“構(gòu)造”是數(shù)學(xué)家們常用的思想方法，譬如當(dāng)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題需要數(shù)學(xué)家?guī)椭鉀Q時(shí)，他將首先通過(guò)抽象分析，去構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并希望通過(guò)數(shù)學(xué)模型的處理，對(duì)這項(xiàng)實(shí)際問(wèn)題的解決有所裨益。其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“構(gòu)造”同樣是一種重要的思想方法。

所謂構(gòu)造法，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想，經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得以解決。

構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思想。因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題同獲得知識(shí)一樣，首先得感知它，要通過(guò)仔細(xì)地觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。

構(gòu)造法體現(xiàn)了類(lèi)比的思想，為了找出解題的途徑很自然地要聯(lián)系已有知識(shí)中與之類(lèi)似的或與之相關(guān)的問(wèn)題，從而為構(gòu)造模型提供了參照對(duì)象。

構(gòu)造法體現(xiàn)了化歸的思想。把一個(gè)個(gè)零散的發(fā)現(xiàn)由表及里，由淺入深地集中和聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆椒右蕴幚砘瘹w為已有的認(rèn)識(shí)，就自然形成了構(gòu)造模型的手段。

構(gòu)造法在解題過(guò)程中的思維模式可用下圖表示：

構(gòu)造法解題的目的是：簡(jiǎn)化運(yùn)算量，探索最佳解，發(fā)揮創(chuàng)造性，加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

下面，通過(guò)一些常見(jiàn)類(lèi)型的題例，對(duì)構(gòu)造法作進(jìn)一步的更為細(xì)致的分類(lèi)介紹。

1、構(gòu)造函數(shù)

有些問(wèn)題可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數(shù)，這時(shí)就可以構(gòu)造一個(gè)或幾個(gè)函數(shù)，從而能利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題得解。構(gòu)造數(shù)列亦為構(gòu)造函數(shù)。其實(shí)，所遇到的大量的極值問(wèn)題，都是構(gòu)造二次函數(shù)、三角函數(shù)去求解。

例1，平面上有n條直線，例2，兩兩相交，例3，但無(wú)三線共點(diǎn)，例4，求這條m直線能把平面分成幾部分？

分析：顯然結(jié)論與有關(guān)，因此，考慮設(shè)平面被分為部分?jǐn)?shù)的n的函數(shù)f（n）。容易想到第n條直線畫(huà)出后是在前n-1條直線所分平面的部分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，又增加了部分，因而有f（n）=f（n-1）+1又得出f（1）=2，若f（0）=1（即不畫(huà)直線時(shí)為一部分），有f（1）=f（0）+1，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，……，f（n-1）=f（n-2+（n-1），f（n）=f（n-1）+n，可得f（n）=+1，問(wèn)題得到解決。

有些問(wèn)題中雖然也出現(xiàn)函數(shù)式，但對(duì)解題的作用不夠明顯，因此也可以重新構(gòu)造函數(shù)。

對(duì)某些問(wèn)題，若能充分利用題中潛在的變化關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)模型，?？杀芊本秃?jiǎn)，打破常規(guī)，出奇制勝。

2、構(gòu)造法在幾何上的應(yīng)用

（1）構(gòu)造圖形

在解立體幾何習(xí)題時(shí)，在第一步就經(jīng)常產(chǎn)生困難。為了給出相應(yīng)的圖形，必須具有很好的空間想象力。如果涉及的是我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降膸缀误w（立方體、球體、圓柱、平行六面體）等，這些對(duì)象是容易想象的，描繪它們也是簡(jiǎn)單的，但有些圖形要描繪則是相當(dāng)困難的，例4 兩直線在同一平面內(nèi)的射影有哪幾種情況？

分析：構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，利用這一幾何模型來(lái)考慮圖形的各種可能性及判斷命題的真假性是很方便的。

解：兩直線在同一平面內(nèi)的射影可能為兩相交直線、兩平行直線、一直線、一直線與直線外一點(diǎn)、兩點(diǎn)共五種情況。

（2）幾何模型

有些問(wèn)題，若能挖掘或賦予其幾何背景，巧妙地構(gòu)造幾何模型，可獲簡(jiǎn)捷，直觀的證明。

3、構(gòu)造復(fù)數(shù)模型

有些問(wèn)題在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解決很困難，可構(gòu)造復(fù)數(shù)模型，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題。

例3、已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求證：

（1）b≠0時(shí)，tg3A=；

（2）（1+2cos2A）2=a2+b2

證明：構(gòu)造Z=cosA+isinA，則zz=1，且

b+ai=z+z3+z5=z3（z2+1+z2）=（cos3A+isin3A）（1+2cos2A）.

當(dāng)時(shí)（1+2cos2A）>0，b+ai的輻角為3A，所以tg3A=；

當(dāng)（1+2cos2A）<0時(shí)，b+ai=[-（1+2cos2A）][cos（ +3A）+isin（ +3A）]，所以b+ai的輻角為（ +3A），tg3A=tg（ +3A）=，|b+ai|=|1+2cos2A|=，所以（1+2cos2A）2=a2+b2

4、構(gòu)造方程

方程是數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分重要的內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。很多數(shù)學(xué)問(wèn)題粗看起來(lái)無(wú)從下手或用一般的方法去解決很困難，而通過(guò)用方程的知識(shí)來(lái)解決卻顯得十分簡(jiǎn)捷，可通過(guò)構(gòu)造方程模型證題。

例4、設(shè)AM是中BC邊上的中線，任作一直線分別交AB，AC，AM于P，Q，N.求證：， ，成等差數(shù)列.

分析：利用關(guān)系S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC，構(gòu)造方程模型：

由三角形的面積關(guān)系及MB=MC.易得：

則是三元齊次方程組

的非零解，故其系數(shù)行列式等于零.即

展開(kāi)整理得：bc（2pqm-cqn-bpn）=0，所以+=，即+=.因此， ， 成等差數(shù)列。

5、構(gòu)造組合模型

當(dāng)直接運(yùn)用題設(shè)條件難以證題時(shí)，不妨把所考慮的問(wèn)題置于特定的背景下，構(gòu)造組合模型，往往可得到簡(jiǎn)潔、巧妙的證明。

例5、求證：

分析：此題是范得蒙等式的特例，若從組合數(shù)公式或數(shù)學(xué)歸納法入手，思維必然受挫，分析等式左邊的一般項(xiàng)CC，可構(gòu)造如下的組合模型：有甲、乙兩只袋，甲袋中有100個(gè)紅球，乙袋中有200個(gè)白球，從甲、乙兩袋中共取出50個(gè)球，其取法總數(shù)為，而這件事情就相當(dāng)于將這兩種球放在一只袋中，從300個(gè)球里任取50個(gè)的取法總數(shù)C，所以原等式成立。

例6.從1，2，3，，14按由小到大的順序取出a1a2a3，使同時(shí)滿足a2-a1≥3，a3-a2≥3，試證符合上述要求的不同取法有C種。

分析：本題不妨令x=a1-1，y=a2-a1-3，z=a3-a2-3，u=14-a3，則問(wèn)題等價(jià)于求方程x+y+z+u=7的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)。若視7為七個(gè)相同的小球，x，y，z，u看作四個(gè)不同的不盒，由此構(gòu)造組合模型，于是上問(wèn)題即為求七個(gè)小球投入4個(gè)小盒的投法種數(shù)，顯然是C=C。

（作者單位：襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）