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        構(gòu)造法在初等代數(shù)中的有效運用

        2015-04-29 00:00:00華貴林
        學(xué)園 2015年6期

        【摘 要】隨著當(dāng)今數(shù)學(xué)素質(zhì)教育向著更為全面的方向發(fā)展,在要求學(xué)生掌握所學(xué)知識的同時,還要學(xué)會相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法,對數(shù)學(xué)知識中存在的思想方法進(jìn)行領(lǐng)會,這樣有利于他們在現(xiàn)實中采用數(shù)學(xué)方法來解決問題。不同于其他的邏輯方法,構(gòu)造法屬于非常規(guī)性的思維方法,通過分步尋求條件得出結(jié)論,具有極強(qiáng)的創(chuàng)造性、不規(guī)則性和思維試探性。

        【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法 初等代數(shù) 邏輯思維

        【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810(2015)06-0131-01

        通常情況下,構(gòu)造法主要分為兩大類:直接構(gòu)造法和間接構(gòu)造法。構(gòu)造法作為一種發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的方法,在數(shù)學(xué)的解題過程中起著很大的作用:(1)對于本身具有構(gòu)造性要求的問題,學(xué)生可以采用構(gòu)造法直接進(jìn)行求解;(2)在面對一些學(xué)生難以直接尋求相應(yīng)合適方法的問題時,可以通過構(gòu)造的方式建立一個新問題,使之與所求問題成立等價的關(guān)系,通過對這個輔助問題的求解,進(jìn)而得出解決原問題的方法,這就是構(gòu)造法相對于其他一般邏輯方法的優(yōu)勢所在。構(gòu)造法的具體應(yīng)用如下:

        一 數(shù)字與公式的構(gòu)造

        例1,正數(shù)x,y滿足x3+y3=2,求證:x+y≤2。

        通過構(gòu)造法進(jìn)行分析:例題中所給的條件公式中x和y本身都是三次方,所需求證的x和y本身是一次方,這就要求學(xué)生在證明過程中進(jìn)行降冪。同時,又因為所要證明的公式是一個不等式,只有當(dāng)x=y=1時,兩者才相互成立,因此,就需要學(xué)生進(jìn)行均值不等式的構(gòu)造。通過均值不等式的內(nèi)容:x+y+z≥3xyz,學(xué)生可以得出:公式(1):x3+13+13≥3x;公式(2):y3+13+13≥3y。通過公式(1)+公式(2)可以得出相關(guān)結(jié)論:x+y≤2。

        二 函數(shù)的構(gòu)造

        例2,證明以下的三角恒等式:sin3A=3sinA-4sin3A,cos3A=4cos3A-3cosA。

        證明:通過對復(fù)數(shù)進(jìn)行構(gòu)造:B=cosA+xsinA

        一方面,通過牛頓二項式的定理可以得出:

        B3=(cosA+xsinA)3

        =(cos3A-3cosAsin2A)+x(3cos2AsinA-sin3A)

        =(4cos3A-3cosA)+x(3sinA-4sin3A)

        另一方面,通過De Moixre公式可以得出:

        (cosA+xsinA)3=cos3A+xsin3A

        進(jìn)而得出:cos3A+xsin3A=(4cos3A-3cosA)+x(3sinA-4sin3A),通過公式兩邊的比較,可得:

        cos3A=4cos3A-3cosA

        sin3A=3sinA-4sin3A

        三 模型的構(gòu)造

        在遇到排列組合問題時,學(xué)生可以通過構(gòu)造模型,進(jìn)而使解決問題變得更容易。在教學(xué)過程中,教師也需要對學(xué)生進(jìn)行這方面思想的強(qiáng)化,以便于學(xué)生更快地找到解題的辦法。

        例3,現(xiàn)在一共有10個各個方面完全相同的小球,需要將這10個小球分發(fā)到7個班級,要求每個班級至少能得到1個小球,求:小球的分配方法一共有多少種?

        解:通過分析可以得出以下三種分配方法:(1)有4個班級每班可以分到1個小球,其余3個班級每班可以分到2

        個小球,這種分配方法的總數(shù):n1= ;(2)有5個班級每

        班可以分到1個小球,1個班級可以分到2個小球,另1個

        班級可以分到3個小球,這種分配方法的總數(shù):n2= ;

        (3)有6個班級每班可以分到1個小球,剩余1個班級可

        以分到4個小球,這種分配方法的總數(shù):n3= 。通過(1)+

        (2)+(3)可以得出分配方法的總數(shù):n=n1+n2+n3= +

        + =84。

        通過上面的解題過程可以發(fā)現(xiàn),其過程過于煩瑣和復(fù)雜,比較耽誤時間,面對數(shù)目較多的題目時,學(xué)生不可能一步一步逐一進(jìn)行計算,對此構(gòu)造法對其相關(guān)問題引入了一個新的模型構(gòu)造的方法——“插板法”。

        結(jié)合上述的題目,可以將10個小球隨機(jī)排列成一行,這時就會發(fā)現(xiàn)這10個小球中存在9個空檔,假設(shè)存在一個擋板,用這個擋板將這10個小球分割成7部分,將每個班級按照其自身不同的序號對應(yīng)到各自的位置,這種虛擬的分配小球的方法就叫作“插板法”,在解決排列組合問題時,學(xué)生可以采用這種方法使解題過程變得更加簡單。將其運用到例3中就相當(dāng)于在10個小球之間的9個空檔處插入了6

        個擋板,換算成數(shù)學(xué)的算法就是 =84,這相對于傳統(tǒng)笨拙

        的算法更為簡單。

        四 結(jié)束語

        教師將構(gòu)造法應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)初等代數(shù)的教學(xué)中,更有利于提升學(xué)生自身的邏輯思維能力,是學(xué)生學(xué)會從多角度考慮問題并尋求解決問題的方法和手段。此外,通過對問題的認(rèn)真思考,還能加深學(xué)生對于相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解。這里需要強(qiáng)調(diào)的是,文章中所舉出的幾個例題并不是只有構(gòu)造法一種解題方法,構(gòu)造法的應(yīng)用范圍也不僅僅局限于上述幾種,教師在教學(xué)過程中除了注重學(xué)習(xí)方法的教授外,還應(yīng)更多地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新邏輯思維能力,讓其自身能體會到知識和知識間存在的一定聯(lián)系,在學(xué)習(xí)中獲取一定的成就感。

        參考文獻(xiàn)

        [1]賀金華.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2004(3):38~40

        [2]伏春玲.基于新課程理念下“構(gòu)造法”求解不等式問題初探[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009(S2)

        [3]馬登福.例談如何運用“構(gòu)造法”解題[J].青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院學(xué)報,2003(2)

        [4]周東庭、李小寶.運用無中生有法——構(gòu)造法解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2009(8)

        〔責(zé)任編輯:林勁〕

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