【摘""要】泊松過程是隨機過程中的重要內容，但是與其相關的兩種序列的分布討論較少。本文不僅給出了這兩種分布的密度函數(shù)，還收集了實際數(shù)據(jù)，對時間間隔序列分布做出了符合實際意義的解釋。

【關鍵詞】泊松過程""時間間隔序列""實證

【中圖分類號】O211.6陳立強""""""""【文獻標識碼】A"""""""""【文章編號】1674-4810（2015）16-0039-02

排隊系統(tǒng)是隨機過程中的一個重要的內容。在整個排隊系統(tǒng)中，體現(xiàn)出一個隨機過程：泊松過程;兩種分布：指數(shù)分布，愛爾蘭分布。下面通過安康學院食堂排隊系統(tǒng)這一實例分析排隊系統(tǒng)在實際中是如何應用的。

一"泊松過程及其相關的序列

1.泊松過程的定義

計數(shù)過程（Counting"Process）定義：設N（t）={N（t）|t≥0，t∈T}是一個隨機過程，表示到t時刻為止已知事件“A”發(fā)生的次數(shù)，并且N（t）滿足所有下列條件：（1）N（t）≥0;（2）N（t）∈N+;（3）若s

則稱N（t）是計數(shù)過程。

泊松過程（Poisson"Process）的第一定義（簡稱為A定義）：滿足下面三條的計數(shù)過程N（t）={N（t）|t≥0，t∈T}叫作泊松過程：（1）N（0）=0;（2）N（t）是獨立增量過程;（3）在任意長度為t的區(qū)間上，事件“A”發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為λ，λgt;0的泊松分布，即，對任

意的s，t∈[0，+∞）有：P（N（t+s）-N（s）=n）=

e-λt·，n=0，1，2，…，∞。

泊松過程（Poisson"Process）的第二定義（簡稱為B定義）：滿足下面三條的計數(shù)過程N（t）={N（t）|t≥0，t∈T}叫作泊松過程：（1）N（0）=0;（2）N（t）是獨立、平穩(wěn)增量過程;（3）N（t）滿足下面兩等式：P（N（t+h）-N（t）=1）=λn+o（h），P（N（t+h）-N（t）≥2）=o（h）。

泊松過程兩個定義是等價的，由于證明過程太長，本文不給出證明，參見參考文獻。另外本人在論文《泊松過程兩種等價性定義證明》中也給出了詳細證明。

2.排隊系統(tǒng)中的隨機問題

安康學院食堂學生排隊系統(tǒng)中體現(xiàn)出三個隨機問題。本文也正是通過實地調查把這三個模型運用于實踐之中。

模型：安康學院食堂的窗口在為學生服務時：A.設N（t）是t時刻到達某窗口（假設K窗口）的學生總數(shù)，是一個t時刻的隨機變量;B.設ω1，ω2，ω3，…，ωn表示第一，第二，第三，……，第n個學生到達食堂打飯的時刻，是一個隨機序列;C.設Ti（i=1，2，…n）表示第i個學生到達的時刻與第i+1個學生到達時刻的時間間隔，是一個時間序列。

定理1：設{N（t）|t≥0}是泊松過程，參數(shù)為λ，{Tn|n∈N"}是對應的時間間隔序列（模型中的C），則：Tn為

服從參數(shù)為的指數(shù)分布序列。

證明：事件{T1gt;t}發(fā)生等價于泊松過程在（0，t]上沒有事件發(fā)生。

∴P{T1gt;t}=P{N（t）=0}=·（λt）0=e-λt

∴FT1（t）=P{T1≤t}=1-e-λt即T1服從參數(shù)為的

指數(shù)分布。

∵T1=s=ω1與T2gt;t獨立。

P{T2gt;t}=P{T2gt;t"|T1=s}=P{在（s，s+t]內發(fā)生事件A|T1=s}

=P{在（s，s+t]內沒有事件發(fā)生}

=P{N（t+s）-N（s）=0}=·（λt）0=e-λt

∴FT2（t）=P{T2≤t}=1-e-λt即T2也服從參數(shù)為

的指數(shù)分布。

對于n≥1時，s1，s2，…，sn-1，tgt;0時，

P{Tngt;t}=P{Tngt;t"|T1=s1，T2=s2，…，Tn-1=sn-1}

∵Tngt;t"|T1=s1，T2=s2，…，Tn-1=sn-1表示在（ωn-1，ωn]上無事件發(fā)生。

∴P{Tngt;t"|T1=s1，T2=s2，…，Tn-1=sn-1}=P{N（t+s1+s2+…+sn-1）-N（s1+s2+…+sn-1）=0}

*"安康學院高層次人才啟動項目（編號：2013AYQDZR11）

=P{N（t）-N（0）=0}=·e-λt=e-λt

∴FTn（t）=P{Tn≤t}=1-P{Tngt;t}=1-e-λt

∴Tn服從參數(shù)為的指數(shù)分布。

∴FTn（t）=（λgt;0，是常數(shù)）。

Tn的密度函數(shù)為：fTn（t）=（λgt;0，是常數(shù)）。

定理2：設{N（t）|t≥0}是泊松過程，參數(shù)為λ，{ωn|n≥1}是其對應的到達時間序列或是等待時間序列（模型中的B），則ωn服從參數(shù)為λ的分布，其密度函數(shù)為：

（λgt;0，是常數(shù)）。

證明：明顯有等價關系：ωn≤tN（t）≥n

二"泊松過程及其序列在安康學院食堂排隊系統(tǒng)中的實證

利用學生在安康學院1號食堂收集的數(shù)據(jù)，帶入到

上面的模型中，可以得到一些實用的結果。

定理3：設N（t）={N（t）|t≥0，t∈T}是強度為λ

的泊松過程，則EN（t）=λt。

數(shù)據(jù)（單位時間到達K窗口的學生人數(shù)）：

注：（1）第一行為學生到達k窗口的時間單位：分鐘。（2）第二行為到達K窗口的學生人數(shù)，單位是個。（3）統(tǒng)計時間是：中午12點到13點。

平均到達人數(shù)為：EN（t）=12+20+18+15+10+8+5+4+4+3+1+1=101

K窗口服務強度，即長時間來

看，K窗口中午每分鐘平均服務1.683個學生。

應用定理1知道：第i-1個學生到達與第i個學生

到達的間隔服從強度為的指數(shù)分布，其密

度函數(shù)為：。其分布函數(shù)為：

例示：時間在32分鐘時，等待間隔的分布為：FTn（32）=1-e-1.683×32≈1，表示：絕大多數(shù)的學生在第32分鐘前去打飯，即在12∶30以前，幾乎全部學生打飯完畢。

帶入定理2，一樣可以得到相關結果，不贅述。

參考文獻

[1]李裕奇、劉赪、王沁編著.隨機過程（第2版）[M].北京：國防工業(yè)出版社，2008

[2]陳立強.泊松過程兩種定義等價性證明[J].安康學院學報，2014（4）

〔責任編輯：林勁〕