在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，輔助線是一項(xiàng)重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，輔助線可以使現(xiàn)有圖形構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，把問(wèn)題解決，但是在實(shí)際應(yīng)用中，輔助線的添加需要掌握一定的規(guī)律才能做到事半功倍，根據(jù)添加輔助線的位置可以分為分割型輔助線、延長(zhǎng)型輔助線、平移型輔助線三類。下面分別舉例說(shuō)明。

一、分割型輔助線，顧名思義，就是把現(xiàn)有圖形分割

1.已知AB平行于CD，BC平行于AD求證： CD = AB。

我們可以把圖形進(jìn)行分割，來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)證明方法。在四邊形內(nèi)添加一條分割輔助線AC。

證明：連接BD（或AC）

∵AB平行于CD BC平行于AD（已知條件）

∴∠1=∠2，∠3=∠4 （根據(jù)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在△ABC與△CDA中

∵∠1=∠2，∠4=∠3，CA=AC （已證明條件）

∴△ABC≌△CDA （根據(jù)角邊角定理）

∴AB=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

總結(jié)：本例中，我們通過(guò)分割平行四邊形為兩個(gè)三角形，用三角形的知識(shí)來(lái)證明了平行四邊形的對(duì)邊相等。這是分割型輔助線的一個(gè)典型用法。

2.已知如下圖：AB=CD，∠A=∠D求證：∠ABC=∠DCB。

我們可以把圖形進(jìn)行分割，來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)證明方法。在四邊形內(nèi)添加分割輔助線BN、MN和CN。

證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中

∵AN=ND（N為中點(diǎn)）∠A=∠D（已知條件）AB=CD（已知條件）

∴△BAN≌△CDN （邊角邊定理）

∴∠ABN=∠DCN BN=CN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等）

在△NBM與△NCM中

∵BN=CN（已證明條件） BM=MC（M為中點(diǎn)） MN=NM（公共邊）

∴△NBM≌△NCM，（邊邊邊定理）

∴∠NBC=∠NCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

∴∠CNB+∠NAB =∠BNC+∠NDC 即∠ABC=∠DCB。

本例中，我們通過(guò)分割梯形為三個(gè)三角形，證明了等腰梯形的角度問(wèn)題。

二、延長(zhǎng)型輔助線，顧名思義，就是把原有圖形的線段或者圖形延長(zhǎng)，取得新圖形，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行證明

1.已知D為 三角形ABC底邊BC的中點(diǎn)，求證：AB +AC>2AD。

我們可以把將圖形延長(zhǎng)，來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)證明方法。在四邊形內(nèi)添加延長(zhǎng)型輔助線DE和BE

證明：延長(zhǎng)AD至E，使AD =DE， 把EB連接，則2AD =AE

∵AD為△ABC的中線 （已知條件）

∴BD=CD （三角形中線定義）

在△ADC和△BDE中

∵CD=BD（已證明條件）∠CDA=∠BDE（對(duì)頂角相等） ED=AD（輔助線作出）

∴△DAC≌△DEB （邊角邊定理）

∴EB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△ABE中有：BE +AB>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB+AC>2AD。

2.已知如圖：D、E為△ABC內(nèi)任意兩點(diǎn)，證明：AC +AB>BD+CE+DE.

我們可以將圖形內(nèi)部的線延長(zhǎng)，形成規(guī)則的新圖形來(lái)證明這個(gè)問(wèn)題，方法有兩種。

證明：（第一種方法）

將DE兩邊延長(zhǎng)分別AB、AC和相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，在△ANM中， AN+AM > MD+NE+DE；

（1）在△BMD中，MD +MB>BD；

（2）在△CNE中，NE +CN>CE；

（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+MB+AN+MD+NE+CN>MD+NE+DE+CE+BD

∴AC +AB>BD+CE+DE

（第二種方法）

延長(zhǎng)BD 和AC交于F，廷長(zhǎng)CE和BF交于G，在△AFB和△GCF和△GED中有：

AB+AF>BD+GF +DG（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

GF+FC>GE+CE（同上）（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+GF +AF +FC+GE +DG >BD+DG+GE +GF+DE +CE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

三、平移型輔助線，顧名思義，就是把原有圖形進(jìn)行平移，取得新圖形，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行證明

1.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，DC平行于AB，AB=16，AD=15， BC=17。求CD的長(zhǎng)。

我們可以把一邊進(jìn)行平移，解決這個(gè)問(wèn)題。

解：過(guò)點(diǎn)D作DE平行于BC和AB交于點(diǎn)E。

∵AB平行于CD。

∴四邊形BCDE是平行四邊形。

∴DE=BC=17，CD=BE。

在△DAE中，由勾股定理，得出：

AE2=DE2-AD2，即AE2=172-152=64。

∴AE=8。

∴BE=AB-AE

∴BE=16-8=8。

得出CD=8。

2.如圖，梯形ABCD的上底AB等于3，下底CD等于8，腰AD等于4，求腰BC的取值范圍。

我們可以把一邊進(jìn)行平移，解決這個(gè)問(wèn)題。

解：過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線BM 和CD相交于點(diǎn)M，

在△BMC中，BM=DA=4，

CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5，

∴BC的取值范圍是：

5+4>BC>5+4，即9>BC>1。

本文總結(jié)了初中數(shù)學(xué)中輔助線的三種常見(jiàn)類型，解析了輔助線常用的三種添加方法，但是法無(wú)定法，需要在練習(xí)時(shí)多作總結(jié)和歸納，靈活運(yùn)用，三種類型可以單獨(dú)使用，也可以組合使用，才能有的放矢地解決問(wèn)題。

（責(zé)編 田彩霞）