摘 要 在覆蓋近似空間與模糊集理論結(jié)合的研究中，已有的覆蓋粗糙模糊集模型存在三類問題：一類是沒有從覆蓋族知識出發(fā)考慮元素的上、下近似隸屬度;二類是參考的對象與元素的相似度不高;三類是隸屬函數(shù)上、下界的差值過大，近似精度不高。對此，在由多種屬性形成的覆蓋族上，從與元素相似度最高的誘導(dǎo)覆蓋出發(fā)，定義了一種新的模型，并研究了該模型的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞 誘導(dǎo)覆蓋 粗糙模糊集 模糊精度

中圖分類號：TP18 文獻標(biāo)識碼：A " DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.04.024

A New Type of Covering-based Rough Fuzzy Set Model

YE Ping

（School of Humanities and Adult Education， Zhejiang Hengdian College of Film amp; Television， Jinhua， Zhejiang "322118）

Abstract There are three kinds of problems in the study of covering-based rough sets combined with the fuzzy sets. First， the existing covering-based rough fuzzy set models did not consider the upper and lower approximation of fuzzy sets from the knowledge of covering family; Second， the similarity of the objects reference to the element was not high;Third， the difference between the upper and lower approximation of fuzzy sets was too large， so the approximation accuracy was low. Thus， by the covering family of several properties， a new model is proposed by inducing coverage which is the highest similarity set about the element.Then， some relative properties are discussed.

Key words inducing coverage; rough fuzzy set; fuzzy accuracy

0 引言

如何將覆蓋近似空間[1，3]與模糊集[2]理論結(jié)合起來進行模糊分類是當(dāng)今模糊集與粗糙集結(jié)合的一個重要研究的課題。已有的四種覆蓋粗糙模糊集模型都是基于一個覆蓋的知識求一個元素隸屬度的上、下界，參考的對象來自元素的最小描述，而不是元素屬性最相似的集合，能提供的參考價值有限，且隸屬函數(shù)的上、下界差距過大，對決策沒有任何實際的意義。為此，本文從基于多個屬性的覆蓋族出發(fā)，利用元素的誘導(dǎo)覆蓋建立了一種新的覆蓋粗糙模糊集，體現(xiàn)出多個屬性對模糊決策的影響，參考的對象都是來自元素最相似的集合。又以模糊精度作為參考標(biāo)準(zhǔn)， 將新模型與已有模型進行理論、實驗對比。

1 基本概念

設(shè)為非空有限論域，為上的一個覆蓋，則稱有序?qū)Γ?，）為覆蓋近似空間（covering approximation space，簡稱CAS）[3]。

定義2.4[3，24] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間， 為中的一個對象，則在該近似空間中的全描述為（） = {∣}，簡記為（）。

定義2.5[3，24] 設(shè)為覆蓋近似空間， 為中的一個對象，則在該近似空間中的最小描述為：

（） = {∣∧（∧ = ）}，

簡記為：（），∪（） = ∪， （）。

定義2.6[3，24] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，任意，如果（），則稱為的一個鄰域。∪{∣（）}稱為的全鄰域，記為（）?！蓒∣（）}稱為的近鄰域，記為（）。

定義2.7[2] 若對于非空論域中的任何元素，都有閉區(qū)間[0，1]的一個實數(shù)（）與之對應(yīng)，則稱在上定義了一個模糊集合： = {（）∣}

式中（）稱為的隸屬函數(shù)，（）稱為的隸屬度。

2 四種已有的覆蓋粗糙模糊集模型及其缺陷

為了論述方便，論文將文獻[5，6，7，8]所提出的模型分別稱為I型覆蓋粗糙模糊集模型，II型覆蓋粗糙模糊集模型，Ⅲ型覆蓋粗糙模糊集模型和Ⅳ型覆蓋粗糙模糊集模型。

2.1 四種模型的定義及其缺陷

定義3.1[5] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，則在（）上的I型覆蓋粗糙模糊集是一對模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

由定義3.1，對象隸屬度的最大值為，對象隸屬度的最小值為，但是這樣考慮的對象太多。

定義3.2[6] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，則在（）上的II型覆蓋粗糙模糊集是一對模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

與I型覆蓋粗糙模糊集模型相比，II型覆蓋粗糙模糊集模型將考慮的范圍縮小了，只考慮了的近鄰域中的元素。顯然，任何對象的全鄰域包含它的近鄰域。

定義3.3[7] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，則在（，）上的Ⅲ型覆蓋粗糙模糊集是一對模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

并證明在全描述和最小描述下兩者是沒有區(qū)別的，即

是先求出最小描述的各集合中元素的最小隸屬度，然后取其中的最大值得到的;是先求出最小描述的各集合中元素的最大隸屬度，然后取其中的最小值得到的。

定義3.4[8] 設(shè)是一個論域，是論域上的一個覆蓋，，。定義關(guān)于的模糊覆蓋粗糙隸屬度為

定義3.5[8，26] 設(shè)是一個論域，是論域上的一個覆蓋，，則在（，）上的Ⅲ型覆蓋粗糙模糊集是一對模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

湯提出的模型利用最小描述并集中元素隸屬函數(shù)的綜合取平均值，得到元素的模糊覆蓋粗糙隸屬度，再與元素的隸屬函數(shù)比較，大的值為上近似隸屬函數(shù)，小的值為下近似隸屬函數(shù)。湯的模型即重新定義了一個元素的隸屬函數(shù)，這與我們利用覆蓋交叉的知識，擺脫隸屬函數(shù)主觀性影響，進行模糊決策的思想本質(zhì)不同。

對于個體，上述四種模型在計算在模糊集下隸屬度的上、下近似時都基于一個屬性形成的覆蓋，依據(jù)的元素都來自于∪或者∩。這些并不是與最相似的集合，對和的計算沒有很大的參考意義，只會使決策更加模糊。實際問題中，影響一個模糊決策的因素很多，不同因素的權(quán)值是不同的。在多個屬性下，根據(jù)覆蓋的知識來對在下隸屬度的上、下近似進行計算，從屬性值最相似的集合出發(fā)才具有參考意義。如病人的癥狀有很多，如果單獨地考慮“發(fā)燒”或“頭痛”來進行模糊決策顯然是不對的，應(yīng)該從病人所有的癥狀出發(fā)，樣本庫中與病人各癥狀最相似的樣本集合才會對決策提供依據(jù)，所以有必要提出一種新的模型。

3 基于誘導(dǎo)覆蓋的粗糙模糊集模型

3.1 關(guān)于新模型的相關(guān)定義

定義4.1[16] 設(shè) = {，，…，}是論域上的覆蓋，對于 ，我們定義 = ∩{：，}，則（） = {：}也是上的覆蓋。我們稱（）是的誘導(dǎo)覆蓋。

定義4.2[16] 設(shè) = {： = 1，…，}是的一個覆蓋族，對于每一個，設(shè) = ∩{：（），}，則（ ） = {：}也是的一個覆蓋。我們稱（ ）是 的誘導(dǎo)覆蓋。

基于誘導(dǎo)覆蓋的粗糙模糊集模型的構(gòu)造思想：

在多個屬性下，是與最相似的集合。在中，選擇對象隸屬度最大或者最小的值作為屬于模糊集上、下近似集的隸屬度。由此，我們得出如下定義：

定義4.3 設(shè)（，）為多元覆蓋近似空間， = {，，…，}為論域的一個覆蓋族，，則在（，）上的Ⅴ型覆蓋粗糙模糊集是一對模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

，

。

定理 4.1 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，， 為的補集，則Ⅴ模型具有以下性質(zhì)：

（1）余正規(guī)性：;

（2）正規(guī)性：;

（3）上近似集的擴張性與下近似集的收縮性：

;

（4）對偶性：，;

（5）單調(diào)性：，

;

（6），

。

，

。

3.2 V型覆蓋粗糙模糊集的模糊粗糙度

定義4.4 設(shè)（，）為多元覆蓋近似空間，，關(guān)于（，）的模糊精度為，模糊粗糙度為，

其中，。顯然，0≤（）≤1，0≤（）≤1。

定義4.5 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，，

若，則記為;

若，則記為;

若且，則記為≈。

定理4.2 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，，

（1）若≈，則（） = （）;

（2）若 ，則（∪） = （），（∩） = （）;

（3）若，則（∪）≤{（），（）};

（4）若，則（∩）≤{（），（）}。

證明：（1）（2）顯然。（3）若，有。

由定理4.1可知，，

，

所以，。

由，

可得（∪）≥（），因此（∪）≤（），

即（∪）≤（），同理可得（∪）≤（）。

所以，（∪）≤{（）， （）}。證畢。

（4）若，有。

由定理4.1可知，，

，

所以，。

由，

可得（∩）≥（），因此（∩）≤（），即（∩）≤（），同理可得（∩）≤（）。

所以，（∩）≤{（），（）}。

4 結(jié)論

本文通過分析四種已有的覆蓋粗糙模糊集模型缺陷，基于多個屬性形成的覆蓋族，從誘導(dǎo)覆蓋出發(fā)提出了一種新的模型。該模型充分利用元素最相似的集合對于元素模糊隸屬函數(shù)的參考價值，并討論了相關(guān)的性質(zhì)。

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