線性規(guī)劃問題是高中數(shù)學(xué)“不等式”中的一小部分，在高考試卷中屢屢出現(xiàn)。近年來，為了提高試題考查效能，其題型更加靈活，不僅引入了參數(shù)，而且呈現(xiàn)出與其他知識(shí)有機(jī)融合的趨勢。如何設(shè)計(jì)“線性規(guī)劃問題”的復(fù)習(xí)，是擺在高三教師面前的小課題。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上構(gòu)建復(fù)習(xí)主線，呈現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的、層層遞進(jìn)的例題，幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)“線性規(guī)劃”知識(shí)過程中，領(lǐng)悟思考方法，增強(qiáng)解決問題的能力，提升高三復(fù)習(xí)效率。

一、淺入：用基本題，夯實(shí)基礎(chǔ)

解決線性規(guī)劃問題的基本思路是“畫圖—平移—代值解答”，其中規(guī)范作圖是基礎(chǔ)。

1.僅涉及區(qū)域問題

例1不等式組2x+y-6≤0

x+y-3≥0

x≥0表示的平面區(qū)域的面積為（ ）

A.9 B.4 C. D.無窮大

解析：作可行域得△ABC，面積為。選（C）。

點(diǎn)評：可行域是線性規(guī)劃問題的重點(diǎn)之一，確定可行域的基本方法：直線定界（注意虛實(shí)），特殊點(diǎn)定域。規(guī)范的作圖是基礎(chǔ)。通過例1的呈現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)“淺入”目的，有助于夯實(shí)基礎(chǔ)，為后續(xù)提升做準(zhǔn)備。

2.目標(biāo)函數(shù)是線性的

例2（2014·天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件x+y-2≥0，

x-y-2≤0，

y≥1，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：作出平面區(qū)域。當(dāng)z=x+2y經(jīng)過A（1，1）時(shí)，得最小值3。選（B）

點(diǎn)評：根據(jù)線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（b≠0）的最值問題是最常見的。其解決要點(diǎn)：（1）畫出可行域；（2）將線性目標(biāo)函數(shù)化為斜截式y(tǒng)=-x+（b≠0），找到z與縱截距的關(guān)系，當(dāng)b>0時(shí)，縱截距越大，z越大；當(dāng)b<0時(shí)，則相反。

二、遞進(jìn)：引入?yún)?shù)，推進(jìn)探究

1.約束條件含參數(shù)

例3（2014 湖南）若變量x，y滿足約束條件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值為-6，則k=_____。

解析：先作出由y≤x，

x+y≤4，≤確定的區(qū)域，再作出直線2x+y=-6，它與陰影區(qū)域的邊界交于點(diǎn)A（-2，-2），所以直線y=k必過點(diǎn)A，最后確定可行域，再檢驗(yàn)。故k=-2。

點(diǎn)評：當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解已知，求約束條件中的參數(shù)時(shí)，可行域往往未完全確定，解題時(shí)需充分結(jié)合最優(yōu)解的信息，通過逆向思維，確定完整可行域。

2.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)

例4（2014·浙江）當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足x+y-4≥0，

x-y-1≤0，

y≥1，時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

解析：作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)z=ax+y化為y=-ax+z，其中-a表示直線斜率，此時(shí)通過它與約束條件中的直線斜率比較大小，進(jìn)行分類討論，知目標(biāo)函數(shù)最小值在A（1，0）在取得，故a≥1，最大值在B（2，1）取得，故2a+1≤4，綜上1≤a≤。

此題的另一種解法是將可行域的三個(gè)頂點(diǎn)A（1，0），B（2，1），C（1，）的坐標(biāo)均代入1≤ax+y≤4，可得1≤a≤。

點(diǎn)評：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)時(shí)，通常需充分認(rèn)識(shí)參數(shù)在式子中的意義，必要時(shí)進(jìn)行分類討論。但有時(shí)可以借助特殊點(diǎn)、極端狀態(tài)等有效解題。上述解法二中用到了一個(gè)重要的結(jié)論：當(dāng)可行域是封閉圖形，且目標(biāo)函數(shù)為線性時(shí)，其最值必在頂點(diǎn)取得。

三、深出：有機(jī)融合，促進(jìn)遷移

例5（2013溫州一模）設(shè)點(diǎn)A（1，-1），B（0，1）若直線ax+by=1與線段AB（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則a2+b2的最小值為（ ）。

A. B. C. D.1

解析：由題知A、B在直線的兩側(cè)或直線上，即（a-b-1）（b-1）≤0，作出可行域，注意到a2+b2可視為該可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方，由圖知，a2+b2的最小值為，選（C）。

點(diǎn)評：此題有其他解法，此處僅用可行域思想加以解決，顯得新穎獨(dú)到。