基金項目：2013年度四川文理學(xué)院大學(xué)生科學(xué)研究項目

作者簡介：張 強（1991—），男，四川達州人，本科， 研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓名：彭志瓊 女 漢族 出生年月：1971年9月 四川崇州人，助理研究員 研究方向：教學(xué)管理研究

陳 佳（1992—），男，四川南充人，本科， 研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

李叢文（1991—），男，四川達州人，本科， 研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

The Study of Criterion on Convergence and Divergence of the Function Series

Zhang Qiang Pengzhiqiong Chen Jia Li Cong’wen

（College of Math and Finance-Economics， Sichuan University of Arts and Science， Dachau 635000， China）

Abstract： Series theory is an important part of the calculus theory， and its criterion on convergence and divergence is the top priority of series theory. This article mainly discusses the criterion on convergence and divergence of the function series， and gives a comprehensive discriminance on them. Moreover， this paper also formulates solutions to some typical and practical problems.

Key words： Function Series， convergence， divergence， discriminance

函數(shù)項級數(shù)的斂散性判定研究

張強 彭志瓊 陳佳 李叢文

（四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院 四川達州 635000）

摘要：級數(shù)理論是微積分理論的重要組成部分，其斂散性的判別又是級數(shù)理論組成部分的重中之重，該文主要論述了函數(shù)項級數(shù)的斂散性判別，較為系統(tǒng)全面的給出了收斂與發(fā)散的判別法，其次還對典型的實際問題給予了解決。

關(guān)鍵詞：函數(shù)項級數(shù)；收斂；發(fā)散；判別法

中圖分類號：O173文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）01（a）-0000-00

函數(shù)項級數(shù)

1 定義

收斂（點態(tài)）： 在零上收斂于 ， ， ， ， 有

一致收斂： ， ， ， ，

注： 點態(tài)收斂與一致收斂的區(qū)別在于一致收斂中 不依于 （或是公用的 ），而點態(tài)的收斂條件卻要弱一些， 依賴于 和 ；

函數(shù)列在收斂的基礎(chǔ)上能否成為一致收斂的問題關(guān)鍵就在于 ；是否能對 ，能找到公用的 且有限，即：

2 一致收斂的判別法

（I）定義： 有： ， ；

（II）柯西法：

有： ；

（III）余項趨于零： ；

（IV） 有： ，該法不可?。ㄏ胂笠幌拢鑼θ我獾狞c列加以討論，這樣的工作實在太大，但對不一致收斂的判別卻很有效，下面可以看到）

（V） 法： ，只需確定 收斂，則 收斂；

（VI） 法： ，若 在D上一致有界， 對 ，關(guān)于 單調(diào)趨于 ；

（VII） 法： ，若 在D上一致收斂， 對 ，關(guān)于 單調(diào)有界；

（VIII）狄尼定理：要求 在 上收斂于 （點態(tài)收斂），滿足： ① 在 上連續(xù)， ② ， 關(guān)于 單調(diào)，則 在 上一致收斂于 。

其中（I）、（III）、（IV）要估計 的極限函數(shù)（和函數(shù)），對于簡單容易觀察的級數(shù)這些方法中（III）最有效，（IV）最不常用，其余的都不用估計和函數(shù)，常用的有方法（II）、（V）、（VI）、（VII）

3 不一致收斂的判別法

（I）柯西法： ，有

（II）子列極限（這就是前面2.2中的方法（IV）的否定形式）， ， ： ，

這樣一來仍需要求和函數(shù)（ ），這里作這樣的處理；在 上找一子列 ，使得 變?yōu)閿?shù)項級數(shù)，若 不收斂（發(fā)散），則 必不一致收斂；

（III）余項存在不趨于 的點：

（IV）通項法：

4 問題解決

⑴研究函數(shù)列： 的斂散性

解：函數(shù)列的研究同數(shù)列等同起來，這不同于函數(shù)項級數(shù)：

極限函數(shù)

所以：原函數(shù)列收斂

⑵研究函數(shù)列： 在以下區(qū)域內(nèi)的斂散性

i） ；

ii） 極限函數(shù)：

解：極限函數(shù)

i） 時，

故：不一致收斂

另： 取

發(fā)散

故： 在 上必不一致收斂，（但，是收斂的）

ii）

故： 在 上一致收斂

⑶級數(shù)：

證明：（i）在 上一致收斂 （ii）在 上不一致收斂

證明：（i） 在 上一致有界

又： 對 關(guān)于單調(diào)趨于 ，由 法判別知： 一致收斂

（ii）取點列： ，于是函數(shù)項級數(shù)變?yōu)閿?shù)項級數(shù)

發(fā)散，必有 不一致收斂

⑷討論級數(shù) 在 上的一致收斂性

觀察能否求和函數(shù)，再讓 ，易知能求和函數(shù)：

估計余項

故原級數(shù)收斂

⑸（i） 在 上一致收斂

（ii） 在 上收斂但不一致收斂

解：（i）分析：觀察是否能求和，不能就用 法、 法、 法

有界， 單調(diào)遞減趨于 ， ，關(guān)于 單調(diào)遞減趨于

由 法知： 在 上一致收斂

（ii）是否能求和：

，

當(dāng)然不一致收斂

⑹ 收斂；證明： 在 上一致收斂

解：分析：是否能求和，題中已給出 收斂，想到用 法，只需證： 在 ，關(guān)于 單調(diào)有界。事實上

時，

又： 單調(diào)遞減

由 法知： 在 上一致收斂

5 結(jié)語

此研究比較系統(tǒng)的全面的給出了函數(shù)項級數(shù)的各類判別方法，對解決實際問題提供了較全面的方法和具體指導(dǎo)意義。其次此研究雖然只討論到一元函數(shù)項級數(shù)，但對 元函數(shù)項級數(shù)的推廣，具有一定的指導(dǎo)意義。

參考文獻

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[3] 王靜，譚康，任秀娟.判別數(shù)項級數(shù)斂散性的一些方法和技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010（5）.