☉浙江省海鹽縣元濟高級中學(xué) 張艷宗☉浙江省海鹽縣環(huán)境監(jiān)測站 徐佳月

逆向思考，創(chuàng)新思維
——也談柯西不等式一個變式的應(yīng)用

☉浙江省海鹽縣元濟高級中學(xué) 張艷宗
☉浙江省海鹽縣環(huán)境監(jiān)測站 徐佳月

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，柯西不等式的使用非常廣泛，功能強大，結(jié)構(gòu)和諧，在不等式應(yīng)用方面非常給力，具有重大的應(yīng)用價值.適當(dāng)?shù)剡\用柯西不等式，對一些難度較高的不等式，尤其是奧賽試題具有立竿見影的效果.文1、文2通過柯西不等式得到一個如下簡單的變式，用之可以漂亮地解決很多國內(nèi)外的不等式名題.

在應(yīng)用變式①解決問題的過程中，受慣性思維的影響，我們常從左到右看待此不等式，即左邊≥右邊.事實上，我們可以換一個看待問題的角度和方式，逆向思考，創(chuàng)新思維，若從右到左重新審視此不等式，則有：

以上兩個不等式除代數(shù)式在位置上的些許改變，沒有本質(zhì)上的變化，但變式②對一些不等式問題可以給予簡捷、完美的解答，現(xiàn)整理成文，與各位一起探討.

例1（第29屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克試題）若a，b，c＞ 0，且a+b+c=1，求證：

上述三式相加，即可獲證.

評注：文1對③式使用變式①證明，是順向思維，此處我們逆向思考，利用變式②也給出了漂亮的證明，這充分體現(xiàn)了方法的靈活性與思維的創(chuàng)新性.

評注：柯西不等式變形②與均值不等式的巧妙結(jié)合，使得證明新穎、別致.正如宋慶老師所言：“題不在多，關(guān)鍵在創(chuàng)新.”

1.王淼生.例談柯西不等式一個最簡單變式的應(yīng)用［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（11）.

2.安振平.一道高考不等式題的研究性學(xué)習(xí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（3）.