摘 要：文章針對(duì)折疊桌的加工設(shè)計(jì)問題，在三維直角空間坐標(biāo)系中運(yùn)用MATLAB軟件描繪出了折疊桌折疊后的三維圖和長(zhǎng)方形平板的俯視圖，并對(duì)構(gòu)建的模型進(jìn)行了推廣。

關(guān)鍵詞：折疊桌設(shè)計(jì)；三維坐標(biāo)；幾何分析法；動(dòng)態(tài)變化

1 符號(hào)說明（表1）

2 模型的建立與求解

2.1 模型的建立與求解

2.1.1 模型準(zhǔn)備

根據(jù)2014年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題[1]，首先以桌面下平面的幾何中心為原點(diǎn)建立了三維空間直角坐標(biāo)系。然后將圓邊上任意一點(diǎn)到鋼筋的向量及每根木條長(zhǎng)度的向量在y、z平面上的投影用坐標(biāo)表示。最后，根據(jù)折疊桌面與木條以及鋼筋的空間幾何關(guān)系運(yùn)用MATLAB編程得到了每根木條的開槽長(zhǎng)度和每根木條鉸鏈端到圓形桌面直徑的距離。并根據(jù)其中的一些參數(shù)畫出了平板折疊前的俯視圖。

2.1.2 模型假設(shè)

（1）木條平直時(shí)，各槽頂端均緊貼鋼筋。（2）木條折疊完成后各槽底端緊貼鋼筋。（3）木條寬的中間點(diǎn)與桌面圓相交。

2.1.3 模型建立

根據(jù)已知條件：木板寬50cm，則圓盤的半徑為木板寬的一半即25cm。我們以桌面下平面的幾何中心為原點(diǎn)建立三維空間直角坐標(biāo)系。則桌面圓的方程為：■=25。將鋼筋、木條、桌面垂直投影于y、z平面上（下面僅標(biāo)出y、z坐標(biāo)）。

則第一根木條與桌面圓相交的一點(diǎn)的坐標(biāo)為：（■，0即（7.806，0）；

最長(zhǎng)木條的長(zhǎng)度2d為：A/2-■，d=26.097。

根據(jù)幾何關(guān)系可得鋼筋的坐標(biāo)為：（dcos？墜+A/2-2d，dsin？墜）；

圓邊上任意一點(diǎn)到鋼筋的向量為：（dcos？墜+A/2-2d-■，dsin？墜）；（-25？燮x？燮25，-60？燮y？燮60）

將上述向量延長(zhǎng)至長(zhǎng)度與所對(duì)應(yīng)的木條長(zhǎng)度相等得：

（A/2-■）/■×（dcos？墜

+A/2-2d-■，dsin？墜）；

則木條末端的坐標(biāo)為：

（y，z）=（A/2-■）/■×（dcos？墜+A/2-2d-■，dsin？墜）+（■，0）；

運(yùn)用幾何關(guān)系再根據(jù)以上的坐標(biāo)可以得出桌腳邊緣線在y、z平面投影的兩個(gè)坐標(biāo)分別為：

y=（A/2-■）/■×（dcos？墜+A/2-2d-■）+■；

z=（A/2-■）/■×dcos？墜；（0？燮？墜？燮1.2798）

給定一個(gè)？墜，便可得到一個(gè)桌腳邊緣空間曲線。因此，參數(shù)方程可以描述整個(gè)動(dòng)態(tài)過程。

2.1.4 模型求解

（1）桌腳邊緣線的三維坐標(biāo)可表示折疊桌任一角度的狀態(tài)，根據(jù)以上所求的坐標(biāo)即可描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，圖1為折疊桌最終折疊后的三維模型。

（2）求得1～20號(hào)木條的開槽長(zhǎng)度、木條鉸鏈端到圓形桌面直徑的距離列表如下。

表2 每根木條的開槽長(zhǎng)度（cm）

（3）在求得木條開槽長(zhǎng)度、木條鉸鏈端到圓形桌面直徑的距離的基礎(chǔ)上，用MATLAB軟件做出了平板折疊前的俯視圖如下：其中陰影部分為開槽部分，圖中僅標(biāo)出一半，另一半與之關(guān)于圓形桌面的直徑對(duì)稱。

3 模型推廣

文章所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況基本相符合，對(duì)實(shí)際問題具有一定的指導(dǎo)性。同時(shí)可針對(duì)模型進(jìn)行更深層次的分析，如在原來的基礎(chǔ)上，增加多目標(biāo)表達(dá)式中的變量個(gè)數(shù)可對(duì)折疊桌的穩(wěn)定性及用料作出更加準(zhǔn)確的判斷?？傮w而言，模型具有一定的一般性，便于進(jìn)一步推廣，不僅可以用于折疊桌的加工設(shè)計(jì)，同樣可以應(yīng)用于整個(gè)家具領(lǐng)域的評(píng)價(jià)探究。

參考文獻(xiàn)

[1]2014年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模竟賽賽題B題.http：//www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm2014problems.rar.

[2]呂林根，許子道. 解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]丘維聲.解析幾何（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2004.

[4]韓佳成.Robert Van embricqs.平板折疊邊桌[J].設(shè)計(jì)，2012（8）.

[5]楊媛媛.折疊網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析[D].西安：長(zhǎng)安大學(xué)，2006.

作者簡(jiǎn)介：許英強(qiáng)（1993-），男，河南省周口市人，工作單位：華北電力大學(xué)（保定），職務(wù)：學(xué)生，研究方向：電氣工程及其自動(dòng)化。