劉 磊, 彭冬梅(. 商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 商丘 476000; . 鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 鄭州 45000)

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符號動力系統(tǒng)的弱混合子集和傳遞子集

劉 磊1, 彭冬梅2
(1. 商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 商丘 476000; 2. 鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 鄭州 450001)

研究了符號動力系統(tǒng)的弱混合子集和傳遞子集的性質(zhì)，討論了符號動力系統(tǒng)中弱混合子集與傳遞子集之間的關(guān)系，給出了符號動力系統(tǒng)的傳遞子集是弱混合子集的一個充分條件.

符號動力系統(tǒng)； 弱混合子集； 傳遞子集

拓撲傳遞，弱混合是描述拓撲動力系統(tǒng)全局特征的概念.設(shè)(X,f)為拓撲動力系統(tǒng).(X,f)是拓撲傳遞的，如果對X中的任意非空開子集U和V，則存在n∈N使得fn(U)∩V≠?；(X,f)是弱混合的，如果對X中的任意非空開子集U1,U2,V1和V2，則存在n∈N使得fn(U1)∩V1≠?，fn(U2)∩V2≠?.由上面定義知，弱混合蘊含拓撲傳遞.

文獻[1]介紹了整體性質(zhì)和部分性質(zhì).例如，敏感初值依賴，Devaney混沌，弱混合屬于整體性質(zhì);Li-Yorke混沌和正拓撲熵屬于部分性質(zhì).文獻[2]給出了弱混合子集的定義,并且證明了“含有弱混合子集的動力系統(tǒng)是Li-Yorke混沌的”.后來,文獻[3]推廣了弱混合子集的定義并且給出了傳遞子集的定義以及討論了它們的基本性質(zhì).自此,弱混合子集和傳遞子集的研究就成為拓撲動力系統(tǒng)的一個研究熱點.P. Oprocha等[4]進一步討論了傳遞子集和弱混合子集的拓撲結(jié)構(gòu)問題;接著,P. Oprocha等[5]研究了弱混合子集與序列熵以及混沌之間的關(guān)系.文獻[6-8]討論了弱混合子集的性質(zhì)以及非自治離散動力系統(tǒng)的傳遞子集和弱混合子集的問題.最近,文獻[9]研究了弱混合子集與Furstenberg族之間的關(guān)系.

本文將討論符號動力系統(tǒng)的弱混合子集和傳遞子集之間的關(guān)系，證明了如果符號動力系統(tǒng)的傳遞子集是一個正則閉集，那么這個傳遞子集是符號動力系統(tǒng)的弱混合子集.

1 基本理論

顯然，由定義1.1，如果(X,f)是弱混合的，則X是(X,f)的一個弱混合子集.

定義 1.2[3]設(shè)(X,f)為拓撲動力系統(tǒng)，A為X的非空子集.A稱為(X,f)的傳遞子集，如果對A的任意非空開子集VA，X的開子集U且A∩U≠?，那么存在n∈N使得fn(VA)∩U≠?.

顯然，如果A為(X,f)的弱混合子集，則A為(X,f)的傳遞子集.

據(jù)定義1.3，A是X的正則閉集當且僅當對A的任意非空集VA，有int(VA)≠?.

設(shè)整數(shù)p≥2，任取p個不同符號0,1,…,p-1.記S={0,1,…,p-1}，賦S以“離散拓撲”，即S的每一個元素都是開集因而也就是閉集.顯然S是一個緊致拓撲空間.

作拓撲積

{x=(x0,x1,x2,…)|xn∈S,?n≥0}.

由文獻[11]知，SZ+是緊致空間.

設(shè)ai∈S，i=0,1,…,n-1，n∈N.又設(shè)m∈Z+.記

m[a0,a1,…,an-1]=

{x∈Σk|xm+i=ai,i=0,1,…,n-1}.

據(jù)文獻[12-15]，m[a0,a1,…,an-1]叫作S上有限序列(a0,a1,…,an-1)上的柱形.易于看出，柱形既是開集，又是閉集，并且全體柱形的集合是可數(shù)的，而且構(gòu)成了Σk的乘積拓撲的一組基.

在Σp上定義轉(zhuǎn)移自映射

σ:Σp→Σp,σ(x0,x1,…)=(x1,x2,…),

則σ是連續(xù)的.(Σp,σ)稱為符號動力系統(tǒng).

2 主要結(jié)果

命題 2.1 符號動力系統(tǒng)(Σp,σ)存在傳遞子集.

證明 記A=0[a0,a1,…,am-1].下面證明柱形A為(Σp,σ)的一個傳遞子集.設(shè)VA為A的任意非空開子集，U為Σp的任意開子集，并且U∩A≠?.因為VA為A的開子集，所以存在Σp的開子集V，使得VA=V∩A.又由于A為Σp的既開又閉的子集，所以VA也是Σk的開子集.進而，存在柱形B，使得B?VA.從A的構(gòu)造知，存在q∈N且q>m，使得B=0[a0,a1,…,aq].因為σq+1(B)=σq+1(0[a0,a1,…,aq])=Σp，所以σq+1(VA)=Σp.進而，σq+1(VA)∩U=Σp∩U=U≠?.這說明了A是(Σp,σ)的一個傳遞子集.因此，(Σp,σ)存在傳遞子集.

命題 2.2 符號動力系統(tǒng)(Σp,σ)存在弱混合子集.

下面給出符號動力系統(tǒng)的傳遞子集是弱混合子集的一個充分條件.

定理 2.1 設(shè)A為Σp的正則閉集且不是單點集.如果A是(Σp,σ)的傳遞子集，則A是(Σp,σ)的弱混合子集.

例 2.1 設(shè)(Σ2,σ)為符號動力系統(tǒng)，則柱形0[0,1]是(Σ2,σ)的一個弱混合子集.

設(shè)A=0[0,1]，因為A是一個柱形，所以A是Σ2中開集也是閉集.進而，A是Σ2的正則閉集.由定理2.1，只需證明A是(Σ2,σ)的傳遞子集.設(shè)VA是A的任意非空開子集，U是Σ2的非空開子集并且U∩A≠?.不妨設(shè)VA=0[0,1,a2,…,aN-1]，從而當m≥N時，σm(VA)=Σ2.因此，σm(VA)∩U=Σ2∩U=U≠?.這說明了A是(Σ2,σ)的一個傳遞子集.

[1] Blanchard F. Topological chaos:what may this mean[J]. J Difference Equ Appl,2009,15:23-46.

[2] Blanchard F, Huang W. Entropy sets, weakly mixing sets and entropy capacity[J]. Discrete Cont Dynam Sys,2008,20:275-311.

[3] Oprocha P, Zhang G. On local aspects of topological weak mixing in dimension one and beyond[J]. Stud Math,2011,202:261-288.

[4] Oprocha P, Zhang G. On sets with recurrence properties, their topological structure and entropy[J]. Top Appl,2012,159:803-811.

[5] Oprocha P, Zhang G. On local aspects of topological weak mixing, sequence entropy and chaos[J]. Ergo Theo Dynam Syst,2014,34:1615-1639.

[6] Liu L. Uniform convergence and transitive subsets[J]. Discrete Dynamics in Nature and Society,2012,2012:970934.

[7] 劉磊. 弱混合子集的等價定義及其應(yīng)用[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,36(3):393-395.

[8] Liu L, Sun Y. Weakly mixing sets and transitive sets for non-autonomous discrete systems[J]. Adv Difference Eqns,2014,2014:217.

[9] Li J. Localization of mixing property via Furstenberg families[J]. Discrete Cont Dynam Sys,2015,35:725-740.

[10] Dickman Jr R F. Regular closed maps[J]. Proc Amer Math Soc,1973,39:414-416.

[11] Engelking R. General Topology[M]. Warszawa:PWN,1977.

[12] Robinson C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos[M]. 2nd ed. Boca Raton:CRC Press Inc,1999.

[13] 周作領(lǐng). 符號動力系統(tǒng)[M]. 上海:上?？萍冀逃霭嫔?1997.

[14] 葉向東,黃文,邵松. 拓撲動力系統(tǒng)概論[M]. 北京:科學(xué)出版社,2008.

[15] 周作領(lǐng),尹建東,許紹元. 拓撲動力系統(tǒng):從拓撲方法到遍歷理論方法[M]. 北京:科學(xué)出版社,2011.

2010 MSC：54H20; 28D20

(編輯 周 俊)

On Weakly Mixing Subsets and Transitive Subsets in Symbolic Dynamics

LIU Lei1, PENG Dongmei2
(1.SchoolofMathematicsandInformationScience,ShangqiuNormalCollege,Shangqiu476000,Henan;2.SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,Henan)

In this paper we study the properties of transitive subsets and weakly mixing subsets of symbolic dynamics, and we discuss the relation between weakly mixing subsets and transitive subsets in symbolic dynamics and give a sufficient condition that a transitive subset of symbolic dynamics is a weakly mixing subset.

symbolic dynamics; weakly mixing subset; transitive subset

2015-01-14

國家自然科學(xué)基金青年基金(11401363)和河南省教育廳項目(14B110006)

劉 磊(1981—)男，講師，主要從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究,E-mail:mathliulei@163.com

O189.11

A

1001-8395(2015)06-0843-03

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.010