金淑蘭

摘要摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在一些傳統(tǒng)教學(xué)手段難以解決的知識難點，如多次計算、重復(fù)作圖等，這些問題利用算法和程序設(shè)計則較易解決。考慮到目前中學(xué)數(shù)學(xué)教師編程能力較弱，且學(xué)生普遍難以接受編程學(xué)習(xí)，因此采用目前比較流行的幾何畫板的迭代功能來代替編程功能，既可將教師們從繁瑣的重復(fù)勞動中解放出來，又有助于學(xué)生對算法的理解接受。教學(xué)實踐表明，幾何畫板有助于降低難度，透視本質(zhì)，創(chuàng)建模型，能提高學(xué)生的作圖能力、解題能力、編程能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)才能。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：幾何畫板；算法教學(xué)；信息技術(shù)

DOIDOI：10.11907/rjdk.151021

中圖分類號：G434

文獻標識碼：A文章編號文章編號：16727800（2015）004017303

0引言

算法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，屬于高考必考范疇，對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力具有重要意義[1]。但由于高考并不進行上機操作，一些教師本著應(yīng)試教育的態(tài)度，只要求學(xué)生能看懂框圖，對學(xué)生能力的培養(yǎng)不夠重視。算法和程序設(shè)計需要較高的抽象思維能力和邏輯思維能力，探索出一條有效的教學(xué)方式，既能使學(xué)生掌握理論知識，又能在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生動手能力，是一個頗具意義的研究課題。

直接讓學(xué)生上機編程，對高中生而言有一定難度。因此在高中階段，教學(xué)生算法，培養(yǎng)其動手能力需要找一個初級入門的階梯。近幾年的教學(xué)實踐表明，可利用幾何畫板作為踏板，幫助學(xué)生入門[23]。在教學(xué)中引入幾何畫板符合學(xué)生認知規(guī)律，遵循先易后難、先具體后抽象、先基本后提高的教學(xué)原則，讓學(xué)生逐步掌握知識、逐步深化學(xué)習(xí)。幾何畫板的操作與數(shù)學(xué)思維完全吻合，可見即可得，簡單的操作能實現(xiàn)豐富的圖形效果，有助于提高學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性。

1幾何畫板的迭代功能

幾何畫板是一款優(yōu)秀的教學(xué)輔助軟件，由人民教育出版社從美國引進并漢化。幾何畫板與其它軟件平臺如Flash、Powerpoint 相比，具有無需程序設(shè)計、操作界面直觀、能組合各類數(shù)學(xué)教學(xué)資源、易學(xué)易用等優(yōu)點。這些優(yōu)點使其受到了越來越多人的青睞，幾何畫板教學(xué)逐漸成為21世紀的動態(tài)幾何[4]。

幾何畫板不需編程，是指不需要像Flash那樣用具體的程序語言編程，但編程思想在幾何畫板中卻得到了充分體現(xiàn)。在計算機編程學(xué)習(xí)入門階段，當(dāng)學(xué)習(xí)了賦值語句和FOR循環(huán)語句等基礎(chǔ)知識后，通常教材上會給出這樣一個例子：求和S=1+2+3……100。此題因高斯而出名，答案為5 050。若用計算機編程，步驟也相當(dāng)簡單：

（1）新建參數(shù)S和i，分別賦值為0和1（初始狀態(tài)的S可以看作是一個沒裝東西的大容器） 。

（2）將S+i賦值給S，將i+1賦值給i。

（3）新建循環(huán)參數(shù)n，賦值為100，并將步驟（2）重復(fù)n次（此時的S是動態(tài)變化的，該過程可看作是陸續(xù)往一個大容器向里面加“數(shù)”）。

（4）循環(huán)結(jié)束，輸出最后結(jié)果S。

利用幾何畫板來解決此題的思路如下：

①新建參數(shù)S和i，分別賦值為0和1；

②計算S+i，i+1，新建循環(huán)參數(shù)n，賦值為99；

③依次選中S、i、n，按住Shift作深度迭代：S—>S+i，i—>i+1，如圖1所示；

④生成迭代數(shù)據(jù)，如表1所示。

筆者對迭代的本質(zhì)作如下理解：迭指的是多次，代指的是替換，迭代就是指一個動作或操作重復(fù)多次，每一次迭代得到的結(jié)果作為下一次迭代的初始值。具體到代數(shù)計算，迭代可看作使用輸入值來計算輸出值的不斷重復(fù)計算過程，重復(fù)地將前一個計算中得到的計算結(jié)果作為下一個計算的輸入值。

由此可見，幾何畫板具備一定的“編程”能力。類似例子還有很多，如∑ni=1i2、∑ni=11i2。高中教材上的等差、等比數(shù)列，大學(xué)教材上的泰勒展式等計算都可以用這種方法。如果將加法換為乘法，或?qū)⒓臃ㄅc乘法相結(jié)合，還可計算如n！、∑ni=1i！等。

2幾何畫板迭代功能應(yīng)用

2.1微積分課件制作

在教學(xué)中，將三角形的高n等分，做出n-1個矩形，用迭代來表現(xiàn)當(dāng)n增大時矩形面積的和與三角形面積的接近程度，其方法如下：

首先需要作“任意等分線段”。①作線段AB為被等分線段；②建參數(shù)n，作為線段的等分數(shù)，計算1n、n-1；③點A為放縮中心，以1n為放縮比，放縮點為B，縮放后得到點B′；④依次選中點A、n、n-1，以n-1為參數(shù)作深度迭代，A—>B′，n—>n-1，得到圖2；⑤意調(diào)整參數(shù)n，等分數(shù)隨之變化，真正做到任意等分線段，如圖3所示。

這種等分線段的思想是動態(tài)的，即要將AB線段n等分，只要在作好點B′后，將B′B線段n-1等分。

接下來徹底解決該問題：①作任意△ABC，新建參數(shù)n，將n-1作為矩形個數(shù)；②用放縮變換，即可輕松作出圖4；③作垂線，得到點D、E，依次連接4點，得到第一個矩形，如圖5所示；④運用等分線段的思想，依次選中A、B、n、n-1，以n-1為參數(shù)作深度迭代，A—>F，B—>G，n—>n-1，得到圖6；⑤調(diào)整參數(shù)n，矩形個數(shù)也隨之變化，真正意義上做到了動態(tài)演示，如圖7、圖8所示，完整地表現(xiàn)了當(dāng)n增大時矩形面積和與三角形面積的接近程度。

2.2分形課件制作

分形幾何是研究不規(guī)則圖形和現(xiàn)象的新興數(shù)學(xué)分支，是描述復(fù)雜形態(tài)的一種新的幾何語言。教授學(xué)生分形知識可以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美學(xué)魅力，培養(yǎng)其對分形的興趣，建立對分形的初步認識，開闊數(shù)學(xué)視野，體驗觀察世界的全新角度和方式，形成關(guān)注科技前沿的意識和創(chuàng)新意識，對學(xué)生日后的發(fā)展具有重要意義。分形具有5個基本特征：形態(tài)不規(guī)則性、結(jié)構(gòu)精細性、局部與整體自相似性、維數(shù)非整數(shù)性、生成迭代性，具有如上性質(zhì)的圖形被稱作“分形”。通常情況下，分形都是極度對稱的，甚至對稱到了完美的地步，但生成這種圖形不需要非常復(fù)雜的程序，它們具有無限的細節(jié)表面，可以使用遞歸算法來實現(xiàn)。本文主要介紹如何運用幾何畫板來制作謝爾品斯基三角形。

數(shù)列xn=axn-1+b是一個非常常見的數(shù)列序列，隨著參數(shù)a、b不同，最終所得結(jié)果可能收斂，也可能發(fā)散?？衫脦缀萎嫲鍋硌芯吭摂?shù)列所生成的圖形。

先給出兩個特殊數(shù)列：

數(shù)列1：任意給定一個數(shù)k，將它乘以0.5得到一個新的數(shù)，將得到的新數(shù)乘以0.5，再得到一個新的數(shù)。遞推公式為：xn=0.5xn-1。以此類推，由無窮等比遞縮數(shù)列的性質(zhì)可知，最后那個數(shù)必定是0，而得到0之后，再乘以0.5就不再得到新的數(shù)了，可見0是f（x）=0.5x的不動點。

數(shù)列2：任意給定一個數(shù)k，將它乘以0.5，再加上0.5之后得到一個新的數(shù)，然后將得到的這個新數(shù)乘以0.5，再加上0.5之后又得到一個新的數(shù)。遞推公式為：xn=0.5xn-1+0.5。以此類推，由無窮等比遞縮數(shù)列的性質(zhì)可知，最后那個數(shù)必定是1，而得到1之后，再乘以0.5，加上0.5就不再得到新的數(shù)了，可見1是f（x）=0.5x+0.5的不動點。

（1）定義坐標系，作任意點A，測量A的橫、縱坐標xA、yA。

（2）計算0.5xA、0.5yA、0.5xA+0.5、0.5yA+0.5，作坐標點B（0.5xA，0.5yA+0.5）、C（0.5xA，0.5yA）、D（0.5xA+0.5，0.5yA+0.5）。

（3）新建參數(shù)t=10，選中點A和參數(shù)t，按住Shift鍵，在變換菜單中選擇帶參數(shù)的迭代，點擊點B，并按Ctrl+A，添加新的映射，點擊點C，再按Ctrl+A，添加新的映射，點擊點D。也即將點A依次迭代到B、C、D 三點。這時出現(xiàn)的圖像會有雜點。適當(dāng)調(diào)整點A的位置，雜點消失，再隱藏所有點，如圖9所示。

（4）如果覺得色彩過于單調(diào)，可以在建立BCD三點之后，測量三點的橫縱坐標，計算橫縱坐標和，并除以2，得到3個數(shù)，并將這3個數(shù)作為BCD三點的顏色參數(shù)（設(shè)置顏色參數(shù)的方法如下：①選擇該點與參數(shù)；②在顯示菜單中選顏色——參數(shù)，然后按確定）。其它步驟不變，得到圖10。

2.3幾何畫板“編程”優(yōu)勢與不足

幾何畫板迭代完全按數(shù)學(xué)意義逐步完成，這對訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維特別有利，不像Mathematica那樣，跳過思維過程只留下最終結(jié)果。同時，中學(xué)生使用幾何畫板學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對進一步學(xué)習(xí)程序語言編程大有幫助。但幾何畫板也有其不足，其計算只能精確到十萬分之一，有時不能滿足要求，例如∑ni=11i2的結(jié)果只能是1.644 93，而不同于Mathematica算得的精確結(jié)果π26。

3結(jié)語

從上述例子可知，將幾何畫板應(yīng)用于教學(xué)十分有趣，常常會給廣大師生以驚喜。學(xué)幾何畫板，不能將其看作是一款計算機軟件，而應(yīng)該把它看作是數(shù)學(xué)思想的一個具體載體。幾何畫板表面上沒有編程功能，但其擁有的迭代功能在一定程度上可代替編程環(huán)境，甚至可以說，在中學(xué)數(shù)學(xué)算法教學(xué)中，幾何畫板的這一功能比C、VB等程序語言更合適。如何使幾何畫板的迭代功能發(fā)揮更大作用，尚有待進一步研究。

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責(zé)任編輯（責(zé)任編輯：孫娟）