張 強，安 超，丁宇奇，高 磊，蔣 豹

(東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江大慶 163318)

在鉆井、完井、測井、壓裂、采油等工程作業(yè)過程中，大量使用各種尺寸的管柱(包括鉆柱、套管柱、測試管柱、抽油桿管柱、連續(xù)油管等)，分析管柱的屈曲行為，對于合理選擇管柱尺寸和確定扶正器的安放位置等具有工程應用意義。

1744年，L.Eu1er對細長壓桿的穩(wěn)定性進行了研究，提出穩(wěn)定性概念并得到了著名的歐拉公式;19世紀末20世紀初，S.P.Timoshenko提出了彈性穩(wěn)定理論［1］;1962 年，Lubinski等［2］利用能量法對受壓管柱在垂直井中的螺旋屈曲行為進行了研究，并首次提出了虛構(gòu)力的概念;1977年，白家祉［3］提出了用縱橫彎曲連續(xù)梁理論，求解井底鉆具組合的受力和變形;1994年，高國華等［4］針對管柱在后屈曲進程中載荷與變形的關系，進行了更深入的研究，得到了管柱一、二次螺旋屈曲的臨界載荷。隨著計算機技術和仿真技術的不斷進步，人們開始利用計算機進行仿真計算，其中最具代表性的要數(shù)ANSYS有限元計算軟件，該軟件提供了特征值分析方法來研究屈曲問題。

本文針對直井管柱臨界失穩(wěn)長度的計算進行研究，在現(xiàn)有能量法的基礎上，采用特征值屈曲有限元法，利用ANSYS軟件計算直井管柱的臨界失穩(wěn)長度，為工程應用提供理論依據(jù)。

1 能量法

假設管柱兩端固支，其底部受軸向壓力的屈曲形態(tài)如圖1所示。在管柱由直線變成彎曲的過程中，管柱的彈性應變能增加了△U，同時由于底部軸向壓力F的作用，引起管柱軸向位移的變化，而管柱所做的總功為△W，因此管柱總勢能的增量為△Π =△U+△W。當作用在底部的軸向壓力F較小時，管柱總勢能增量為正值，此時管柱的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當作用在底部的軸向壓力F超過某一數(shù)值時，管柱總勢能增量變成負值，此時管柱的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

圖1 底部受軸向壓力的管柱屈曲形態(tài)

當?shù)撞康妮S向壓力F達到臨界載荷時，在微小擾動條件下，管柱總勢能不變，即:

為了求得管柱的臨界載荷，管柱偏離平衡位置后，假設滿足兩端邊界位移約束的撓曲線函數(shù)為:

式中:x為管柱橫向位移，m;y為管柱距上部固支處的軸向距離，m;A1為待定系數(shù);L為管柱長度，m。

對式(2)進行一階和二階求導，得:

由于底部受軸向壓力F的作用，引起管柱軸向位移的變化，底部軸向壓力所做的總功為:

式中:F為管柱底部的軸向壓力，N;δ為軸向位移，m;α1為系數(shù)。

在距離上部固支處的軸向距離y處，由于管柱自重的分布力，引起微小橫向位移為δx，所做的功為:

式中:q為管柱自重引起的分布力，N/m。

管柱受壓產(chǎn)生彎曲變形，增加的能量為:

式中:E為管柱的彈性模量，GPa;I為管柱的橫截面慣性矩，m4;M為彎矩，N·m;β1為系數(shù)。

將式(5)～(7)代入式(1)，便可求得使底部受壓管柱保持穩(wěn)定的臨界失穩(wěn)長度方程［5］:

式中:η為約束系數(shù)，其中兩端為固支時取74.63，兩端為鉸支時取18.57。

2 特征值有限元法

管柱特征值屈曲分析是一種用于確定管柱結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲構(gòu)型的技術，其基于下列兩個基本假設:1)管柱材料的應力應變關系是線性的，符合虎克定律;2)采用小位移。

分析管柱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時，管柱屈曲的臨界載荷可表示為

式中:PQ為作用載荷，它包括管柱長度引起的自重載荷和底部施加的軸向壓力;λ為管柱屈曲特征值因子。λ的計算公式為

式中:K為管柱的彈性剛度矩陣，即小位移的線性剛度矩陣;S為管柱的幾何剛度矩陣，即初始應力剛度矩陣;ψ為特征位移向量。

特征值計算時要對所有的載荷作相應的縮放，但某些載荷是常數(shù)，如底部施加的軸向壓力，而某些載荷是可變的，如管柱長度變化時自重也跟著變化。為了確保從常數(shù)載荷得到的剛度在特征值求解時不被縮放，需在特征解上迭代，調(diào)整可變載荷，也就是反復調(diào)整管柱的長度，直到特征值等于或接近于1.0，此時計算出來的管柱長度即為臨界失穩(wěn)長度。

3 臨界失穩(wěn)長度有限元計算

3.1 工程實例

某井采用尾管固井，尾管彈性模量為206GPa，長度為520.0m，外徑為127.0mm，壁厚為9.19mm，浮重為182.2N/m，尾管在鉆井液中的全部質(zhì)量由井底支撐，假設扶正器為固支。

圖2給出了兩端固支管柱臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力的變化曲線，并與文獻［5］中的結(jié)果進行比較。

圖2 臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力變化曲線

由圖2可見，底部軸向壓力與臨界失穩(wěn)長度呈非線性遞減關系。管柱靠近井底時，與文獻［5］中的結(jié)果完全吻合，管柱離井底越遠，與文獻［5］中的結(jié)果偏差越大，且小于文獻［5］中的結(jié)果。這是由于管柱遠離井底時，相鄰扶正器的底部軸向壓力減小，導致對管柱屈曲的影響減小，扶正器的間距增加，導致管柱自重影響增大，使得相鄰扶正器間的管柱撓曲線發(fā)生了變化，因而采用本文的有限元方法計算管柱臨界失穩(wěn)長度更合理。而文獻［5］使用同一個撓曲線函數(shù)計算不同軸向壓力情況下的管柱臨界失穩(wěn)長度，與實際情況存在一定的偏差。

3.2 無量綱臨界失穩(wěn)長度

令管柱長度系數(shù)m=(EI/q)1/3，則管柱長度L、每一個失穩(wěn)段底部的軸向壓力Fd和臨界失穩(wěn)長度Lcr可表示為

式中:ζ是管柱無量綱長度;γ是管柱無量綱臨界失穩(wěn)長度。文獻［6］和［7］將無量綱臨界載荷分別寫成 Q= γ3，k= γ3。

兩端固支是指在扶正器支承處有彎矩無轉(zhuǎn)角，兩端鉸支是指在扶正器支承處有轉(zhuǎn)角無彎矩。顯然，井眼內(nèi)的管柱變形在扶正器支承處轉(zhuǎn)角非常有限，而彎矩隨管柱變形的增大而增大，因而管柱在扶正器支承處，既不是固支，也不是鉸支，而是介于固支和鉸支之間且以固支為主的一種約束狀態(tài)［5］。

圖3 臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力的無量綱變化曲線

在兩端固支和鉸支條件下，圖3給出了無量綱臨界失穩(wěn)長度隨底部無量綱壓力載荷的變化曲線，由圖可見，兩種約束條件對管柱臨界失穩(wěn)長度影響較大，無量綱臨界失穩(wěn)長度隨著底部軸向壓力的增加而逐漸減小。工程應用中，管柱無量綱臨界失穩(wěn)長度應介于固支臨界失穩(wěn)長度和鉸支臨界失穩(wěn)長度之間，且應更接近于兩端固支臨界失穩(wěn)長度。得出無量綱臨界失穩(wěn)長度后，利用式(12)，便可求出管柱的臨界失穩(wěn)長度值。

4 結(jié)束語

本文采用特征值屈曲的有限元法，計算得出的管柱臨界失穩(wěn)長度更合理，可用于石油行業(yè)中井下各種直井受壓管柱的臨界失穩(wěn)長度分析，對扶正器合理安放間距具有一定的指導意義。

本文研究的管柱線性屈曲問題，處于管柱屈曲的初始階段，今后可考慮在管柱受井壁約束的條件下，采用特定的有限元法，進行直井有重管柱非線性后屈曲研究，分析計算管柱正弦屈曲和螺旋屈曲的臨界失穩(wěn)長度及其臨界載荷。

［1］ Timoshenko S P.彈性穩(wěn)定理論［M］.北京:科學出版社，1965.

［2］ Lubinski A，Althouse W S，Logan JL.Helical buckling of tubing sealed in packers［J］.Journal of Petroleum Technology，1962，14(6):655－670.

［3］ 白家祉.應用縱橫彎曲連續(xù)梁理論求解鉆具組合的受力與變形［C］//國際石油工程會議論文集.北京:石油出版社，1982:67－69.

［4］ 高國華，李琪，張建仁.管柱在垂直井眼中的屈曲分析［J］.西安石油學院學報，1996，11(1):33－35.

［5］ 覃成錦，徐秉業(yè)，高德利.垂直井中管桿柱的扶正器安放問題研究［J］.石油鉆采工藝，2000，22(3):8－12.

［6］ 劉洋，楊永波，梁樞平.軸向均布載荷下壓桿穩(wěn)定問題的DQ解［J］.力學與實踐，2005，27(2):44－47.

［7］ 李清祿，李世榮.受均布載荷壓桿后屈曲形態(tài)的數(shù)值計算［J］.力學與實踐，2010，32(3):41－43.