馮英鵬，占小杰，李傳江

（上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院，上海200234）

0 引言

動(dòng)平衡測(cè)量系統(tǒng)是通過安裝在兩側(cè)硬支承上的傳感器測(cè)量振動(dòng)信號(hào)的，后經(jīng)信號(hào)轉(zhuǎn)換、調(diào)理、傳輸以及分析等多個(gè)環(huán)節(jié)完成動(dòng)不平衡信號(hào)（即有用信號(hào)）的測(cè)量［1］。而且這個(gè)動(dòng)不平衡信號(hào)提取的越精確，就越能保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)平衡。為此，研究一種高效可行的動(dòng)平衡測(cè)量方法，既能保證信號(hào)相位的不偏移，又能準(zhǔn)確測(cè)定不平衡量的幅值，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。而諧波小波濾波方法有著明確的表達(dá)式、時(shí)頻分解靈活、盒形緊支譜以及相位鎖定特性［2－3］，基于上述優(yōu)點(diǎn)，將諧波小波帶通濾波方法用于動(dòng)不平衡信號(hào)的提取，研究表明該方法有效可行，可以消除噪聲干擾。

1 諧波小波濾波原理

一種復(fù)小波，可以將信號(hào)毫無遺漏地分解到相互獨(dú)立的頻段。這樣特定頻率成分與其他頻率成分被分離，從而消除了其他頻率成分對(duì)該頻率段的影響，那么被淹沒的微弱信號(hào)得以體現(xiàn)，可以說是信噪比得到提高［2］。于是，研究某一信號(hào)特定頻率成分時(shí)可采取對(duì)該信號(hào)進(jìn)行諧波小波分解，將其他頻段的諧波小波系數(shù)置零，保留特定頻段的小波系數(shù)，然后對(duì)其重構(gòu)，如圖1所示。根據(jù)正交性可知，重構(gòu)后的信號(hào)只包含特定頻率成分，其余成分被濾除，即實(shí)現(xiàn)了精確濾波的目的［4］。

圖1 信號(hào)諧波小波分解重構(gòu)流程

諧波小波在頻域具有明確的表達(dá)式，設(shè)有實(shí)偶函數(shù)he（t）和實(shí)奇函數(shù)ho（t），其傅氏變換為：

把 He（ω）和 Ho（ω）組合得到

即為諧波小波的頻域表達(dá)式，從圖2看到，H（ω）具有極好的緊支特性，并且有著嚴(yán)格的盒形特性，非常適合用于信號(hào)濾波，提高信噪比。

圖2 諧波小波函數(shù)的頻域波形

對(duì)H（ω）做傅里葉逆變換，可得到諧波小波

其實(shí)部與虛部如圖3所示，可見h（t）具有很好的緊支特性。

圖3 諧波小波函數(shù)實(shí)部與虛部形狀

對(duì)諧波小波函數(shù)進(jìn)行伸縮平移，令t＝2jt－k（j，k均為整數(shù)），式（4）變?yōu)椋?/p>

而h1（t）的傅里葉變換為：

令p＝2jt－k，dt＝2－jdp，則

與式（3）比較發(fā)現(xiàn)，H1（ω）頻譜為發(fā)生改變，只是水平方向上的尺度壓縮了2j，在新的尺度上平移了k個(gè)單位。j的值與小波的層有關(guān)，標(biāo)準(zhǔn)的諧波小波頻譜2π～4π對(duì)應(yīng)j＝0，于是得到第j傅里葉變換頻譜區(qū)間為2j＋1π～2j＋2π，j值越大，頻帶帶寬越寬，不同層上的諧波小波頻譜區(qū)間如圖4所示。

圖4 不同j值時(shí)諧波小波的頻譜

從圖4可以看出，諧波小波對(duì)信號(hào)的分解頻帶寬度從高頻到低頻以關(guān)系遞減。令m＝2j，n＝2j＋1，m，n∈R＋，且m＜n，式（3）可化為：

其對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為：

鑒于諧波小波函數(shù)族中層層之間都是正交的，所以可把諧波小波作為基函數(shù)系，這樣就能將信號(hào)正交、無遺漏地分解到相互獨(dú)立的空間，實(shí)現(xiàn)信號(hào)分解到不同頻段，方便精確研究單一頻率信號(hào)，提取信號(hào)特征。其實(shí)部與虛部都可作為零相移濾波器，使得諧波小波具有相位鎖定功能，它能克服基于二進(jìn)小波信號(hào)分析頻域產(chǎn)生相位移動(dòng)導(dǎo)致提取特定頻率信號(hào)的不精確問題。所以在轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡中，應(yīng)用諧波小波帶通濾波算法提取動(dòng)不平衡信號(hào)可以保證信號(hào)的相位不失真，提高提取精度。

即工程中常用的分析中心在

2 諧波小波濾波方法的仿真研究

諧波小波分解算法是通過FFT和IFFT實(shí)現(xiàn)的，具體步驟如下：

a.對(duì)振動(dòng)信號(hào)f（t）進(jìn)行FFT，得到其頻譜Fk，k＝1，2，…，N，N＝2n。

b.選擇分解尺度，對(duì)諧波小波函數(shù)hm，n（t）進(jìn)行FFT得到頻譜Hk，k＝m，…，n。

c.計(jì)算Fk與Hk的乘積，做IFFT得到諧波小波分解系數(shù)，即目標(biāo)頻率的信號(hào)。

2.1 諧波小波算法提取微弱模擬信號(hào)

為了驗(yàn)證諧波小波帶通濾波的性能，現(xiàn)對(duì)一模擬信號(hào)進(jìn)行濾波分析。假定模擬信號(hào)包含10Hz，80Hz和160Hz三種頻率的信號(hào)［3，5］，則

在Matlab仿真平臺(tái)中，采樣頻率選擇fs＝4 096，采樣點(diǎn)數(shù)為N＝2 048，利用諧波小波算法對(duì)其分析。因?yàn)?60Hz頻率的信號(hào)幅值遠(yuǎn)小于前兩者，所以在信號(hào)的頻譜中幾乎看不到譜峰，屬于微弱信號(hào)。

通過選擇不同的諧波小波分解尺度，在［8，12］、［78，82］、［158，162］頻段分別提取這三種頻率的信號(hào)，再對(duì)濾波后的信號(hào)頻譜經(jīng)IFFT即可獲得各頻率信號(hào)波形，即便是頻率為160Hz的微弱信號(hào)，經(jīng)諧波小波帶通濾波后其信號(hào)波形十分明顯［3，5］。分析發(fā)現(xiàn)，得到的信號(hào)波形正好與其頻率相吻合，且在頻域內(nèi)并無相位移動(dòng)，有利用信號(hào)的提取，可防止信號(hào)檢測(cè)的誤判，可見諧波小波帶通濾波算法較其他方法具有優(yōu)勢(shì)，能很好地提取特定頻率的信號(hào)。

2.2 諧波小波算法實(shí)際應(yīng)用研究

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用上海歐承動(dòng)平衡機(jī)有限公司提供的轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡機(jī)，左右支撐點(diǎn)處安裝壓電陶瓷加速度傳感器，變頻調(diào)速驅(qū)動(dòng)，測(cè)試平臺(tái)采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)子（3 kg）［6］。實(shí)驗(yàn)中，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速設(shè)定為1 680r／min（轉(zhuǎn)子頻率為28Hz），現(xiàn)場(chǎng)采集的轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡信號(hào)如圖5所示。從圖中可以看到，由于機(jī)器振動(dòng)、隨機(jī)噪聲以及環(huán)境等因素的存在，盡管經(jīng)過硬件電路濾波，轉(zhuǎn)速信號(hào)微弱，淹沒于噪聲中，不易分辨。選擇采樣頻率fs＝512，分析頻率fH＝256Hz，對(duì)轉(zhuǎn)速信號(hào)進(jìn)行FFT，從頻譜中看到信號(hào)含有強(qiáng)烈的低頻噪聲干擾，這是由轉(zhuǎn)子低速運(yùn)行引起的，有用的信號(hào)幾乎看不到如圖6所示。為了提取28Hz的頻率信號(hào)，采用小波包和諧波小波算法進(jìn)行分解。

小波包采用‘db4’小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行5層分解，帶寬為4Hz，信號(hào)頻段為28～32Hz，濾波后的頻譜圖如圖7所示，可以看到該頻段內(nèi)包含較多其他頻率信號(hào)的譜峰。利用諧波小波帶通濾波算法，調(diào)節(jié)帶通濾波器的上下限頻率，信號(hào)頻段設(shè)為27～29Hz，濾波后的頻譜圖如圖8所示，較圖7，諧波小波提取的信號(hào)頻譜所含成分較少。

圖5 現(xiàn)場(chǎng)采集的動(dòng)不平衡信號(hào)

圖6 動(dòng)不平衡信號(hào)的頻譜

圖7 小波包提取的信號(hào)頻譜

圖8 諧波小波提取的信號(hào)頻譜

對(duì)圖8中得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的信號(hào)波形如圖9所示。經(jīng)分析，諧波小波算法提取到了與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同頻的振動(dòng)信號(hào)。

圖9 諧波小波提取到的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速（1 680r／min）信號(hào)

3 結(jié)束語

諧波小波帶通濾波算法具有相位鎖定和盒形譜特性決定了它適合于動(dòng)平衡測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)不平衡信號(hào)提取，且構(gòu)造簡(jiǎn)單，有著明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式。該方法根據(jù)信號(hào)的相關(guān)性，由轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和濾波帶寬確定出相應(yīng)頻段的諧波小波，后經(jīng)濾波、重構(gòu)即可精確提取出淹沒在強(qiáng)噪聲中的動(dòng)不平衡信號(hào)，解決常規(guī)濾波方法濾波精度不高的問題。

［1］ 夏耀曾，崔鳳奎.諧波小波在動(dòng)不平衡信號(hào)提取中的應(yīng)用［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2009，29（1）：65-68.

［2］ 卿湘運(yùn)，段紅，魏俊民.諧波小波在動(dòng)平衡機(jī)不平衡量信號(hào)提取中的應(yīng)用［J］.浙江工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，20（2）：100-103.

［3］ 李瞬酩，許慶余.微弱振動(dòng)信號(hào)的諧波小波頻域提?。跩］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，38（1）：51-55.

［4］ 鄭云飛，童軍，劉曉丹.諧波小波在發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)分析中的應(yīng)用［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2008，28（6）：24-28.

［5］ 陳果.一種改進(jìn)的諧波小波及其在轉(zhuǎn)子故障診斷中的應(yīng)用［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47（1）：8-16.

［6］ 李傳江，費(fèi)敏銳，胡豁生，等.基于諧波小波和Prony算法的轉(zhuǎn)子不平衡信號(hào)提?。跩］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2014，33（11）：2516-2522.