摘 要：嫦娥三號成功發(fā)射并抵達(dá)月球軌道。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點15km，遠(yuǎn)月點100km的橢圓形軌道。文章建立數(shù)學(xué)模型解決著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

關(guān)鍵詞：著陸軌道設(shè)計；近月點位置；建模

1 簡單分析

將嫦娥三號的主減速階段的運動情況簡化為水平方向和豎直方向的運動，然后單獨分析兩個方向的運動情況，將距離轉(zhuǎn)換為經(jīng)緯度，即求出了位置?？蓪⑶蠼曼c和遠(yuǎn)月點的速度問題轉(zhuǎn)化為求沿橢圓軌道運行衛(wèi)星的線速度問題，最后根據(jù)開普勒第二定律和機械能守恒定理就可求出速度大小。至于速度的方向，根據(jù)曲線運動的特點以及嫦娥三號的運行方向即可確定速度方向。

2 基本假設(shè)

（1）假設(shè)月球的自傳對著陸器沒有影響；（2）假設(shè)忽略日、地引力攝動等環(huán)境干擾引起的誤差；（3）假設(shè)月球近似為一個質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體，為一個質(zhì)點。

3 模型的建立與求解

3.1 速度大小模型的建立

嫦娥三號圍繞月球做軌跡為橢圓的圓周運動，著陸準(zhǔn)備軌道為近月點15km，遠(yuǎn)月點100km的橢圓形軌道。

H為遠(yuǎn)月點到月面的距離；h為近月點到月面的距離。求嫦娥三號在近月點和遠(yuǎn)月點的速度，也就是求它在近月點和遠(yuǎn)月點相應(yīng)的線速度，為此我們將月球看作是一個質(zhì)點，將嫦娥三號也看做是一個質(zhì)點，忽略月球重力場和月球自轉(zhuǎn)對嫦娥三號做橢圓運動的影響，所以將問題轉(zhuǎn)化為求沿橢圓軌道運行衛(wèi)星的線速度問題。圖1表示了衛(wèi)星沿橢圓軌道運行情況示意圖：

對比近月點A和遠(yuǎn)月點B，由衛(wèi)星總機械能守恒可有：

M為月球的質(zhì)量m為嫦娥三號的質(zhì)量vA是近月點的線速度vB 為遠(yuǎn)月點的線速度。

又根據(jù)開普勒第二定律可知：vA（a-c）=vB（a+c）（2）

聯(lián)合（1）、（2）式可解得：v■=■■ v■=■■ 其中G為引力常數(shù)。

即，在近月點的速度為：v■=■■ （3）

在遠(yuǎn)月點的速度為：v■=■■（4）

3.2 速度大小的求解

由題中所給數(shù)據(jù)可知：月球質(zhì)量為M=7.3477×1022kg，月球平均半徑為r0=1737.013km，近地點到月面的距離為h=15km，遠(yuǎn)月點到月面的距離為H=100km，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以得出：半長軸：a=（2r0+h+H）/2=1794.603km

焦點距離：c=a-（r0+h）=42.5km。

根據(jù)橢圓中a、b、c之間的關(guān)系：a2=b2+c2解得：b=1794.099km。

即月心的位置為（42.5，0）。將所得數(shù)據(jù)代入（3）式可得：vA=1.69

2km/s。

將數(shù)據(jù)代入（4）式解得：vB=1.614km/s。

3.3 速度方向的求解

3.3.1 速度方向模型建立

嫦娥三號將在近月點15公里處（即近月點）以拋物線下降，而且在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個主減速階段過程簡化為水平方向和豎直方向運動的過程。所以有：F=■ ，F(xiàn)為推力，F(xiàn)x為推力在水平方向上的分力，F(xiàn)y為推力在水平方向上的分力。根據(jù)牛頓第二定有，水平方向的運動過程滿足：ax=Fx/m為嫦娥三號在準(zhǔn)備著陸軌道上的質(zhì)量，ax為水平加速度。豎直方向的運動過程滿足：ay=■-a

在主減速階段，即從近月點減速到離地面3公里處時，嫦娥三號基本位于著陸點上方，認(rèn)為此時水平方向速度為0，即v水=0

m表示嫦娥三號在準(zhǔn)備著陸軌道上的質(zhì)量2.4t，ay為豎直加速度，a表示月球的重力加速度為g/6。根據(jù)速度變化公式有，水平方向的速度變化大小為：

式中：t為主減速階段所用時間，Q為單位時間所消耗的燃料的質(zhì)量， v0為水平方向初速度。在豎直方向的速度變化大小為：

式中：v1為主減速階段豎直方向的末速度。根據(jù)位移速度公式可有，在水平方向：v02=2ax×S所以 S=■，S為水平方向上的位移。

3.3.2 模型求解

v0=vA=1.692km/s；在主減速階段結(jié)束時：v1=57m/s；利用Matlab軟件編程可以解出：S=451.81km；嫦娥三號在著陸過程中經(jīng)度基本保持不變，只有緯度在發(fā)生變化?？梢缘贸鲈虑驑O區(qū)的半徑為：r1=1735.843km。月球與地球一樣，北半球依然分為90個分度，所以每個分度的豎直高度差為19.2871km，所以從近月點到著陸點的緯度變化大小為23.4255°。根據(jù)資料中給出的嫦娥三號近月軌道示意圖以及題中給出著陸點的位置是19.51W，44.12N，可以判斷出嫦娥三號在準(zhǔn)備著陸軌道上的運行方向是由南向北，所以可以得出近月點的緯度為20.694°，所以近月點的位置為19.51W，20.694N；又因為近月點與月遠(yuǎn)點的位置關(guān)于月心對稱，所以遠(yuǎn)月點的位置為159.305E，69.306S

參考文獻(xiàn)

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