摘 要：本文研究了飛機在發(fā)生事故時突然失去動力后拋方式黑匣子落水點位置問題?？紤]到飛機在降落過程中受到空氣氣流的影響，首先對飛機與黑匣子在失去動力后墜落過程進行受力分析，由微分方程組、常數(shù)變異法等建立飛機墜落軌跡模型，并通過歐拉待定指數(shù)法求解微分方程組函數(shù)，得出黑匣子相對事故點在各個方向降落距離公式，并通過 編程求解出各個方向降落距離，最后通過地球表面上的空間轉動參照系與地心坐標之間的轉換關系式建立空間轉換模型，并用 編程求解出黑匣子落水點經(jīng)緯度，確定黑匣子最終降落點。

關鍵詞：動力學 微分方程組 歐拉待定指數(shù)函數(shù) 阻力系數(shù) 常數(shù)變異法

中圖分類號：O313 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）01（a）-0000-00

作者簡介：晉良平（1980--），男，漢族，四川簡陽人，四川理工學院講師，碩士研究生，主要從事大學物理和人工智能方面研究。

1 問題分析

飛機在發(fā)生事故時突然失去動力后，由于慣性仍然具有失去動力之前的速度。在失去動力之后，考慮到飛機受到空氣阻力和大氣層風力的影響，與此同時地球自轉也會產(chǎn)生一定的影響。于是通過計算空氣阻力、風力和地球自轉情況下，任意拋射角的拋射體的解析解，然后再通過在地球表面所建立的空間直角坐標系與地心坐標系的轉換關系式，以拋射體與地心的距離為地球半徑作為落地點的條件，來計算最終的落地時間和落地位置。即為飛機最終的落地時間和落地位置。

2 模型建立

本文首先通過斜拋運動規(guī)律，在地球表面建立空間直角坐標系，將墜落的飛機看做拋射體，計算出考慮空氣阻力和科氏力情況下任意拋射體的解析解，從而建立了飛機墜落過程中的斜拋運動模型。然后建立了在地球表面所建立的空間直角坐標系與地心坐標系的轉換關系式，建立空間轉換模型，以拋射體與地心的距離為地球半徑 作為落地點的條件來計算飛行時間。

2.1 飛機墜落過程中斜拋運動動力學模型

飛行器運動方程即飛行器運動的數(shù)學模型的建立，離不開坐標系。與其他學科相比，飛行動力學中使用的坐標系的數(shù)目是很多的，其中由于涉及的力、力矩和運動變量很多且規(guī)律復雜。所以，選取地球（視為球體）為主要參照，在地球表面建立空間直角坐標系，以地球上緯度為 的一點 為原點，建立固定坐標系 如下圖（1）所示

圖（1） 斜拋運動坐標系

其中： 切經(jīng)線（圈）向南； 切緯線（圈）向東； 垂直地面向上；圖中 為地軸地球自轉角速度 沿著該軸：

其中： （24小時地球自轉一圈所得）

假設飛機質(zhì)量為 ，以初速度 從 點沿任意方向拋出。空氣阻力為： ，其中 為阻力系數(shù)。

由于受到空氣氣流等阻力的影響，當速度減小到某一個最小的數(shù)值，剛夠以最大升力系數(shù)才能維持水平飛行時，無動力飛行就結束了。對于每一個高度，就可以找到飛機可能到達的最大區(qū)域。這個區(qū)域的外輪廓將稱為水平無動力飛行的終跡。

本文假設給出一架飛機在高空中飛行時突然發(fā)生事故，飛機墜落過程的開始即為無動力飛行，但是由于受到空氣氣流等阻力的影響，通過對飛機墜落過程的分析，得出飛機墜落過程中受力分析如下圖（2）

圖（2） 飛機墜落受力圖

根據(jù)上圖的受力分析，設飛機質(zhì)量為 ，初速度為 ，發(fā)生故障的地點為 點，沿任意方向飛行。為簡化問題，可以認為所受的空氣阻力為：

其中 為阻力常數(shù)，從而得出飛機墜落的運動方程：

其中： 分別為 的導數(shù)， 分別為 二階導數(shù)； 分別為沿 軸的風力分力。 、 分別為飛機所受風力和自轉力。 為飛機飛行的速度。 、 、 、 分別為風力與 軸夾角、自轉力與 軸夾角、飛機速度與 軸的夾角

2.2 空間轉換模型

利用地球表面上的空間轉動參照系與地心坐標之間的轉換關系式，以拋射體與地心的距離為地球半徑作為落地點的條件，來計算最終的落地時間和落地位置。

選取地心為原點 ，建立地心坐標系 ，同時以地球表面為參照，建立空間轉動參照系 。 切經(jīng)線（圈）向南； 切緯線（圈）向東； 垂直地面向上，圖中 是地軸，地球自轉角速度 沿著該軸：

地球自轉角速度的量值約為：

（24小時地球自轉一圈得到）。

設點A在 體系中的坐標值為 。得到地球表面地球坐標系與地心坐標系的轉換圖如下圖（3）所示：

圖3 地球表面地球坐標系與地心坐標系的轉換圖

（1）、第一次坐標變換，將 體系繞坐標軸 轉動角度 ，變?yōu)?新的坐標體系，則A的坐標值變?yōu)槿缦拢?/p>

（2）、第二次坐標變換，將 體系繞坐標 轉動角度 ，變?yōu)?新的坐標體系，則坐標值變?yōu)槿缦拢?/p>

（3）、第三次坐標變換，將 體系平移，變成 新的坐標體系，則坐標值變?yōu)槿缦拢?/p>

（4）于是得到點A在 體系中的坐標為：

3 模型求解

由前文公式可求得：

（4）

其中：

通過求解上述 的表達式，通過 編程求解，得到在地球自轉和空氣阻力情況下，將飛機墜落看作斜拋運動，對上述物體運動方程以及積分方程式求解，得到飛機墜落的數(shù)據(jù)為：

緯度 、經(jīng)度 、高度 ，初速度 、空氣阻力系數(shù)為 ：

通過 編程求解，得到黑匣子落地點的坐標方位為：

、 、

于是得到飛機墜落的軌跡為拋射體在地球表面的斜拋運動軌跡，同時由于受空氣氣流的影響，得到黑匣子落水點所對應的經(jīng)緯度為：經(jīng)度72、緯度26。

4 結束語

本文盡可能多的考慮影響失去動力后飛機墜落過程軌跡和黑匣子落水點的因素（空氣阻力、地球自轉、大氣層風力等），很好利用地球表面上的空間轉動參照系與地心坐標之間的轉換關系式，將拋射距離轉換成經(jīng)緯度，建立了求解墜落飛機的落地點和落地時間的模型。建立的模型對于一些特殊情況，代入特殊數(shù)據(jù)依然可以得出結果。但是本文所建模型考慮的是常規(guī)情況，對于特殊風向、特殊海洋狀況等，通過查詢各種相關資料，得出不同的地礦、不同的天氣、不同的溫度、不同的濕度等情況，都將有一些特殊影響，所以本文模型對于一些特殊地礦的飛機墜落情況不適用。在今后學習過程中仍需繼續(xù)探究。但是在求解的過程，盡量保證了結果的準確性。

參考文獻

[1] 尹新國，公丕鋒，朱孟正等.空氣阻力對落體東偏影響.大學物理，2009，28（12）：5-7

[2] 周娜，劉旭，尹江輝.飛機穿越微下?lián)舯┝黠L場進場著陸運動特性[J].飛行力學，2001

[3] 肖業(yè)倫，金長江.大氣擾動中的飛行原理[M].北京國防工業(yè)出版社.1993

[4] 王安祥，李繼軍，霍學軍等.科里奧利力對豎直上拋運動的影響.紡織高?；A科學學報，2010，23（4）：509-513

[5] 朱戎.空氣阻力和地球自轉對拋射體影響的系統(tǒng)研究.山西師范大學學報，2002，16（3）：29-34