楊紀華, 張二麗, 劉 媚(. 寧夏師范學院 數(shù)學與計算機科學學院, 寧夏 固原 756000;2. 北京師范大學 數(shù)學科學學院, 北京 00875; . 鄭州財經(jīng)學院 計算機系, 河南 鄭州 45000)

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時滯機床顫振模型的穩(wěn)定性與Hopf分支分析

楊紀華1,2, 張二麗3, 劉 媚1
(1. 寧夏師范學院 數(shù)學與計算機科學學院, 寧夏 固原 756000;2. 北京師范大學 數(shù)學科學學院, 北京 100875; 3. 鄭州財經(jīng)學院 計算機系, 河南 鄭州 450001)

從模型線性化方程的特征方程根的分布分析入手,討論模型平衡點的穩(wěn)定性,確定平衡點的線性穩(wěn)定性區(qū)域,當模型中時滯經(jīng)過一系列臨界值時,模型在平衡點附近經(jīng)歷Hopf分支,時滯較大,出現(xiàn)混沌吸引子,數(shù)值模擬驗證了結(jié)論.

時滯; 穩(wěn)定性; Hopf分支; 混沌吸引子

1 預(yù)備知識及模型建立

機床是金屬切削加工時的主要工具,在機床加工過程中,刀具和工件所組成的系統(tǒng)中存在著不可避免的振動現(xiàn)象.一般把機床切削加工過程中工件和刀具之間的相對自激振動稱為“顫振”[1].在機床的加工過程中,顫振會導致一系列不好的影響,有時甚至會帶來非常嚴重的后果,例如,顫振會對零部件的加工質(zhì)量有影響,嚴重時甚至會使被加工的零部件報廢,還會引起崩刃等等,因此對機床加工過程中顫振問題的研究是當代學者和工程技術(shù)人員研究的熱點之一[2-6].本文從穩(wěn)定性與分支的角度,主要運用特征值方法來研究具時滯的機床顫振模型[7-8],并借鑒文獻[9-10]中的方法,探討機床顫振模型的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.

2004年,R.Szalai等[11]研究了高速銑床的動力學特性,研究認為參與切削的時間和未參加切削的時間的比值是一個小量.在這種情況下,有關(guān)機床振動的傳統(tǒng)再生顫振模型被簡化為一個離散的數(shù)學模型,其對應(yīng)的非線性模型首先是由M. A. Davies等[12]建立的.雖然建立的非線性模型很簡單,但很接近實際.2007年,D. A. W. Barton等[13]又在此基礎(chǔ)上提出了一個更準確的數(shù)學模型

(1)

其中,m是模態(tài)質(zhì)量,Fx和Fy分別是沿x和y方向的切割力,cx和cy分別是沿x和y方向的模態(tài)阻尼,kx和Ky分別是沿x和y方向的模態(tài)剛度,Kx和Ky分別是沿x和y方向的切削系數(shù),ω是切削寬度,h是切削厚度,p是一個指數(shù).

在這個模型中,假設(shè)刀具從來沒有離開過工件.由于再生顫振的影響,h不是一個常量.設(shè)ν是進給速度,τ是時滯,則有

(2)

另外

RΩτ=2πR+x(t)-x(t-τ),

(3)

其中,ω是主軸轉(zhuǎn)速,R是工件半徑.由(1)～(3)式可得

(4)

本文不考慮機床刀具末端的螺旋角,并假設(shè)機床刀具具有對稱性,即cx=xy=a,kx=ky=b,則方程(4)變?yōu)?/p>

(5)

2 平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支存在性分析

(7)

顯然,當τ=0時,方程(6)的平衡點(x0,φ0,y0,ψ0)是局部漸近穩(wěn)定的.為了討論方便,記

M

N

引理 2.1 (i) 如果M2-N<0,或者M>0且N>0,則方程(7)沒有純虛根;

(ii) 如果M2-N=0且M<0,或者N<0,則當τ=τj時,方程(7)有一對簡單純虛根±iβ0,其中

(8)

(iii) 如果M<0,M2-N>0且N>0,則當τ=τ1j(或τ=τ2j)時,方程(7)有一對簡單純虛根±iβ1(或±iβ2),其中

(9)

證明λ=iβ(β>0)是方程(7)的根的充要條件是β滿足

(10)

平方相加可得

(11)

進而可得

(12)

(i) 如果M2-N<0,或M>0且N>0,則方程(11)沒有正實根,從而方程(7)無純虛根;

(iii) 如果M<0,M2-N>0且N>0,方程(11)僅有2個正根

令τ1j和τ2j如(9)式所定義,則(τ1j,β1)和(τ2j,β2)是方程(10)的解,即λ=±iβ1(或λ=±iβ2)是τ=τ1j(或τ=τ2j)時方程(7)的一對純虛根.

由隱函數(shù)定理,存在ε0>0,使得當|τ-τj|<ε0時,方程(7)有一對共軛根λ(τ)=α(τ)±iβ(τ),且滿足α(τj)=0,β(τj)=β0.同理,存在εk>0(k=1,2),使得當|τ-τkj|<εk(k=1,2)時,方程(7)有一對共軛根λ(τ)=α(τ)±iβ(τ),且滿足α(τkj)=0,β(τkj)=βk(k=1,2).

引理 2.2 如果M2-N>0,則

證明 對方程(7)兩邊關(guān)于τ求導得

所以

其中

i=0,1,2,

由M2-N>0可得結(jié)論成立.

引理 2.3[15]設(shè)f(λ,τ)=λ2+a1λ+a2λe-λτ+a3e-λτ+a4,則當τ變化時,f(λ,τ)在右半平面上的零點重數(shù)之和當且僅當有零根穿過虛軸時才發(fā)生變化,其中a1,a2,a3,a4∈R且τ>0.

由引理2.1～2.3和文獻[16]中第11章的定理1.1,可以得到如下2個定理.

定理 2.1 如果M2-N<0,或者M>0且N>0,則對任意τ≥0,系統(tǒng)(5)的平衡點是漸近穩(wěn)定的.如果N<0有:

(i) 當τ∈[0,τ0)時,系統(tǒng)(5)的平衡點是漸近穩(wěn)定的;

(ii) 當τ>τ0時,系統(tǒng)(5)的平衡點是不穩(wěn)定的;

(iii) 當τ=τj(j=0,1,2,…)時,系統(tǒng)(5)在平衡點附近經(jīng)歷Hopf分支.

定理 2.2 如果M<0,M2-N>0且N>0有

時,系統(tǒng)(5)的平衡點不穩(wěn)定;

(ii) 當τ=τkj(k=1,2;j=0,1,2,…)時,系統(tǒng)(5)在平衡點附近經(jīng)歷Hopf分支.

3 數(shù)值模擬及結(jié)論

在方程(5)中,取a=18.13,b=220,Kx=55 000,Ky=20 000,d=0.02,m=2.586,p=0.75,r=0.05和ν/ω=0.5.計算可得β0=7.692 8,τ0=0.116 4.根據(jù)定理2.1知,當τ=0.02時,系統(tǒng)(5)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的,如圖1所示.當τ=0.112時,系統(tǒng)(5)在平衡點附近經(jīng)歷了Hopf分支,如圖2所示.當τ=7.816時,系統(tǒng)(5)的平衡點是不穩(wěn)定的.此時出現(xiàn)了混沌吸引子,如圖3所示.

本文研究時滯機床顫振模型的動力學行為.以時滯為參數(shù),應(yīng)用特征值方法對該模型的穩(wěn)定性進行了分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(5)中存在穩(wěn)定性開關(guān),并給出了系統(tǒng)(5)存在Hopf分支的充分條件.計算機的模擬結(jié)果很好地支持了本文的理論結(jié)果.理論分析和計算機模擬表明,時滯在機床顫振模型中起著非常重要的作用.數(shù)值模擬揭示了時滯對機床顫振系統(tǒng)的穩(wěn)定、振蕩和混沌狀態(tài)的影響(見圖1～3).即使是在線性穩(wěn)定邊界上,混沌狀態(tài)也可以使機床系統(tǒng)產(chǎn)生顫振.圖1～3表明時滯可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的混沌狀態(tài),通過選取合適的時滯,可以使系統(tǒng)(5)從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定狀態(tài)或周期循環(huán)狀態(tài),所以在機床系統(tǒng)中考慮時滯的影響是很必要的.

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2010 MSC：34C07

(編輯 鄭月蓉)

Stability and Hopf Bifurcation Analysis of Machine Tool Chatter Model with Time Delay

YANG Jihua1,2, ZHANG Erli3, LIU Mei1
(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,NingxiaNormalCollege,Guyuan756000,Ningxia;2.SchoolofMathematicalScience,BeijingNormalUniversity,Beijing100875;3.DepartmentofComputerScience,ZhengzhouInstituteofFinanceandEconomics,Zhengzhou450001,Henan)

The stability of the equilibrium is discussed by analyzing the characteristic equation of the linearized system of original system at the equilibrium, the regions of linear stability of equilibrium are given. It is found that Hopf bifurcation exists when the delay passes through a sequence of critical values, the chaotic attractor appears when delay increases further. In the end, the results are confirmed by numerical simulations.

time delay; stability; Hopf bifurcation; chaotic attractor

2013-04-22

國家自然科學基金(11361046)、寧夏科技支撐計劃(寧科計字[2015]26號(4))、寧夏自然科學基金(NZ13213)和寧夏高等學

楊紀華(1983—),男,講師,主要從事時滯微分方程的穩(wěn)定性與分支的研究,E-mail:jihua1113@163.com

O175.14

A

1001-8395(2015)06-0838-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.009

?？蒲许椖?寧教高[2014]222號(17))