效率。

雖然文獻[1-2，7-8]均直接給出了不同有色噪聲模型的協(xié)方差陣，但在其文獻中均只有最終結果，并無推導過程，這顯然不利于理解不同噪聲過程在時間域上的相關性。鑒于此，本文在文獻[11]提出的分數(shù)階差分的理論上，采用嚴密公式，詳細推導冪律噪聲的協(xié)方差陣并給出其解析表達式。

1 分數(shù)階差分理論及其性質

▽dxt=at

(1)

(2)

(3)

式(3)中，中

(4)

(5)

(6)

式(6)中

(7)

對比式(4)和式(7)，可以推導出權系數(shù)ψk和ψk-1以及πk和πk-1之間具有如下關系為

(8)

從式(8)可以看出，兩種表達形式中的權系數(shù)與階數(shù)k和分數(shù)d有關，且均可以寫成遞推形式。

(9)

利用上述3條性質，即可以推導出平穩(wěn)和非平穩(wěn)冪律噪聲隨機模型的解析表達式。

2 平穩(wěn)隨機模型的解析表達

本節(jié)首先利用上一節(jié)介紹的分數(shù)階差分的性質，將有色噪聲看成某一卷積函數(shù)與一白噪聲卷積后得到。因此，求解滿足這一要求的卷積函數(shù)將是構造有色噪聲協(xié)方差陣的關鍵。

2.1 平穩(wěn)隨機過程的卷積函數(shù)

(10)

(11)

(12)

(13)

2.2 協(xié)方差陣的解析表達

由分數(shù)階差分性質(3)中的式(9)可得

(14)

又因為

故

(15)

因此，結合式(5)，可以得到協(xié)方差陣元素具有如下遞推關系

(16)

3 非平穩(wěn)隨機模型的解析表達

由于式(16)只有當譜指數(shù)-1<α<1才適用，當3>α≥1時，噪聲過程非平穩(wěn)，不能用式(4)的無窮和形式來表示，因而式(16)不再適用。此時，可以采取以下兩種途徑解決：一是采用文獻[12]提出的采用歷元間差分的方法(對于大部分地球物理時間序列，一階差分即可滿足平穩(wěn)要求)，將非平穩(wěn)序列轉換成平穩(wěn)序列，再利用上述分數(shù)階差分的性質對其建模；二是采用文獻[13]提出的將式(10)無限求和形式截斷到k的有限和來表示非平穩(wěn)過程。本文此處介紹第二種方法。

在式(10)中，假設當i<0時，wi=0，也即假設當i<0時，ri=0。此時式(10)可以寫成

(17)

進一步寫成矩陣形式

(18)

式(18)右邊中的系數(shù)hk即為式(3)中的ψk。注意到式(18)中的系數(shù)陣與文獻[7]中的公式(8)完全一致，也即文獻[9]中的式(9)的轉置。

(19)

式(19)即為獻[9]中的公式(8)。

令式(18)的系數(shù)陣的轉置為U，即

C=UTU

(20)

需要進一步說明的是引入U后，式(18)還可以寫成如下矩陣形式

(21)

式(21)中，r=[r0,r1,r2,…,rk]T，w=[w0,w1,w2,…,wk]T。 引入式(21)的一個主要目的是協(xié)方差陣C求逆時，利用分數(shù)階差分性質(2)即式(6)，可以顯著減少計算量，從而提高最大似然估計法解算速度。

4 結束語

目前，GPS坐標時間序列噪聲分析普遍采用最大似然法同時估計測站速度及其不確定度、周期項和噪聲振幅和譜指數(shù)等參數(shù)。而在采用最大似然估計之前，各噪聲必須構造對應的協(xié)方差陣。對于常見的白噪聲和隨機游走噪聲而言，已有明確的表達形式(白噪聲的協(xié)方差陣為單位陣，隨機漫步噪聲可以通過對白噪聲積分得到)。然而，對于譜指數(shù)為非整數(shù)的冪律噪聲的協(xié)方差構造，尚無文獻給出清晰的推導過程。本文基于分數(shù)階差分理論和性質，詳細推導了平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列情形下的冪律噪聲協(xié)方差解析表達式(式(16)和式(19))。這對于理解冪律噪聲的時間相關特性有一定的參考價值。

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Analytical Expression for Stochastic Model in Station’s Coordinate Time Series Analysis

MINGFeng1，2，YANGYuan-xi2，ZENGAn-min2

(1.Institute of Geospatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China； 2.State Key Laboratory of Geo-information Engineering，Xi’an 710054，China； 3.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping，Xi’an 710054，China)

The co-variance matrix of chosen noise model is required when using maximum likelihood estimation to analysis the station’s coordinate time series.The power law noise model is one of colored noise with different stochastic processes ranging from white to random walk，including flicker and fractional noise.However，in current research，the specific procedure to generate co-variance matrix of power law noise is often not prescribed in sufficient detail.In this paper，an analytical expression is proposed for creating stochastic model of power law noise based on fractional differencing theory in time domain.With this expression，the element of co-variance matrix can be calculated in a recursive algorithm if the power law noise process is stationary.This analytical expression would be of help for investigating the characteristic of the noise process or for the simulating the desired colored noise.

coordinate time series；power law noise；colored noise；co-variance matrix；fractional differencing

明鋒，楊元喜，曾安敏.測站坐標時間序列隨機模型的解析表達[J].導航定位學報,2015,3(3):59-62.(MING Feng, YANG Yuan-xi, ZENG An-min.Analytical Expression for Stochastic Model in Station’s Coordinate Time Series Analysis[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):59-62.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150312.

2015-05-18

國家863計劃(2013AA122501-1)；國家自然科學基金(41374019，41020144004，41474015)。

明鋒(1982—)，男(漢)，湖北嘉魚人，博士生，主要從事動態(tài)大地測量數(shù)據(jù)處理研究。

P228

A

2095-4999(2015)-03-0059-04