“構(gòu)造”是數(shù)學(xué)家們常用的思想方法,譬如當(dāng)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題需要數(shù)學(xué)家?guī)椭鉀Q時(shí),他將首先通過(guò)抽象分析,去構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型,并希望通過(guò)數(shù)學(xué)模型的處理,對(duì)這項(xiàng)實(shí)際問(wèn)題的解決有所裨益。其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中,“構(gòu)造”同樣是一種重要的思想方法。
所謂構(gòu)造法,其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想,經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察,深入的思考,構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型,從而使問(wèn)題得以解決。
構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思想。因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題同獲得知識(shí)一樣,首先得感知它,要通過(guò)仔細(xì)地觀察、分析,去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系,從而為尋求解法創(chuàng)造條件。
構(gòu)造法體現(xiàn)了類(lèi)比的思想,為了找出解題的途徑很自然地要聯(lián)系已有知識(shí)中與之類(lèi)似的或與之相關(guān)的問(wèn)題,從而為構(gòu)造模型提供了參照對(duì)象。
構(gòu)造法體現(xiàn)了化歸的思想。把一個(gè)個(gè)零散的發(fā)現(xiàn)由表及里,由淺入深地集中和聯(lián)系起來(lái),通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆椒右蕴幚砘瘹w為已有的認(rèn)識(shí),就自然形成了構(gòu)造模型的手段。
構(gòu)造法在解題過(guò)程中的思維模式可用下圖表示:
構(gòu)造法解題的目的是:簡(jiǎn)化運(yùn)算量,探索最佳解,發(fā)揮創(chuàng)造性,加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫關(guān)系,從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
下面,通過(guò)一些常見(jiàn)類(lèi)型的題例,對(duì)構(gòu)造法作進(jìn)一步的更為細(xì)致的分類(lèi)介紹。
1、構(gòu)造函數(shù)
有些問(wèn)題可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數(shù),這時(shí)就可以構(gòu)造一個(gè)或幾個(gè)函數(shù),從而能利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題得解。構(gòu)造數(shù)列亦為構(gòu)造函數(shù)。其實(shí),所遇到的大量的極值問(wèn)題,都是構(gòu)造二次函數(shù)、三角函數(shù)去求解。
例1,平面上有n條直線,例2,兩兩相交,例3,但無(wú)三線共點(diǎn),例4,求這條m直線能把平面分成幾部分?
分析:顯然結(jié)論與有關(guān),因此,考慮設(shè)平面被分為部分?jǐn)?shù)的n的函數(shù)f(n)。容易想到第n條直線畫(huà)出后是在前n-1條直線所分平面的部分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上,又增加了部分,因而有f(n)=f(n-1)+1又得出f(1)=2,若f(0)=1(即不畫(huà)直線時(shí)為一部分),有f(1)=f(0)+1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3,……,f(n-1)=f(n-2+(n-1),f(n)=f(n-1)+n,可得f(n)=+1,問(wèn)題得到解決。
有些問(wèn)題中雖然也出現(xiàn)函數(shù)式,但對(duì)解題的作用不夠明顯,因此也可以重新構(gòu)造函數(shù)。
對(duì)某些問(wèn)題,若能充分利用題中潛在的變化關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)模型,??杀芊本秃?jiǎn),打破常規(guī),出奇制勝。
2、構(gòu)造法在幾何上的應(yīng)用
(1)構(gòu)造圖形
在解立體幾何習(xí)題時(shí),在第一步就經(jīng)常產(chǎn)生困難。為了給出相應(yīng)的圖形,必須具有很好的空間想象力。如果涉及的是我們?nèi)粘I钪杏龅降膸缀误w(立方體、球體、圓柱、平行六面體)等,這些對(duì)象是容易想象的,描繪它們也是簡(jiǎn)單的,但有些圖形要描繪則是相當(dāng)困難的,例4 兩直線在同一平面內(nèi)的射影有哪幾種情況?
分析:構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1,利用這一幾何模型來(lái)考慮圖形的各種可能性及判斷命題的真假性是很方便的。
解:兩直線在同一平面內(nèi)的射影可能為兩相交直線、兩平行直線、一直線、一直線與直線外一點(diǎn)、兩點(diǎn)共五種情況。
(2)幾何模型
有些問(wèn)題,若能挖掘或賦予其幾何背景,巧妙地構(gòu)造幾何模型,可獲簡(jiǎn)捷,直觀的證明。
3、構(gòu)造復(fù)數(shù)模型
有些問(wèn)題在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解決很困難,可構(gòu)造復(fù)數(shù)模型,利用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí),解決問(wèn)題。
例3、已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,求證:
(1)b≠0時(shí),tg3A=;
(2)(1+2cos2A)2=a2+b2
證明:構(gòu)造Z=cosA+isinA,則zz=1,且
b+ai=z+z3+z5=z3(z2+1+z2)=(cos3A+isin3A)(1+2cos2A).
當(dāng)時(shí)(1+2cos2A)>0,b+ai的輻角為3A,所以tg3A=;
當(dāng)(1+2cos2A)<0時(shí),b+ai=[-(1+2cos2A)][cos( +3A)+isin( +3A)],所以b+ai的輻角為( +3A),tg3A=tg( +3A)=,|b+ai|=|1+2cos2A|=,所以(1+2cos2A)2=a2+b2
4、構(gòu)造方程
方程是數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分重要的內(nèi)容,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。很多數(shù)學(xué)問(wèn)題粗看起來(lái)無(wú)從下手或用一般的方法去解決很困難,而通過(guò)用方程的知識(shí)來(lái)解決卻顯得十分簡(jiǎn)捷,可通過(guò)構(gòu)造方程模型證題。
例4、設(shè)AM是中BC邊上的中線,任作一直線分別交AB,AC,AM于P,Q,N.求證:, ,成等差數(shù)列.
分析:利用關(guān)系S△ABC=S△ABM+S△ACM,S△APQ=S△APN+S△AQN,S△ABM=S△AMC,構(gòu)造方程模型:
由三角形的面積關(guān)系及MB=MC.易得:
則是三元齊次方程組
的非零解,故其系數(shù)行列式等于零.即
展開(kāi)整理得:bc(2pqm-cqn-bpn)=0,所以+=,即+=.因此, , 成等差數(shù)列。
5、構(gòu)造組合模型
當(dāng)直接運(yùn)用題設(shè)條件難以證題時(shí),不妨把所考慮的問(wèn)題置于特定的背景下,構(gòu)造組合模型,往往可得到簡(jiǎn)潔、巧妙的證明。
例5、求證:
分析:此題是范得蒙等式的特例,若從組合數(shù)公式或數(shù)學(xué)歸納法入手,思維必然受挫,分析等式左邊的一般項(xiàng)CC,可構(gòu)造如下的組合模型:有甲、乙兩只袋,甲袋中有100個(gè)紅球,乙袋中有200個(gè)白球,從甲、乙兩袋中共取出50個(gè)球,其取法總數(shù)為,而這件事情就相當(dāng)于將這兩種球放在一只袋中,從300個(gè)球里任取50個(gè)的取法總數(shù)C,所以原等式成立。
例6.從1,2,3,,14按由小到大的順序取出a1a2a3,使同時(shí)滿足a2-a1≥3,a3-a2≥3,試證符合上述要求的不同取法有C種。
分析:本題不妨令x=a1-1,y=a2-a1-3,z=a3-a2-3,u=14-a3,則問(wèn)題等價(jià)于求方程x+y+z+u=7的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)。若視7為七個(gè)相同的小球,x,y,z,u看作四個(gè)不同的不盒,由此構(gòu)造組合模型,于是上問(wèn)題即為求七個(gè)小球投入4個(gè)小盒的投法種數(shù),顯然是C=C。
(作者單位:襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部)